6. 如图,等边三角形 $OAB$ 的边长为 2,则点 $B$ 的坐标为()

A.$(1,1)$
B.$(1,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},1)$
D.$(\sqrt{3},\sqrt{3})$

B

过点B作BC⊥OA于点C，∵△OAB是等边三角形，边长为2，∴OA=OB=AB=2，OC=AC=1。在Rt△OBC中，由勾股定理得BC=√(OB²-OC²)=√(2²-1²)=√3，∴点B的坐标为(1,√3)。

7. 如图,两艘轮船从港口 $O$ 同时出发,甲轮船沿南偏东 $30^{\circ}$ 方向以 $9$ n mile/h 的速度航行,乙轮船沿南偏西 $60^{\circ}$ 方向以 $12$ n mile/h 的速度航行,离开港口 $2$ h 后它们分别到达 $A$,$B$ 两点,此时两艘轮船之间的距离是()

A.$9$ n mile
B.$12$ n mile
C.$15$ n mile
D.$30$ n mile

D

根据题意，甲轮船从港口 $O$ 出发，沿南偏东 $30°$ 方向以 $9$ n mile/h 的速度航行，2小时后到达 $A$ 点，因此 $OA = 9 × 2 = 18$ n mile。
乙轮船从港口 $O$ 出发，沿南偏西 $60°$ 方向以 $12$ n mile/h 的速度航行，2小时后到达 $B$ 点，因此 $OB = 12 × 2 = 24$ n mile。
根据港口 $O$ 的方向，南偏东 $30°$ 和南偏西 $60°$ 之间的夹角为 $30° + 60° = 90°$，即 $∠ AOB = 90°$。
在直角三角形 $AOB$ 中，利用勾股定理计算 $A$ 和 $B$ 之间的距离：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \mathrm{ n mile}$

8. 勾股定理是几何中的一个重要定理.图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图②是将图①放入长方形内得到的.已知 $∠ BAC = 90^{\circ}$,$AB = 3$,$AC = 4$,且点 $D$,$E$,$F$,$G$,$H$,$I$ 都在长方形 $KLMJ$ 的边上,则长方形 $KLMJ$ 的面积为()


A.90
B.100
C.110
D.121

C

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，由勾股定理得BC=5。分析图②结构，长方形KLMJ的长为AC+BC+AB=4+5+3=12？不对，重新推导：水平方向，左侧直角三角形水平边长4（与AC等长），中间AC=4，右侧直角三角形水平边长3（与AB等长），总长=4+4+3=11；竖直方向，下侧直角三角形竖直边长3（与AB等长），中间AB=3，上侧直角三角形竖直边长4（与AC等长），总宽=3+3+4=10。长方形面积=11×10=110。

9. 在平面直角坐标系中,点 $A(-3,6)$ 到坐标原点的距离是.

在平面直角坐标系中，两点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$之间的距离公式为：
$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y1)^{2}}$
在本题中，点$A$的坐标为$(-3, 6)$，坐标原点$O$的坐标为$(0, 0)$。
将这些值代入距离公式，得到：
$OA = \sqrt{(0 - (-3))^{2} + (0 - 6)^{2}}$
$= \sqrt{3^{2} + (-6)^{2}}$
$= \sqrt{9 + 36}$
$= \sqrt{45}$
$= 3\sqrt{5}$
故答案为：$3\sqrt{5}$。

10. 在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB = 90^{\circ}$,$AC = 9$,$BC = 12$,则点 $C$ 到 $AB$ 的距离是.

$\frac{36}{5}$

在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 9$，$BC = 12$。
根据勾股定理，$AB^2=AC^2 + BC^2=9^2 + 12^2=81 + 144=225$，所以$AB = 15$。
设点$C$到$AB$的距离为$h$，根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· h$。
即$\frac{1}{2}×9×12=\frac{1}{2}×15× h$，解得$h=\frac{9×12}{15}=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}=7.2$。

11. 在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90^{\circ}$,$∠ A = 30^{\circ}$,$BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $E$,则 $\frac{CE}{CB} =$.

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠ABC=60°。
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=30°。
设BC=x，在Rt△BCE中，∠EBC=30°，∠C=90°，
tan∠EBC=CE/CB，即tan30°=CE/x。
∵tan30°=√3/3，∴CE/x=√3/3，即CE/CB=√3/3。
√3/3