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【例5】计算：(1)$(\sqrt{5} + 2)^2 - 5\sqrt{\frac{1}{5}}$；
(2)$\sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{15} + 2\sqrt{5}$；
(3)$(10\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{2}) ÷ \sqrt{3}$；
(4)$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) × \sqrt{3} + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$。
(2)$\sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{15} + 2\sqrt{5}$；
(3)$(10\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{2}) ÷ \sqrt{3}$；
(4)$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) × \sqrt{3} + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$。
答案
【例 5】解：(1)$9 + 3\sqrt{5}$． (2)$2\sqrt{3}$．
(3)$22 + \frac{4\sqrt{6}}{3}$． (4)$\sqrt{6} - 1$．
(3)$22 + \frac{4\sqrt{6}}{3}$． (4)$\sqrt{6} - 1$．
解析
【解析】
(1) 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&(\sqrt{5} + 2)^2 - 5\sqrt{\frac{1}{5}}\\=&(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×2 + 2^2 - 5×\frac{\sqrt{5}}{5}\\=&5 + 4\sqrt{5} + 4 - \sqrt{5}\\=&9 + 3\sqrt{5}\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&\sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{15} + 2\sqrt{5}\\=&2\sqrt{3} - \sqrt{\frac{4}{3}×15} + 2\sqrt{5}\\=&2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\\=&2\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 将括号内的每一项分别除以$\sqrt{3}$，再化简计算：
$\begin{aligned}&(10\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{2}) ÷ \sqrt{3}\\=&10\sqrt{48÷3} - 6\sqrt{27÷3} + 4\sqrt{2÷3}\\=&10\sqrt{16} - 6\sqrt{9} + \frac{4\sqrt{6}}{3}\\=&40 - 18 + \frac{4\sqrt{6}}{3}\\=&22 + \frac{4\sqrt{6}}{3}\end{aligned}$
(4) 先计算二次根式的乘法和完全平方，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) × \sqrt{3} + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2\\=&3\sqrt{6} - 2×3 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6} + (\sqrt{3})^2\\=&3\sqrt{6} - 6 + 2 - 2\sqrt{6} + 3\\=&\sqrt{6} - 1\end{aligned}$
【答案】
(1)$9 + 3\sqrt{5}$；(2)$2\sqrt{3}$；(3)$22 + \frac{4\sqrt{6}}{3}$；(4)$\sqrt{6} - 1$
【知识点】
二次根式的混合运算、完全平方公式、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的运算法则与完全平方公式，运算时遵循先乘方、乘除，后加减，有括号先算括号内的顺序。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&(\sqrt{5} + 2)^2 - 5\sqrt{\frac{1}{5}}\\=&(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×2 + 2^2 - 5×\frac{\sqrt{5}}{5}\\=&5 + 4\sqrt{5} + 4 - \sqrt{5}\\=&9 + 3\sqrt{5}\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&\sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{15} + 2\sqrt{5}\\=&2\sqrt{3} - \sqrt{\frac{4}{3}×15} + 2\sqrt{5}\\=&2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\\=&2\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 将括号内的每一项分别除以$\sqrt{3}$，再化简计算：
$\begin{aligned}&(10\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{2}) ÷ \sqrt{3}\\=&10\sqrt{48÷3} - 6\sqrt{27÷3} + 4\sqrt{2÷3}\\=&10\sqrt{16} - 6\sqrt{9} + \frac{4\sqrt{6}}{3}\\=&40 - 18 + \frac{4\sqrt{6}}{3}\\=&22 + \frac{4\sqrt{6}}{3}\end{aligned}$
(4) 先计算二次根式的乘法和完全平方，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) × \sqrt{3} + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2\\=&3\sqrt{6} - 2×3 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6} + (\sqrt{3})^2\\=&3\sqrt{6} - 6 + 2 - 2\sqrt{6} + 3\\=&\sqrt{6} - 1\end{aligned}$
【答案】
(1)$9 + 3\sqrt{5}$；(2)$2\sqrt{3}$；(3)$22 + \frac{4\sqrt{6}}{3}$；(4)$\sqrt{6} - 1$
【知识点】
二次根式的混合运算、完全平方公式、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的运算法则与完全平方公式，运算时遵循先乘方、乘除，后加减，有括号先算括号内的顺序。
【难度系数】
0.6
【例6】先化简，再求值：$(\frac{1}{3}x\sqrt{9x} + y^2\sqrt{\frac{x}{y^3}}) - (x^2\sqrt{\frac{1}{x}} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}})$，其中$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{9}{2}$。
答案
【例 6】解：原式$= 6\sqrt{xy}$．
当$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{9}{2}$时，原式$= 9$．
当$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{9}{2}$时，原式$= 9$．
解析
【解析】
1. 化简原式中各项二次根式：
$\frac{1}{3}x\sqrt{9x} = \frac{1}{3}x · 3\sqrt{x} = x\sqrt{x}$
$y^2\sqrt{\frac{x}{y^3}} = y^2 · \frac{\sqrt{xy}}{y^2} = \sqrt{xy}$（由二次根式有意义可知$y＞0$）
$x^2\sqrt{\frac{1}{x}} = x^2 · \frac{\sqrt{x}}{x} = x\sqrt{x}$
$5x\sqrt{\frac{y}{x}} = 5x · \frac{\sqrt{xy}}{x} = 5\sqrt{xy}$
2. 代入原式并化简：
原式$=(x\sqrt{x} + \sqrt{xy}) - (x\sqrt{x} - 5\sqrt{xy})$
去括号得：$x\sqrt{x} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x} + 5\sqrt{xy}$
合并同类二次根式得：$6\sqrt{xy}$
3. 代入数值求值：
当$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{9}{2}$时，原式$=6\sqrt{\frac{1}{2} × \frac{9}{2}} = 6\sqrt{\frac{9}{4}} = 6 × \frac{3}{2} = 9$
【答案】
9
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的求值
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，关键是熟练运用二次根式的性质准确化简每一项，再合并同类二次根式，最后代入数值计算，需注意二次根式有意义的条件。
【难度系数】
0.6
1. 化简原式中各项二次根式：
$\frac{1}{3}x\sqrt{9x} = \frac{1}{3}x · 3\sqrt{x} = x\sqrt{x}$
$y^2\sqrt{\frac{x}{y^3}} = y^2 · \frac{\sqrt{xy}}{y^2} = \sqrt{xy}$（由二次根式有意义可知$y＞0$）
$x^2\sqrt{\frac{1}{x}} = x^2 · \frac{\sqrt{x}}{x} = x\sqrt{x}$
$5x\sqrt{\frac{y}{x}} = 5x · \frac{\sqrt{xy}}{x} = 5\sqrt{xy}$
2. 代入原式并化简：
原式$=(x\sqrt{x} + \sqrt{xy}) - (x\sqrt{x} - 5\sqrt{xy})$
去括号得：$x\sqrt{x} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x} + 5\sqrt{xy}$
合并同类二次根式得：$6\sqrt{xy}$
3. 代入数值求值：
当$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{9}{2}$时，原式$=6\sqrt{\frac{1}{2} × \frac{9}{2}} = 6\sqrt{\frac{9}{4}} = 6 × \frac{3}{2} = 9$
【答案】
9
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的求值
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，关键是熟练运用二次根式的性质准确化简每一项，再合并同类二次根式，最后代入数值计算，需注意二次根式有意义的条件。
【难度系数】
0.6
【例7】已知$x = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$，$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$。
(1)求$x + y$的值。
(2)求$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2$的值。
(1)求$x + y$的值。
(2)求$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2$的值。
答案
【例 7】解：(1)4． (2)16．
解析
【解析】
(1)先对$x$和$y$进行分母有理化：
$x = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$，
$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$，
则$x + y = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$。
(2)化简$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = \frac{x^2 + y^2 + 2xy}{xy} = \frac{(x + y)^2}{xy}$，
计算$xy = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$，
将$x + y = 4$，$xy = 1$代入得：$\frac{4^2}{1} = 16$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{4}$；(2)$\boldsymbol{16}$
【知识点】
分母有理化，代数式求值，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，通过分母有理化简化二次根式，再结合完全平方公式的逆用优化运算过程，需熟练掌握二次根式运算规则与整式公式的灵活应用。
【难度系数】
0.6
(1)先对$x$和$y$进行分母有理化：
$x = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$，
$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$，
则$x + y = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$。
(2)化简$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = \frac{x^2 + y^2 + 2xy}{xy} = \frac{(x + y)^2}{xy}$，
计算$xy = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$，
将$x + y = 4$，$xy = 1$代入得：$\frac{4^2}{1} = 16$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{4}$；(2)$\boldsymbol{16}$
【知识点】
分母有理化，代数式求值，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，通过分母有理化简化二次根式，再结合完全平方公式的逆用优化运算过程，需熟练掌握二次根式运算规则与整式公式的灵活应用。
【难度系数】
0.6
【例】已知$a = \sqrt{7} - 2$，$b = \sqrt{7} + 2$。求下列各式的值。
(1)$a^2 - b^2$；
(2)$a^2 - ab + b^2$。
(1)$a^2 - b^2$；
(2)$a^2 - ab + b^2$。
答案
【素养发展】
【例】解：(1)$-8\sqrt{7}$． (2)19．
【例】解：(1)$-8\sqrt{7}$． (2)19．
解析
【解析】
(1)利用平方差公式简化计算：
因为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，
已知$a = \sqrt{7} - 2$，$b = \sqrt{7} + 2$，
则$a+b=(\sqrt{7}-2)+(\sqrt{7}+2)=2\sqrt{7}$，
$a-b=(\sqrt{7}-2)-(\sqrt{7}+2)=-4$，
所以$a^2 - b^2=2\sqrt{7}×(-4)=-8\sqrt{7}$。
(2)将式子变形为完全平方相关形式计算：
先计算$ab=(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=(\sqrt{7})^2 - 2^2=7-4=3$，
由(1)知$a+b=2\sqrt{7}$，
则$a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab=(2\sqrt{7})^2 - 3×3=28-9=19$。
【答案】
(1)$-8\sqrt{7}$；(2)$19$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，灵活运用乘法公式可大幅简化计算过程，提升运算的准确性与效率。
【难度系数】
0.6
(1)利用平方差公式简化计算：
因为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，
已知$a = \sqrt{7} - 2$，$b = \sqrt{7} + 2$，
则$a+b=(\sqrt{7}-2)+(\sqrt{7}+2)=2\sqrt{7}$，
$a-b=(\sqrt{7}-2)-(\sqrt{7}+2)=-4$，
所以$a^2 - b^2=2\sqrt{7}×(-4)=-8\sqrt{7}$。
(2)将式子变形为完全平方相关形式计算：
先计算$ab=(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=(\sqrt{7})^2 - 2^2=7-4=3$，
由(1)知$a+b=2\sqrt{7}$，
则$a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab=(2\sqrt{7})^2 - 3×3=28-9=19$。
【答案】
(1)$-8\sqrt{7}$；(2)$19$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，灵活运用乘法公式可大幅简化计算过程，提升运算的准确性与效率。
【难度系数】
0.6
