1. 有理数和都可以在数轴上表示出来。

1. 无理数

【解析】
实数与数轴上的点是一一对应的关系，实数包含有理数和无理数，因此有理数和无理数都可以在数轴上表示出来。
【答案】
无理数
【知识点】
实数与数轴的对应关系
【点评】
本题考查实数与数轴的基础概念，需明确实数的组成及数轴上的点与实数的一一对应特性，属于基础概念题，侧重对核心概念的记忆与理解。
【难度系数】
0.9

2. 作长为$\boldsymbol{\sqrt{n}}$($n$为正整数)的线段：
当直角三角形的两直角边的长分别为$1,1$时，斜边长为，即$1^2 + 1^2 = (\sqrt{2})^2$；当两直角边的长分别为$\sqrt{2},1$时，斜边长为，即$1^2 + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2$……从而可以画出长为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\sqrt{6},···,\sqrt{n}$的线段。

2. $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$

【解析】
根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两直角边长的平方和的算术平方根：
1. 当两直角边的长分别为1,1时，斜边长为$\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$；
2. 当两直角边的长分别为$\sqrt{2},1$时，斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\sqrt{2}}$；$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
勾股定理, 算术平方根
【点评】
本题借助勾股定理展示了构造长为$\sqrt{n}$线段的方法，帮助理解无理数的几何意义，为后续在数轴上表示无理数做铺垫。
【难度系数】
0.9

【例1】如图(示意图)，某景区的观景处位于离水面$A$处高为$4\ \mathrm{m}$的岸上($C$处)，在$B$处有一艘游船，工作人员用绳子在$C$处($CA ⊥ AB$于点$A$)拉船靠岸，开始时绳子$BC$的长度是$AC$的$3$倍。
(1) 求$B$处的游船到岸边$AC$的距离(即$AB$的长)；(结果保留根号)
(2) 为了让游船靠岸，工作人员以$1\ \mathrm{m/s}$的速度收绳，$7\ \mathrm{s}$后游船移动到点$D$处，求游船向岸边移动的距离。(结果保留根号)

思路分析
思考1：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB^2 = \_\_\_\_\_\_$。
思考2：在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2 = \_\_\_\_\_\_$。
解：
规律方法
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤
(1) 将实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形；
(2) 分析题目中的数量关系，将已知条件体现到图形中；
(3) 在适当的直角三角形中应用勾股定理进行计算或建立等量关系，列出方程，解决问题；
(4) 结合所求，写出实际问题的答案。
变式训练
1. (传统文化)风筝是一种人工制作、借助风力放飞空中、用绳线控制的飞行装置，中国古代的重要发明之一，被誉为世界上最早的人造飞行器。某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度。如图(示意图)，牵线放风筝的同学站在$A$处，风筝在$F$处，先测得他抓线的地方与地面的距离$AB$为$1.5\ \mathrm{m}$，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离$BC$为$15\ \mathrm{m}$，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线$BF$(假设为线段)的长为$17\ \mathrm{m}$。
(1) 求此时风筝的垂直高度$EF$的长；
(2) 若放风筝的同学站在点$A$不动，风筝沿$EF$的方向继续上升到$D$处，风筝线又放出了$8\ \mathrm{m}$，请求出风筝沿$EF$方向上升的高度$DF$的长。

思路分析
思考1：$BC^{2}-AC^{2}$
思考2：$CD^{2}-AC^{2}$
解：(1)B处的游船到岸边AC的距离为$8\sqrt{2}$m.
(2)游船向岸边移动的距离为$(8\sqrt{2}-3)$m.
变式训练
1. 解：(1)此时风筝的垂直高度EF的长为9.5m.
(2)风筝沿EF方向上升的高度DF的长为12m.

【解析】
例1解析：
(1) 已知$AC=4\ \mathrm{m}$，由题意得$BC=3AC=12\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{12^2-4^2}=\sqrt{144-16}=8\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
(2) 收绳7s后，收绳长度为$1×7=7\ \mathrm{m}$，此时绳子长度$CD=BC-7=12-7=5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ A=90°$，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\ \mathrm{m}$。
游船向岸边移动的距离$BD=AB-AD=(8\sqrt{2}-3)\ \mathrm{m}$。
变式训练1解析：
(1) 在$\mathrm{Rt}△BCF$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$CF=\sqrt{BF^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=8\ \mathrm{m}$。
风筝的垂直高度$EF=CF+AB=8+1.5=9.5\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝线放出8m后，$BD=BF+8=17+8=25\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=20\ \mathrm{m}$。
风筝上升的高度$DF=CD-CF=20-8=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
例1答案：
(1) $B$处的游船到岸边$AC$的距离为$\boldsymbol{8\sqrt{2}\ \mathrm{m}}$；
(2) 游船向岸边移动的距离为$\boldsymbol{(8\sqrt{2}-3)\ \mathrm{m}}$。
变式训练1答案：
(1) 此时风筝的垂直高度$EF$的长为$\boldsymbol{9.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 风筝沿$EF$方向上升的高度$DF$的长为$\boldsymbol{12\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理的实际应用，直角三角形边长计算
【点评】
本题通过拉船靠岸、放风筝的实际场景，考查勾股定理的应用，需将实际问题转化为直角三角形数学模型，利用勾股定理求解边长，既巩固核心知识，又培养数学建模与运算能力，题型贴近生活，有助于加深对知识点的理解。
【难度系数】
0.7