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8. 若$ma^{4}-81=(4a^{2}+9)(2a+3)(2a-3)$，则$m=$
16
.答案
8.16
解析
【解析】
先利用平方差公式计算右边：
1. 计算$(2a+3)(2a-3)=4a^2-9$；
2. 再计算$(4a^2+9)(4a^2-9)=16a^4-81$；
3. 因为$ma^4-81=16a^4-81$，根据多项式相等对应项系数相等，可得$m=16$。
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，多项式相等的条件
【点评】
本题考查平方差公式的连续运用及多项式相等的性质，熟练掌握平方差公式是解题的核心，通过逐步展开右边式子，对比左右两边对应项系数即可求出$m$的值。
【难度系数】
0.7
先利用平方差公式计算右边：
1. 计算$(2a+3)(2a-3)=4a^2-9$；
2. 再计算$(4a^2+9)(4a^2-9)=16a^4-81$；
3. 因为$ma^4-81=16a^4-81$，根据多项式相等对应项系数相等，可得$m=16$。
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，多项式相等的条件
【点评】
本题考查平方差公式的连续运用及多项式相等的性质，熟练掌握平方差公式是解题的核心，通过逐步展开右边式子，对比左右两边对应项系数即可求出$m$的值。
【难度系数】
0.7
9. 观察下列等式：$4^{2}-1^{2}=3×5$；$5^{2}-2^{2}=3×7$；$6^{2}-3^{2}=3×9$；$7^{2}-4^{2}=3×11$；$···$.第$n$($n$是正整数)个等式为
$(n+3)^{2}-n^{2}=3(2n+3)$
.答案
9.$(n+3)^{2}-n^{2}=3(2n+3)$
解析
【解析】
观察等式左边：第1个等式为$4^2-1^2=(1+3)^2-1^2$，第2个等式为$5^2-2^2=(2+3)^2-2^2$，第3个等式为$6^2-3^2=(3+3)^2-3^2$，以此类推，第$n$个等式左边为$(n+3)^2-n^2$；
观察等式右边：第1个等式为$3×5=3×(2×1+3)$，第2个等式为$3×7=3×(2×2+3)$，第3个等式为$3×9=3×(2×3+3)$，以此类推，第$n$个等式右边为$3(2n+3)$；
验证：左边展开$(n+3)^2-n^2=n^2+6n+9-n^2=6n+9$，右边$3(2n+3)=6n+9$，左右两边相等，故第$n$个等式为$(n+3)^2-n^2=3(2n+3)$。
【答案】
$(n+3)^{2}-n^{2}=3(2n+3)$
【知识点】
数字规律探究、平方差公式
【点评】
本题主要考查数字规律的探究，需通过观察等式左右两边的数字变化特征归纳通用表达式，可利用平方差公式验证规律正确性，培养归纳总结与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
观察等式左边：第1个等式为$4^2-1^2=(1+3)^2-1^2$，第2个等式为$5^2-2^2=(2+3)^2-2^2$，第3个等式为$6^2-3^2=(3+3)^2-3^2$，以此类推，第$n$个等式左边为$(n+3)^2-n^2$；
观察等式右边：第1个等式为$3×5=3×(2×1+3)$，第2个等式为$3×7=3×(2×2+3)$，第3个等式为$3×9=3×(2×3+3)$，以此类推，第$n$个等式右边为$3(2n+3)$；
验证：左边展开$(n+3)^2-n^2=n^2+6n+9-n^2=6n+9$，右边$3(2n+3)=6n+9$，左右两边相等，故第$n$个等式为$(n+3)^2-n^2=3(2n+3)$。
【答案】
$(n+3)^{2}-n^{2}=3(2n+3)$
【知识点】
数字规律探究、平方差公式
【点评】
本题主要考查数字规律的探究，需通过观察等式左右两边的数字变化特征归纳通用表达式，可利用平方差公式验证规律正确性，培养归纳总结与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
10. 把$a^{3}-ab^{2}$进行因式分解，结果正确的是(
A.$(a + ab)(a - ab)$
B.$a(a^{2}-b^{2})$
C.$a(a - b)^{2}$
D.$a(a - b)(a + b)$
D
)A.$(a + ab)(a - ab)$
B.$a(a^{2}-b^{2})$
C.$a(a - b)^{2}$
D.$a(a - b)(a + b)$
答案
10.D
解析
【解析】
首先提取公因式$a$，可得$a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2)$；
再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，进一步分解得到$a(a - b)(a + b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提取公因式法，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，需遵循先提公因式再用公式法的步骤，注意因式分解要彻底，不能半途而废。
【难度系数】
0.8
首先提取公因式$a$，可得$a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2)$；
再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，进一步分解得到$a(a - b)(a + b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提取公因式法，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，需遵循先提公因式再用公式法的步骤，注意因式分解要彻底，不能半途而废。
【难度系数】
0.8
11. 在边长为$a$的正方形中挖去一个边长为$b$的小正方形$(a ＞ b)$，再沿虚线剪开(如图1)，然后拼成一个等腰梯形(如图2)，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是(
A.$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
B.$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
C.$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
D.$a^{2}-b^{2}=(a - b)^{2}$
A
)A.$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
B.$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
C.$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
D.$a^{2}-b^{2}=(a - b)^{2}$
答案
11.A
解析
【解析】
首先计算图1的面积：边长为$a$的正方形减去边长为$b$的小正方形，面积为$a^2 - b^2$。
再计算图2中等腰梯形的面积：等腰梯形的上底为$2b$，下底为$2a$，高为$(a - b)$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，可得面积为$\frac{1}{2}(2a + 2b)(a - b)=(a + b)(a - b)$。
由于两个图形由同一图形割补而成，面积相等，因此$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，图形面积验证恒等式
【点评】
本题通过图形割补法，利用面积相等推导平方差公式，考查数形结合思想的应用，帮助理解平方差公式的几何意义，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先计算图1的面积：边长为$a$的正方形减去边长为$b$的小正方形，面积为$a^2 - b^2$。
再计算图2中等腰梯形的面积：等腰梯形的上底为$2b$，下底为$2a$，高为$(a - b)$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，可得面积为$\frac{1}{2}(2a + 2b)(a - b)=(a + b)(a - b)$。
由于两个图形由同一图形割补而成，面积相等，因此$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，图形面积验证恒等式
【点评】
本题通过图形割补法，利用面积相等推导平方差公式，考查数形结合思想的应用，帮助理解平方差公式的几何意义，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
12. 两个连续奇数的平方差是(
A.$6$的倍数
B.$8$的倍数
C.$12$的倍数
D.$16$的倍数
B
)A.$6$的倍数
B.$8$的倍数
C.$12$的倍数
D.$16$的倍数
答案
12.B
解析
【解析】
设两个连续奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（$n$为整数），利用平方差公式计算它们的平方差：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$8n$是8的倍数，即两个连续奇数的平方差是8的倍数。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式应用、奇数的代数表示
【点评】
本题通过代数方法表示连续奇数，结合平方差公式化简运算，考查整式运算能力与数的倍数判断，属于基础题型，需熟练掌握相关公式和数的表示方法。
【难度系数】
0.7
设两个连续奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（$n$为整数），利用平方差公式计算它们的平方差：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$8n$是8的倍数，即两个连续奇数的平方差是8的倍数。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式应用、奇数的代数表示
【点评】
本题通过代数方法表示连续奇数，结合平方差公式化简运算，考查整式运算能力与数的倍数判断，属于基础题型，需熟练掌握相关公式和数的表示方法。
【难度系数】
0.7
13. 分解因式：
(1)$m^{2}x^{4}-16m^{2}y^{4}$.
(2)$2x^{4}-18$.
(3)$3(m + n)^{2}-27n^{2}$.
(1)$m^{2}x^{4}-16m^{2}y^{4}$.
(2)$2x^{4}-18$.
(3)$3(m + n)^{2}-27n^{2}$.
答案
13.(1)$m^{2}(x^{2}+4y^{2})(x+2y)(x-2y)$
(2)$2(x^{2}+3)(x^{2}-3)$
(3)$3(m+4n)(m-2n)$
(2)$2(x^{2}+3)(x^{2}-3)$
(3)$3(m+4n)(m-2n)$
解析
【解析】
(1) 原式$=m^{2}(x^{4}-16y^{4})$
$=m^{2}[(x^{2})^{2}-(4y^{2})^{2}]$
$=m^{2}(x^{2}+4y^{2})(x^{2}-4y^{2})$
$=m^{2}(x^{2}+4y^{2})(x+2y)(x-2y)$
(2) 原式$=2(x^{4}-9)$
$=2[(x^{2})^{2}-3^{2}]$
$=2(x^{2}+3)(x^{2}-3)$
(3) 原式$=3[(m+n)^{2}-9n^{2}]$
$=3[(m+n)^{2}-(3n)^{2}]$
$=3(m+n+3n)(m+n-3n)$
$=3(m+4n)(m-2n)$
【答案】
(1)$m^{2}(x^{2}+4y^{2})(x+2y)(x-2y)$
(2)$2(x^{2}+3)(x^{2}-3)$
(3)$3(m+4n)(m-2n)$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，需遵循“先提公因式，再用公式”的步骤，确保因式分解彻底，是因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 原式$=m^{2}(x^{4}-16y^{4})$
$=m^{2}[(x^{2})^{2}-(4y^{2})^{2}]$
$=m^{2}(x^{2}+4y^{2})(x^{2}-4y^{2})$
$=m^{2}(x^{2}+4y^{2})(x+2y)(x-2y)$
(2) 原式$=2(x^{4}-9)$
$=2[(x^{2})^{2}-3^{2}]$
$=2(x^{2}+3)(x^{2}-3)$
(3) 原式$=3[(m+n)^{2}-9n^{2}]$
$=3[(m+n)^{2}-(3n)^{2}]$
$=3(m+n+3n)(m+n-3n)$
$=3(m+4n)(m-2n)$
【答案】
(1)$m^{2}(x^{2}+4y^{2})(x+2y)(x-2y)$
(2)$2(x^{2}+3)(x^{2}-3)$
(3)$3(m+4n)(m-2n)$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，需遵循“先提公因式，再用公式”的步骤，确保因式分解彻底，是因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.7
