12. 如图,点 $ A $,$ C $,$ F $,$ B $ 在同一条直线上,$ CD $ 平分 $ ∠ ECB $,$ FG // CD $.若 $ ∠ ECA = α $,则 $ ∠ GFB = $(用含 $ α $ 的式子表示).

$\because ∠ ECA = α$，
$\therefore ∠ ECB = 180° - α$，
$\because CD$平分$∠ ECB$，
$\therefore ∠ DCB = \frac{1}{2} × (180° - α) = 90° - \frac{α}{2}$，
$\because FG // CD$，
$\therefore ∠ GFB = ∠ DCB = 90° - \frac{α}{2}$，
故，答案为：$90° - \frac{α}{2}$。

13. 如图,$ AB // CD $,$ ∠ BAP = 110^{\circ} $,$ ∠ APC = 40^{\circ} $,则 $ ∠ DCP $ 的度数是.

过点P作PE//AB，
∵AB//CD，∴PE//CD（平行于同一直线的两条直线平行）。
∵PE//AB，∴∠BAP+∠APE=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠BAP=110°，∴∠APE=180°-110°=70°。
∵∠APC=40°，∴∠CPE=∠APE-∠APC=70°-40°=30°。
∵PE//CD，∴∠DCP=∠CPE=30°（两直线平行，内错角相等）。
30°

14. 如图,在三角形 $ ABC $ 中,$ AD ⊥ BC $,垂足是 $ D $,$ AD = 4 $,将三角形 $ ABC $ 沿射线 $ BC $ 向右平移后,得到三角形 $ A'B'C' $,连接 $ A'C $.若 $ BC' = 10 $,$ B'C = 3 $,则三角形 $ A'CC' $ 的面积是.

因为三角形$ABC$沿射线$BC$向右平移得到三角形$A'B'C'$，所以平移距离$BB' = CC' = x$，且$A'$到$BC$的距离等于$AD = 4$（平移不改变垂直距离）。
设$BC = m$，由平移性质知：
$BC' = BC + CC' = m + x = 10$
$B'C = BC - BB' = m - x = 3$
联立方程：
$\begin{cases}m + x = 10 \\m - x = 3\end{cases}$
解得$m = 6.5$，$x = 3.5$，即$CC' = 3.5$。
三角形$A'CC'$的面积为：
$S = \frac{1}{2} × CC' × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 3.5 × 4 = 7$
7

三、解答题(本题共 8 小题,共 66 分)
15. (本小题 6 分)如图,直线 $ AB $,$ CD $ 相交于点 $ O $,$ OM ⊥ AB $ 于点 $ O $.
(1) 若 $ ∠ 1 = ∠ 2 $,求 $ ∠ NOD $ 的度数;
(2) 若 $ ∠ BOC = 4 ∠ 1 $,求 $ ∠ AOC $,$ ∠ MOD $ 的度数.

(1)90°；(2)∠AOC=60°，∠MOD=150°

(1)∵OM⊥AB，∴∠AOM=90°（垂直定义）.∵∠AOM=∠AOC+∠1，∴∠AOC+∠1=90°.∵∠1=∠2，∴∠AOC+∠2=90°，即∠CON=90°.∵CD是直线，∴∠CON+∠NOD=180°（邻补角定义），∴∠NOD=180°-90°=90°.
(2)∵OM⊥AB，∴∠BOM=90°（垂直定义）.∵∠BOC=∠BOM+∠1=90°+∠1，且∠BOC=4∠1，∴4∠1=90°+∠1，解得∠1=30°.∵∠AOM=90°=∠AOC+∠1，∴∠AOC=90°-∠1=90°-30°=60°.∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=60°.∴∠MOD=∠MOB+∠BOD=90°+60°=150°.

16. (本小题 6 分)如图,$ AB // CD $,点 $ E $ 在 $ AC $ 上,连接 $ DE $.请按照下列要求作图(仅用无刻度的直尺作图,不写作法,保留作图痕迹).
(1) 请在图①中,作出一个与 $ ∠ CDE $ 互补的角;
(2) 请在图②的 $ CD $ 上方,作出一个与 $ ∠ CDE $ 相等的角.

(1) 作出∠AFD（图略）；(2) 作出∠AFD（图略）。

(1) 延长DE交AB于点F，∠AFD即为与∠CDE互补的角（依据：两直线平行，同旁内角互补）。
(2) 延长DE交AB于点F，∠AFD即为与∠CDE相等的角（依据：两直线平行，内错角相等）。