12. 如图,在 $△ ABC$ 中,$AB = AC = 5$,$BC = 2\sqrt{13}$,$D$ 是 $BC$ 的中点,则 $AD$ 的长是.

∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=DC=BC/2=√13。
在Rt△ABD中，AB=5，BD=√13，
由勾股定理得：AD²+BD²=AB²，
即AD²+(√13)²=5²，
AD²+13=25，
AD²=12，
AD=2√3（负值舍去）。
2√3

13. 如图,现有一张长方形纸片 $ABCD$,$AB = 3$ cm,$BC = 4$ cm,$E$ 是边 $AB$ 上一点,将长方形纸片沿 $CE$ 翻折,使点 $B$ 落在对角线 $AC$ 上,点 $B$ 的对应点为 $F$,则线段 $AE$ 的长是cm.

在长方形纸片$ABCD$中，$AB = 3\,\mathrm{cm}$，$BC = 4\,\mathrm{cm}$，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5\,\mathrm{cm}$。
设$AE = x\,\mathrm{cm}$，则$EB=(3 - x)\,\mathrm{cm}$。沿$CE$翻折后，点$B$落在$AC$上的点$F$处，根据折叠性质：$CF = BC = 4\,\mathrm{cm}$，$EF = EB=(3 - x)\,\mathrm{cm}$，且$∠ CFE=∠ B = 90°$，故$∠ AFE = 90°$。
因为$AC = 5\,\mathrm{cm}$，所以$AF=AC - CF=5 - 4=1\,\mathrm{cm}$。在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得$AE^2=AF^2 + EF^2$，即$x^2=1^2+(3 - x)^2$。
解方程：$x^2=1 + 9 - 6x + x^2$，化简得$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$。
$\frac{5}{3}$

14. 如图,大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为 $S_{1}$,$S_{2}$ 的两个正方形所拼成的.若直角三角形的斜边长为 $\sqrt{6}$,则 $S_{1} + S_{2}$ 的值为.

设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边长为$c$，由题意知$c = \sqrt{6}$。
根据勾股定理，$a^2 + b^2 = c^2$，则$a^2 + b^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$。
由图形结构可知，面积为$S_1$、$S_2$的两个正方形的边长分别为直角三角形的两条直角边$a$、$b$，因此$S_1 = a^2$，$S_2 = b^2$。
所以$S_1 + S_2 = a^2 + b^2 = 6$。
6

15. (本小题 10 分)如图,在 $3×4$ 的网格中,每个小正方形的边长都是 1,线段 $AB$,$CD$ 的端点都在格点上.
(1) 请在网格中画出线段 $EF$,使得 $EF$ 的长为 $\sqrt{5}$.
(2) 请问由 3 条线段 $AB$,$CD$,$EF$ 能否组成直角三角形? 并说明理由.

(1) 如图所示（画出一条端点在格点上，水平距离1、垂直距离2或水平距离2、垂直距离1的线段EF）。
(2) 能组成直角三角形。理由如下：
由勾股定理得，$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，$CD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{5}$。
因为$(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{2})^2=5+8=13=(\sqrt{13})^2$，即$EF^2+CD^2=AB^2$，所以三条线段能组成直角三角形。