16. (本小题 10 分)如图,在 $△ ABC$ 中,$CD⊥ AB$,垂足为 $D$,$AC = 4$,$BC = 3$,$AD = \frac{16}{5}$.
(1) 求 $CD$,$BD$ 的长;
(2) 求证:$△ ABC$ 是直角三角形.

(1)
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC = 90^{\circ}$，根据勾股定理$a^2+b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a,b$为两直角边）可得：
$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{4^{2}-(\dfrac{16}{5})^{2}}=\sqrt{16 - \dfrac{256}{25}}=\sqrt{\dfrac{400 - 256}{25}}=\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{12}{5}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ BDC = 90^{\circ}$，$BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\dfrac{12}{5})^{2}}=\sqrt{9-\dfrac{144}{25}}=\sqrt{\dfrac{225 - 144}{25}}=\sqrt{\dfrac{81}{25}}=\dfrac{9}{5}$。
(2)
证明：
$AB=AD + BD=\dfrac{16}{5}+\dfrac{9}{5}=5$。
因为$AC = 4$，$BC = 3$，$AB = 5$，满足$AC^{2}+BC^{2}=4^{2}+3^{2}=16 + 9 = 25$，$AB^{2}=5^{2}=25$。
所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
综上，答案为：(1)$CD=\dfrac{12}{5}$，$BD=\dfrac{9}{5}$；(2)证明过程如上述所示。

17. (本小题 12 分)《算法统宗》中有这样一道题:平地秋千未起,踏板一尺离地;送行二步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉;良工高士素好奇,算出索长有几? 大致意思如下:如图,秋千静止的时候,踏板离地 1 尺,将它往前推送两步(注:两步 $= 10$ 尺)时,此时踏板升高离地 5 尺,秋千的绳索始终拉得很直,秋千绳索有多长?

设秋千绳索长为 $ x $ 尺。
静止时，踏板离地1尺，绳索顶端O到地面的距离为 $ x + 1 $ 尺。
推送后，踏板离地5尺，此时踏板到绳索顶端O的垂直距离为 $ (x + 1) - 5 = x - 4 $ 尺，水平距离为10尺（两步）。
由勾股定理得：$ 10^2 + (x - 4)^2 = x^2 $
展开得：$ 100 + x^2 - 8x + 16 = x^2 $
化简得：$ 116 - 8x = 0 $
解得：$ x = 14.5 $
答：秋千绳索长为14.5尺（或$\frac{29}{2}$尺）。