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例 1
已知$△ ABC$的顶点$A$平移到顶点$D$，请用两种不同的方法，在图 9 - 5 中作出平移后的图形.
已知$△ ABC$的顶点$A$平移到顶点$D$，请用两种不同的方法，在图 9 - 5 中作出平移后的图形.
答案
方法一：利用平移方向和距离作图
1. 连接AD，确定平移方向为从A到D，平移距离为线段AD的长度。
2. 过点B作AD的平行线，在该平行线上截取BE=AD，得到点B的对应点E。
3. 过点C作AD的平行线，在该平行线上截取CF=AD，得到点C的对应点F。
4. 连接DE、EF、FD，△DEF即为平移后的图形。
方法二：利用网格或坐标系（若隐含）
1. 以A为起点，D为终点，确定平移向量（假设横向平移a个单位，纵向平移b个单位）。
2. 分别将点B、C按此向量平移：B(x₁+a,y₁+b)=E，C(x₂+a,y₂+b)=F。
3. 连接DE、EF、FD，△DEF即为平移后的图形。
（注：因无具体网格或坐标数据，方法二以通用平移向量描述，实际作图需结合图形中AD的方向和距离精确操作。）
1. 连接AD，确定平移方向为从A到D，平移距离为线段AD的长度。
2. 过点B作AD的平行线，在该平行线上截取BE=AD，得到点B的对应点E。
3. 过点C作AD的平行线，在该平行线上截取CF=AD，得到点C的对应点F。
4. 连接DE、EF、FD，△DEF即为平移后的图形。
方法二：利用网格或坐标系（若隐含）
1. 以A为起点，D为终点，确定平移向量（假设横向平移a个单位，纵向平移b个单位）。
2. 分别将点B、C按此向量平移：B(x₁+a,y₁+b)=E，C(x₂+a,y₂+b)=F。
3. 连接DE、EF、FD，△DEF即为平移后的图形。
（注：因无具体网格或坐标数据，方法二以通用平移向量描述，实际作图需结合图形中AD的方向和距离精确操作。）
解析
【分析】
要作出△ABC平移后的图形，核心是利用平移的性质：平移后对应点的连线平行（或共线）且相等，平移的方向和距离由A到D确定。我们可以从两个角度思考：
1. 先确定平移的方向和距离，再给B、C两点做相同的平移，找到对应点后连接成图形；
2. 把平移转化为平移向量（即点A到D的位置变化量），让B、C两点按照这个向量平移，得到对应点后连接成图形。
【解析】
方法一：利用平移的方向和距离作图
1. 连接线段AD，确定平移方向为从点A指向点D，平移距离为线段AD的长度；
2. 过点B作与AD平行的直线，在这条直线上截取线段BE，使BE=AD，得到点B的对应点E；
3. 过点C作与AD平行的直线，在这条直线上截取线段CF，使CF=AD，得到点C的对应点F；
4. 依次连接DE、EF、FD，△DEF即为△ABC平移后的图形。
方法二：利用平移向量作图
1. 分析点A到点D的平移变化，确定平移向量（即点A到D在水平和竖直方向的移动量）；
2. 将点B按照该平移向量进行平移，得到对应点E；将点C按照该平移向量进行平移，得到对应点F；
3. 依次连接DE、EF、FD，△DEF即为△ABC平移后的图形。
【答案】
作出平移后的△DEF（两种方法作出的图形一致）
【知识点】
平移的性质，平移作图
【点评】
本题通过两种方法考查平移作图，需熟练掌握平移的核心性质，理解平移过程中各对应点的位置关系，能灵活运用不同方法完成平移作图，为后续复杂的平移问题奠定基础。
【难度系数】
0.6
要作出△ABC平移后的图形，核心是利用平移的性质：平移后对应点的连线平行（或共线）且相等，平移的方向和距离由A到D确定。我们可以从两个角度思考：
1. 先确定平移的方向和距离，再给B、C两点做相同的平移，找到对应点后连接成图形；
2. 把平移转化为平移向量（即点A到D的位置变化量），让B、C两点按照这个向量平移，得到对应点后连接成图形。
【解析】
方法一：利用平移的方向和距离作图
1. 连接线段AD，确定平移方向为从点A指向点D，平移距离为线段AD的长度；
2. 过点B作与AD平行的直线，在这条直线上截取线段BE，使BE=AD，得到点B的对应点E；
3. 过点C作与AD平行的直线，在这条直线上截取线段CF，使CF=AD，得到点C的对应点F；
4. 依次连接DE、EF、FD，△DEF即为△ABC平移后的图形。
方法二：利用平移向量作图
1. 分析点A到点D的平移变化，确定平移向量（即点A到D在水平和竖直方向的移动量）；
2. 将点B按照该平移向量进行平移，得到对应点E；将点C按照该平移向量进行平移，得到对应点F；
3. 依次连接DE、EF、FD，△DEF即为△ABC平移后的图形。
【答案】
作出平移后的△DEF（两种方法作出的图形一致）
【知识点】
平移的性质，平移作图
【点评】
本题通过两种方法考查平移作图，需熟练掌握平移的核心性质，理解平移过程中各对应点的位置关系，能灵活运用不同方法完成平移作图，为后续复杂的平移问题奠定基础。
【难度系数】
0.6
例 2
如图 9 - 6①，$AB = DC$，画出线段$AB$平移后的线段$DE$，其平移方向为射线$AD$的方向，平移的距离为线段$AD$的长，平移后所得的线段$DE$与线段$DC$有怎样的数量关系？如图 9 - 6②，连接$EC$，$△ DEC$是什么三角形？试说明理由.
如图 9 - 6①，$AB = DC$，画出线段$AB$平移后的线段$DE$，其平移方向为射线$AD$的方向，平移的距离为线段$AD$的长，平移后所得的线段$DE$与线段$DC$有怎样的数量关系？如图 9 - 6②，连接$EC$，$△ DEC$是什么三角形？试说明理由.
答案
1. 因为线段DE是线段AB沿射线AD方向平移AD长度得到的，根据平移性质，平移后对应线段相等，所以DE=AB。又因为AB=DC，故DE=DC。
2. △DEC是等腰三角形。理由：由1知DE=DC，根据等腰三角形定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，所以△DEC是等腰三角形。
2. △DEC是等腰三角形。理由：由1知DE=DC，根据等腰三角形定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，所以△DEC是等腰三角形。
解析
【分析】
首先，我们要利用平移的性质分析线段DE与AB的关系，题目规定平移方向为射线AD方向、距离为AD长，根据平移性质，平移前后对应线段相等，所以DE=AB。结合已知AB=DC，通过等量代换就能得到DE和DC的数量关系。接着判断△DEC的形状，依据等腰三角形的定义，只要证明三角形中有两边相等即可，由前面的结论DE=DC，就能直接判定三角形形状。
【解析】
1. 求DE与DC的数量关系：
根据平移的性质，线段DE是线段AB沿射线AD方向平移AD长度得到的，因此平移后对应线段相等，即$DE = AB$。
已知$AB = DC$，通过等量代换可得：$DE = DC$。
2. 判断△DEC的形状：
$△ DEC$是等腰三角形，理由如下：
由上述结论可知$DE = DC$，根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，所以$△ DEC$是等腰三角形。
【答案】
$DE = DC$；$△ DEC$是等腰三角形，理由见解析。
【知识点】
平移的性质，等腰三角形的定义
【点评】
本题主要考查平移的性质和等腰三角形定义的应用，解题关键是熟练掌握平移前后对应线段相等的性质，以及等腰三角形的判定方法，通过等量代换实现线段关系的转化，进而判断三角形形状。
【难度系数】
0.6
首先，我们要利用平移的性质分析线段DE与AB的关系，题目规定平移方向为射线AD方向、距离为AD长，根据平移性质，平移前后对应线段相等，所以DE=AB。结合已知AB=DC，通过等量代换就能得到DE和DC的数量关系。接着判断△DEC的形状，依据等腰三角形的定义，只要证明三角形中有两边相等即可，由前面的结论DE=DC，就能直接判定三角形形状。
【解析】
1. 求DE与DC的数量关系：
根据平移的性质，线段DE是线段AB沿射线AD方向平移AD长度得到的，因此平移后对应线段相等，即$DE = AB$。
已知$AB = DC$，通过等量代换可得：$DE = DC$。
2. 判断△DEC的形状：
$△ DEC$是等腰三角形，理由如下：
由上述结论可知$DE = DC$，根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，所以$△ DEC$是等腰三角形。
【答案】
$DE = DC$；$△ DEC$是等腰三角形，理由见解析。
【知识点】
平移的性质，等腰三角形的定义
【点评】
本题主要考查平移的性质和等腰三角形定义的应用，解题关键是熟练掌握平移前后对应线段相等的性质，以及等腰三角形的判定方法，通过等量代换实现线段关系的转化，进而判断三角形形状。
【难度系数】
0.6
