登录
14. 用简便方法计算：
(1)$\frac{10000}{251^{2}-249^{2}}$.
(2)$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})···(1-\frac{1}{9^{2}})(1-\frac{1}{10^{2}})$.
(1)$\frac{10000}{251^{2}-249^{2}}$.
(2)$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})···(1-\frac{1}{9^{2}})(1-\frac{1}{10^{2}})$.
答案
解：
(1) 根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，计算如下：
$\frac{10000}{251^2 - 249^2}=\frac{10000}{(251+249)(251-249)}=\frac{10000}{500×2}=\frac{10000}{1000}=10$
(2) 利用平方差公式$1-\frac{1}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})=\frac{n-1}{n}·\frac{n+1}{n}$，将原式展开后约分：
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})···(1-\frac{1}{9^2})(1-\frac{1}{10^2})$
$=(\frac{1}{2}·\frac{3}{2})·(\frac{2}{3}·\frac{4}{3})·(\frac{3}{4}·\frac{5}{4})···(\frac{8}{9}·\frac{10}{9})·(\frac{9}{10}·\frac{11}{10})$
$=\frac{1}{2}·\frac{11}{10}=\frac{11}{20}$
(1) 根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，计算如下：
$\frac{10000}{251^2 - 249^2}=\frac{10000}{(251+249)(251-249)}=\frac{10000}{500×2}=\frac{10000}{1000}=10$
(2) 利用平方差公式$1-\frac{1}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})=\frac{n-1}{n}·\frac{n+1}{n}$，将原式展开后约分：
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})···(1-\frac{1}{9^2})(1-\frac{1}{10^2})$
$=(\frac{1}{2}·\frac{3}{2})·(\frac{2}{3}·\frac{4}{3})·(\frac{3}{4}·\frac{5}{4})···(\frac{8}{9}·\frac{10}{9})·(\frac{9}{10}·\frac{11}{10})$
$=\frac{1}{2}·\frac{11}{10}=\frac{11}{20}$
解析
【解析】
(1)利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$对分母因式分解：
$\begin{aligned}251^2 - 249^2&=(251+249)(251-249)\\&=500×2\\&=1000\end{aligned}$
则原式$=\frac{10000}{1000}=10$。
(2)对每个括号利用平方差公式分解：
$1-\frac{1}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})=\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}$
则原式可转化为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})···(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{9}{10}×\frac{11}{10}\\=&\frac{1}{2}×\frac{11}{10}\\=&\frac{11}{20}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{10}$；(2)$\boldsymbol{\frac{11}{20}}$
【知识点】
平方差公式的应用，分式的约分
【点评】
本题考查平方差公式在简便计算中的灵活运用，通过因式分解将复杂运算转化为简单的约分和计算，既简化了运算步骤，又提升了计算准确性，需熟练掌握平方差公式的结构及分式约分的技巧。
【难度系数】
0.6
(1)利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$对分母因式分解：
$\begin{aligned}251^2 - 249^2&=(251+249)(251-249)\\&=500×2\\&=1000\end{aligned}$
则原式$=\frac{10000}{1000}=10$。
(2)对每个括号利用平方差公式分解：
$1-\frac{1}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})=\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}$
则原式可转化为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})···(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{9}{10}×\frac{11}{10}\\=&\frac{1}{2}×\frac{11}{10}\\=&\frac{11}{20}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{10}$；(2)$\boldsymbol{\frac{11}{20}}$
【知识点】
平方差公式的应用，分式的约分
【点评】
本题考查平方差公式在简便计算中的灵活运用，通过因式分解将复杂运算转化为简单的约分和计算，既简化了运算步骤，又提升了计算准确性，需熟练掌握平方差公式的结构及分式约分的技巧。
【难度系数】
0.6
15. 已知$a=\frac{22}{75}$，$b=\frac{25}{44}$，求$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$的值.
答案
15.$\frac{2}{3}$
解析
【解析】
先利用平方差公式化简原式：
$\begin{aligned}(a + b)^{2}-(a - b)^{2}&=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]\\&=(2a)(2b)\\&=4ab\end{aligned}$
将$a=\frac{22}{75}$，$b=\frac{25}{44}$代入得：
$4ab=4×\frac{22}{75}×\frac{25}{44}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平方差公式、整式化简求值、分式乘法运算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过公式化简可大幅简化计算过程，避免直接展开的繁琐运算，计算时需注意分式约分的技巧，提升计算准确性。
【难度系数】
0.8
先利用平方差公式化简原式：
$\begin{aligned}(a + b)^{2}-(a - b)^{2}&=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]\\&=(2a)(2b)\\&=4ab\end{aligned}$
将$a=\frac{22}{75}$，$b=\frac{25}{44}$代入得：
$4ab=4×\frac{22}{75}×\frac{25}{44}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平方差公式、整式化简求值、分式乘法运算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过公式化简可大幅简化计算过程，避免直接展开的繁琐运算，计算时需注意分式约分的技巧，提升计算准确性。
【难度系数】
0.8
16. 如图，在一块边长为$a\ cm$的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为$b\ cm$的正方形$(b ＜ \frac{a}{2})$，再把四周沿虚线折起，制成一个无盖的长方体盒子.当$a = 150$，$b = 25$时，制作这样一个长方体盒子至少需要铁皮多少平方厘米？
答案
16.20 000 cm²
解析
【解析】
制作该无盖长方体盒子所需铁皮的面积等于原正方形铁皮的面积减去四角剪去的4个小正方形的面积。
首先列出面积计算公式：$S = a^2 - 4b^2$。
将$a = 150$，$b = 25$代入公式：
$S = 150^2 - 4×25^2 = 22500 - 4×625 = 22500 - 2500 = 20000$（平方厘米）。
【答案】
$20000\ cm^2$
【知识点】
正方形面积公式，代数式求值
【点评】
本题考查正方形面积公式的应用与代数式求值，解题关键是明确所需铁皮面积的计算逻辑，代入数值计算时需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.9
制作该无盖长方体盒子所需铁皮的面积等于原正方形铁皮的面积减去四角剪去的4个小正方形的面积。
首先列出面积计算公式：$S = a^2 - 4b^2$。
将$a = 150$，$b = 25$代入公式：
$S = 150^2 - 4×25^2 = 22500 - 4×625 = 22500 - 2500 = 20000$（平方厘米）。
【答案】
$20000\ cm^2$
【知识点】
正方形面积公式，代数式求值
【点评】
本题考查正方形面积公式的应用与代数式求值，解题关键是明确所需铁皮面积的计算逻辑，代入数值计算时需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.9
