1. 在$□ ABCD$中，连接$AC$，$BD$，添加下列一个条件后，能判定$□ ABCD$是菱形的是()

A.$AC = BD$
B.$AB⊥ BC$
C.$AD = BD$
D.$AC⊥ BD$

D

菱形的判定定理之一为对角线互相垂直的平行四边形是菱形。在平行四边形$ABCD$中，$AC$和$BD$是对角线，当$AC⊥ BD$时，平行四边形$ABCD$是菱形。
选项A中$AC = BD$，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定平行四边形$ABCD$是矩形；选项B中$AB⊥ BC$，只能说明$∠ ABC = 90^{\circ}$，可判定平行四边形$ABCD$是矩形；选项C中$AD = BD$，不能判定平行四边形$ABCD$是菱形。

2. 如图，$AD$是$△ ABC$的中线，四边形$ADCE$是平行四边形，增加下列条件，能判定$□ ADCE$是菱形的是()


A.$AB = AE$
B.$∠ DAE = 90^{\circ}$
C.$AB = AC$
D.$∠ BAC = 90^{\circ}$

D

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD。
∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE=CD，AE//BC，AD=CE，AD//CE。
选项C：若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AD是中线，根据等腰三角形三线合一，AD⊥BC。
∵AD//CE，∴CE⊥BC，即∠BCE=90°。
又∵ADCE是平行四边形，且AD⊥BC，AE//BC，∴AD⊥AE，即∠DAE=90°。
但要判定菱形，需邻边相等。
∵AB=AC，AD是中线，∴AD是△ABC的高和角平分线，无法直接得出AD=AE。
（修正：应为AB=AC时，AD是中线，根据等腰三角形性质，AD⊥BC，又∵ADCE是平行四边形，∴AD=CE，AE=CD=BD。
但AD=AE吗？
∵AE=CD=BD，AD是中线，若AB=AC，则AD是高，在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，AE=BD，若AD=AE，则AD=BD，此时∠B=45°，但AB=AC只能推出AD⊥BC，不能直接推出AD=AE。
正确思路：要使平行四边形ADCE是菱形，需AD=AE。
∵AE=CD=BD，AD=AD，若AB=AC，则AD⊥BC，在△ABD中，AD²+BD²=AB²；在△ADC中，AD²+DC²=AC²，∵AB=AC，BD=DC，∴AD=AD，无法得出AD=BD（即AD=AE）。
选项C错误。
选项D：∠BAC=90°，AD是中线，∴AD=BD=CD（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE=CD，∴AD=AE，∴平行四边形ADCE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
故正确选项为D。

3. 如图，在$△ ABC$中，$AD$，$CD$分别平分$∠ BAC$和$∠ ACB$，$AE// CD$，$CE// AD$.若从三个条件：①$AB = AC$；②$AB = BC$；③$AC = BC$中选择一个作为已知条件，则能使四边形$ADCE$为菱形的是.(填序号)

②

要使四边形$ADCE$为菱形，需先证明其为平行四边形，再证邻边相等。
步骤1：证明四边形$ADCE$是平行四边形
因为$AE // CD$，$CE // AD$，根据平行四边形定义，四边形$ADCE$是平行四边形。
步骤2：选择条件②$AB = BC$时，证邻边$AD = CD$
若$AB = BC$，则$△ ABC$中$∠ BAC = ∠ BCA$（等边对等角）。
$AD$平分$∠ BAC$，$CD$平分$∠ ACB$，故$∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ DCA = \frac{1}{2}∠ BCA$。
因为$∠ BAC = ∠ BCA$，所以$∠ DAC = ∠ DCA$。
在$△ ADC$中，$∠ DAC = ∠ DCA$，故$AD = CD$（等角对等边）。
步骤3：得出结论
平行四边形$ADCE$中，邻边$AD = CD$，因此四边形$ADCE$是菱形。