13. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，过点 $C$ 作 $CE ⊥ AB$，垂足为 $E$，过点 $D$ 作 $DF ⊥ BA$，垂足为 $BA$ 延长线上的点 $F$，连接 $CF$ 交 $AD$ 于点 $G$。
(1) 求证：四边形 $CDFE$ 是矩形；
(2) 若 $AE = 1$，$BE = 2$，$AD = 2\sqrt{5}$，求 $FC$ 的长和四边形 $CDFE$ 的面积。
]

(2)$FC=5$，四边形$CDFE$的面积为$12$。

(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵$CE⊥ AB$，$DF⊥ BA$，
∴$∠ CEF=∠ DFE=90°$，且$CE// DF$（垂直于同一直线的两直线平行）。
∴四边形$CDFE$是平行四边形（两组对边分别平行）。
又∵$∠ CEF=90°$，
∴四边形$CDFE$是矩形。
(2)
∵$AE=1$，$BE=2$，
∴$AB=AE+BE=3$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$CD=AB=3$，$BC=AD=2\sqrt{5}$。
在$Rt△ BEC$中，$CE^2+BE^2=BC^2$，
∴$CE^2+(2)^2=(2\sqrt{5})^2$，
$CE^2=20-4=16$，
∴$CE=4$。
∵四边形$CDFE$是矩形，
∴$EF=CD=3$，$FC=\sqrt{EF^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
面积$S=EF· CE=3×4=12$。

14. (★★★)如图，在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$AC = 6$，$BC = 8$，$∠ C = 90^{\circ}$，在边 $AB$，$BC$，$AC$ 上分别取点 $D$，$E$，$F$，使四边形 $DECF$ 为矩形，则对角线 $EF$ 的长的最小值是。
]

24/5

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得AB=√(6²+8²)=10。
∵四边形DECF为矩形，∴EF=CD（矩形对角线相等），故求EF最小值即求CD最小值。
当CD⊥AB时，CD最小（垂线段最短）。
由面积公式得：1/2×AC×BC=1/2×AB×CD，即6×8=10×CD，解得CD=24/5。
∴EF的最小值为24/5。

15. (★★★)如图，在 $△ ABC$ 中，$O$ 是 $AC$ 边上的一动点，过点 $O$ 作直线 $MN // BC$，设 $MN$ 交 $∠ BCA$ 的平分线于点 $E$，交 $∠ BCA$ 的外角的平分线于点 $F$。
(1) 求证：$OE = OF$。
(2) 当点 $O$ 运动到何处时，四边形 $AECF$ 是矩形？请证明你的结论。
]

(1) 证明：
∵ CE平分∠ACB，∴ ∠ACE=∠BCE。
∵ MN//BC，∴ ∠OEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠OEC=∠ACE，∴ OE=OC（等角对等边）。
∵ CF平分∠ACD（∠ACB的外角），∴ ∠ACF=∠DCF。
∵ MN//BC，∴ ∠OFC=∠DCF（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠OFC=∠ACF，∴ OF=OC（等角对等边）。
∴ OE=OF。
(2) 当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。
证明：
∵ O为AC中点，∴ OA=OC。
由(1)知OE=OF，∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴ ∠ACE=1/2∠ACB，∠ACF=1/2∠ACD。
∵ ∠ACB+∠ACD=180°（邻补角定义），
∴ ∠ECF=∠ACE+∠ACF=1/2(∠ACB+∠ACD)=90°。
∴ 平行四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。