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5. △ABC与△DEF是两个完全相同的直角三角形.将△DEF沿点B到点C的方向从△ABC的位置平移到如图所示的位置.若AB=14，图中阴影部分的面积为84，DH=4，求平移的距离.
答案
设平移的距离为$ x $，即$ BE = x $。
因为$ △ ABC $与$ △ DEF $是完全相同的直角三角形，所以$ DE = AB = 14 $。
由于$ DH = 4 $，则$ HE = DE - DH = 14 - 4 = 10 $。
因为$ △ ABC $和$ △ DEF $面积相等，且重叠部分为$ △ HEC $，所以阴影部分面积等于梯形$ ABEH $的面积。
梯形$ ABEH $的上底$ HE = 10 $，下底$ AB = 14 $，高为平移距离$ x $。
根据梯形面积公式：$ \frac{(上底 + 下底) × 高}{2} = 面积 $，可得：
$\frac{(10 + 14) × x}{2} = 84$
化简得：$ 12x = 84 $，解得$ x = 7 $。
平移的距离为$ 7 $。
因为$ △ ABC $与$ △ DEF $是完全相同的直角三角形，所以$ DE = AB = 14 $。
由于$ DH = 4 $，则$ HE = DE - DH = 14 - 4 = 10 $。
因为$ △ ABC $和$ △ DEF $面积相等，且重叠部分为$ △ HEC $，所以阴影部分面积等于梯形$ ABEH $的面积。
梯形$ ABEH $的上底$ HE = 10 $，下底$ AB = 14 $，高为平移距离$ x $。
根据梯形面积公式：$ \frac{(上底 + 下底) × 高}{2} = 面积 $，可得：
$\frac{(10 + 14) × x}{2} = 84$
化简得：$ 12x = 84 $，解得$ x = 7 $。
平移的距离为$ 7 $。
解析
【分析】
首先，平移的距离就是线段$ BE $的长度，我们可设其为$ x $。因为两个直角三角形完全相同，所以它们的面积相等，那么阴影部分的面积就等于梯形$ ABEH $的面积（两个大三角形减去重叠部分$ △HEC $后，剩余面积相等）。先根据$ AB=DE=14 $、$ DH=4 $算出$ HE $的长度，再利用梯形面积公式列出关于$ x $的方程，解方程即可得到平移距离。
【解析】
设平移的距离为$ x $，即$ BE = x $。
因为$ △ABC $与$ △DEF $是完全相同的直角三角形，所以$ DE = AB = 14 $。
已知$ DH = 4 $，则$ HE = DE - DH = 14 - 4 = 10 $。
由于$ S_{△ABC}=S_{△DEF} $，同时减去重叠部分$ S_{△HEC} $，可得$ S_{阴影}=S_{梯形ABEH} $。
根据梯形面积公式$ S=\frac{(a+b)h}{2} $（$ a $、$ b $为上下底，$ h $为高），代入梯形$ ABEH $的相关数据：
$\frac{(10 + 14)x}{2}=84$
化简得：$ 12x=84 $
解得：$ x=7 $
【答案】
平移的距离为7
【知识点】
1. 图形平移性质
2. 梯形面积公式
3. 全等三角形性质
【点评】
本题的关键是利用全等三角形面积相等，将阴影部分面积转化为梯形$ ABEH $的面积，避免了直接计算阴影部分面积的复杂过程，体现了转化思想在几何解题中的重要应用。
【难度系数】
0.6
首先，平移的距离就是线段$ BE $的长度，我们可设其为$ x $。因为两个直角三角形完全相同，所以它们的面积相等，那么阴影部分的面积就等于梯形$ ABEH $的面积（两个大三角形减去重叠部分$ △HEC $后，剩余面积相等）。先根据$ AB=DE=14 $、$ DH=4 $算出$ HE $的长度，再利用梯形面积公式列出关于$ x $的方程，解方程即可得到平移距离。
【解析】
设平移的距离为$ x $，即$ BE = x $。
因为$ △ABC $与$ △DEF $是完全相同的直角三角形，所以$ DE = AB = 14 $。
已知$ DH = 4 $，则$ HE = DE - DH = 14 - 4 = 10 $。
由于$ S_{△ABC}=S_{△DEF} $，同时减去重叠部分$ S_{△HEC} $，可得$ S_{阴影}=S_{梯形ABEH} $。
根据梯形面积公式$ S=\frac{(a+b)h}{2} $（$ a $、$ b $为上下底，$ h $为高），代入梯形$ ABEH $的相关数据：
$\frac{(10 + 14)x}{2}=84$
化简得：$ 12x=84 $
解得：$ x=7 $
【答案】
平移的距离为7
【知识点】
1. 图形平移性质
2. 梯形面积公式
3. 全等三角形性质
【点评】
本题的关键是利用全等三角形面积相等，将阴影部分面积转化为梯形$ ABEH $的面积，避免了直接计算阴影部分面积的复杂过程，体现了转化思想在几何解题中的重要应用。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在5×6的方格图中，每个小正方形的边长均为1，长方形ABCD的顶点都在格点上.如图①，将线段A₁A₂向右平移1个单位长度到B₁B₂的位置，得到封闭图形A₁A₂B₂B₁(阴影部分).如图②，将折线A₁A₂A₃向右平移1个单位长度到B₁B₂B₃的位置，得到封闭图形A₁A₂A₃B₃B₂B₁(阴影部分).
(1)如图③，画出将折线A₁A₂A₃A₄向右平移1个单位长度后的图形，并用阴影画出由这两条折线所围成的封闭图形；
(2)将图①、图②、图③中的长方形ABCD分别除去阴影部分后，剩余部分的面积记为S₁，S₂，S₃，则S₁=，S₂=，S₃=；
(3)如图④，在一块长为a，宽为b的长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路的水平宽度始终为1个单位长度)，草地部分的面积是；(用含a，b的代数式表示)
(4)如图⑤，某小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化.若道路的宽为2m，则绿化的面积为m².
(1)如图③，画出将折线A₁A₂A₃A₄向右平移1个单位长度后的图形，并用阴影画出由这两条折线所围成的封闭图形；
(2)将图①、图②、图③中的长方形ABCD分别除去阴影部分后，剩余部分的面积记为S₁，S₂，S₃，则S₁=，S₂=，S₃=；
(3)如图④，在一块长为a，宽为b的长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路的水平宽度始终为1个单位长度)，草地部分的面积是；(用含a，b的代数式表示)
(4)如图⑤，某小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化.若道路的宽为2m，则绿化的面积为m².
答案
(1) 如图③所示，将折线$A_1A_2A_3A_4$向右平移1个单位长度后的图形为$B_1B_2B_3B_4$，阴影部分为$A_1A_2A_3A_4B_4B_3B_2B_1$。
(2) $S_1 = 9$，$S_2 = 8$，$S_3 = 7$。
(3) 草地部分的面积为：$a × b - 1 × b = ab - b = b(a - 1)$。
所以答案为$a b - b$（或$b(a - 1)$）。
(4) 绿化的面积为：$32 × 20 - (32 + 20 - 2) × 2 + 2 × 2 = 540$。
所以答案为$540$。
(2) $S_1 = 9$，$S_2 = 8$，$S_3 = 7$。
(3) 草地部分的面积为：$a × b - 1 × b = ab - b = b(a - 1)$。
所以答案为$a b - b$（或$b(a - 1)$）。
(4) 绿化的面积为：$32 × 20 - (32 + 20 - 2) × 2 + 2 × 2 = 540$。
所以答案为$540$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据平移的性质，找到折线上的关键点$A_1,A_2,A_3,A_4$，将每个点向右平移1个单位得到对应点，依次连接对应点得到平移后的折线，最后画出两条折线围成的封闭阴影区域即可。
2. 第(2)问：先计算长方形$ABCD$的面积（长为4、宽为3，面积为$4×3=12$），再通过割补法分析阴影部分面积：图①阴影是底1、高3的平行四边形，面积为3；图②阴影可割补为面积4的图形；图③阴影面积为5，用长方形总面积减去阴影面积即可得到剩余部分面积。
3. 第(3)问：利用平移思想，将弯曲小路平移后，可发现小路是长为$b$、宽为1的长方形，用长方形草地的总面积减去小路面积，即可得到草地部分的面积。
4. 第(4)问：采用平移法，将“之”字路平移到长方形地块的边缘，绿化部分可转化为长$(32-2)\mathrm{m}$、宽$(20-2)\mathrm{m}$的规则长方形，直接计算该长方形面积即可。
【解析】
(1) 操作步骤：分别将点$A_1,A_2,A_3,A_4$向右平移1个单位，得到对应点$B_1,B_2,B_3,B_4$，依次连接$B_1B_2B_3B_4$，再画出折线$A_1A_2A_3A_4$与$B_1B_2B_3B_4$围成的封闭图形并涂阴影，画图结果与题目图③示例一致。
(2) ①计算长方形$ABCD$面积：$S_{ABCD}=4×3=12$
②计算剩余面积：
$S_1=12 - 1×3=9$；
$S_2=12 - 4=8$；
$S_3=12 - 5=7$。
(3) 平移小路后，小路面积为$1×b=b$，因此草地面积为：
$S_{\mathrm{草地}}=ab - b=b(a-1)$
(4) 将“之”字路平移到边缘，绿化部分拼成的长方形长为$32-2=30\ \mathrm{m}$，宽为$20-2=18\ \mathrm{m}$，面积为：
$30×18=540\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) 画图略（按上述方法画出平移后的折线及阴影封闭图形即可）；
(2) $\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{7}$；
(3) $\boldsymbol{ab - b}$（或$\boldsymbol{b(a-1)}$）；
(4) $\boldsymbol{540}$。
【知识点】
1. 图形的平移性质
2. 割补法求面积
3. 规则图形面积计算
【点评】
本题从基础的平移作图过渡到实际场景的面积计算，核心是利用平移的“等积转化”思想，将不规则图形转化为规则图形，简化计算过程。题目由浅入深，逐步培养学生的转化思维与空间想象能力，是平移性质在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：根据平移的性质，找到折线上的关键点$A_1,A_2,A_3,A_4$，将每个点向右平移1个单位得到对应点，依次连接对应点得到平移后的折线，最后画出两条折线围成的封闭阴影区域即可。
2. 第(2)问：先计算长方形$ABCD$的面积（长为4、宽为3，面积为$4×3=12$），再通过割补法分析阴影部分面积：图①阴影是底1、高3的平行四边形，面积为3；图②阴影可割补为面积4的图形；图③阴影面积为5，用长方形总面积减去阴影面积即可得到剩余部分面积。
3. 第(3)问：利用平移思想，将弯曲小路平移后，可发现小路是长为$b$、宽为1的长方形，用长方形草地的总面积减去小路面积，即可得到草地部分的面积。
4. 第(4)问：采用平移法，将“之”字路平移到长方形地块的边缘，绿化部分可转化为长$(32-2)\mathrm{m}$、宽$(20-2)\mathrm{m}$的规则长方形，直接计算该长方形面积即可。
【解析】
(1) 操作步骤：分别将点$A_1,A_2,A_3,A_4$向右平移1个单位，得到对应点$B_1,B_2,B_3,B_4$，依次连接$B_1B_2B_3B_4$，再画出折线$A_1A_2A_3A_4$与$B_1B_2B_3B_4$围成的封闭图形并涂阴影，画图结果与题目图③示例一致。
(2) ①计算长方形$ABCD$面积：$S_{ABCD}=4×3=12$
②计算剩余面积：
$S_1=12 - 1×3=9$；
$S_2=12 - 4=8$；
$S_3=12 - 5=7$。
(3) 平移小路后，小路面积为$1×b=b$，因此草地面积为：
$S_{\mathrm{草地}}=ab - b=b(a-1)$
(4) 将“之”字路平移到边缘，绿化部分拼成的长方形长为$32-2=30\ \mathrm{m}$，宽为$20-2=18\ \mathrm{m}$，面积为：
$30×18=540\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) 画图略（按上述方法画出平移后的折线及阴影封闭图形即可）；
(2) $\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{7}$；
(3) $\boldsymbol{ab - b}$（或$\boldsymbol{b(a-1)}$）；
(4) $\boldsymbol{540}$。
【知识点】
1. 图形的平移性质
2. 割补法求面积
3. 规则图形面积计算
【点评】
本题从基础的平移作图过渡到实际场景的面积计算，核心是利用平移的“等积转化”思想，将不规则图形转化为规则图形，简化计算过程。题目由浅入深，逐步培养学生的转化思维与空间想象能力，是平移性质在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.6
