4. 若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形需满足的条件是.

原四边形的对角线相等。

5. 如图，在$□ ABCD$中，延长$DA$到点$E$，延长$BC$到点$F$，使得$AE = CF$，连接$BE$，$DF$，$BD$.已知$∠ 1 = 30^{\circ}$，$∠ 2 = 20^{\circ}$，当$∠ ABE$的度数为时，四边形$BFDE$是菱形.

$10°$

要使四边形$BFDE$是菱形，需先证其为平行四边形，再满足邻边相等或对角线垂直。
1. 因为$□ABCD$，所以$AD// BC$且$AD = BC$。延长$DA$到$E$，延长$BC$到$F$，且$AE = CF$，则$DE = DA + AE = BC + CF = BF$，又$DE// BF$，故$BFDE$是平行四边形。
2. 要使$BFDE$为菱形，需$BE = DE$（邻边相等）。此时$△ BDE$中，$DE = BE$，则$∠ EDB=∠ EBD$。
3. 设$∠ ABE = x$，已知$∠ 1 = 30°$（即$∠ ADB = 30°$，因$AD// BC$，内错角相等），则$∠ EDB=∠ ADB = 30°$，故$∠ EBD = 30°$。
4. $∠ EBD=∠ ABE+∠ ABD$，即$30°=x+∠ ABD$，得$∠ ABD=30° - x$。
5. 在$△ ABD$中，$∠ DAB + ∠ ADB + ∠ ABD=180°$，$∠ ADB = 30°$，$∠ ABD=30° - x$，故$∠ DAB=180° - 30°-(30° - x)=120° + x$。
6. 已知$∠ 2 = 20°$（即$∠ CDB = 20°$），在$△ BCD$中，$∠ DBC=∠ ADB = 30°$（内错角），则$∠ BCD=180° - 30° - 20°=130°$。
7. 因$□ABCD$中$∠ DAB=∠ BCD$，故$120° + x=130°$，解得$x = 10°$。

6. 如图，矩形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$DE// AC$，$CE// BD$. 求证：四边形$OCED$是菱形.

证明：
∵ DE//AC，CE//BD，
∴ 四边形OCED是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，
∴ OC=OD。
∵ 四边形OCED是平行四边形，且OC=OD，
∴ 四边形OCED是菱形。

7. 如图，已知四边形$ABCD$是平行四边形.
(1) 请在图中作对角线$AC$的垂直平分线$EF$，点$E$，$F$分别在边$AD$，$BC$上；(不写作法，保留作图痕迹)
(2) 在(1)的条件下，连接$AF$，$CE$，求证：四边形$AECF$是菱形.

(1) 作图痕迹如图所示（作AC的垂直平分线，分别交AD于E，BC于F）。
(2) 证明：
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，EF⊥AC。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∴∠EAO=∠FCO。
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF。
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形。