登录
1. (★) 请补全菱形的性质：对边平行，四条边都；对角，邻角；对角线互相且，并且每一条对角线一组对角；菱形是图形，它有条对称轴。
答案
相等；相等；互补；垂直；平分；平分；轴对称；$2$
解析
本题可根据菱形的性质来逐一填空。
菱形的四条边都相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有$2$条对称轴。
菱形的四条边都相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有$2$条对称轴。
2. (★) 如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$。
(1) 若$AB = 5$，则菱形$ABCD$的周长是。
(2) 若$∠ DAB = 60^{\circ}$，则$∠ ABC$的度数为，$∠ ABD$的度数为。
(3) 若$AC = 8$，$BD = 6$，则$AO$的长为，$BO$的长为，菱形的面积是。(提示：菱形的面积$=$对角线乘积的一半)
(1) 若$AB = 5$，则菱形$ABCD$的周长是。
(2) 若$∠ DAB = 60^{\circ}$，则$∠ ABC$的度数为，$∠ ABD$的度数为。
(3) 若$AC = 8$，$BD = 6$，则$AO$的长为，$BO$的长为，菱形的面积是。(提示：菱形的面积$=$对角线乘积的一半)
答案
20；120°；60°；4；3；24
解析
(1) 菱形四边相等，周长=4×AB=4×5=20。
(2) 菱形邻角互补，∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°=120°；菱形对角线平分内角，∠ABD=∠ABC÷2=120°÷2=60°。
(3) 菱形对角线互相平分，AO=AC÷2=8÷2=4，BO=BD÷2=6÷2=3；面积=AC×BD÷2=8×6÷2=24。
(2) 菱形邻角互补，∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°=120°；菱形对角线平分内角，∠ABD=∠ABC÷2=120°÷2=60°。
(3) 菱形对角线互相平分，AO=AC÷2=8÷2=4，BO=BD÷2=6÷2=3；面积=AC×BD÷2=8×6÷2=24。
3. (★) 关于菱形的性质，以下说法不正确的是【 】
A.四条边相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.是轴对称图形
A.四条边相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.是轴对称图形
答案
C
解析
菱形的性质有四条边相等，对角线互相垂直且平分，并且是轴对称图形，各有一条对称轴（两条对角线所在的直线），但菱形的对角线不一定相等，只有在特殊情况即当菱形为正方形时对角线才相等，一般情况下菱形的对角线不相等。
4. (★) 如图，在平面直角坐标系中，菱形$ABCD$的边$BC$在$x$轴上，且$OB = OC = 1$，点$A$在$y$轴正半轴上，则顶点$D$的坐标为。
答案
$(2,\sqrt{3})$
解析
因为菱形$ABCD$，所以$AB=BC=CD=AD$。已知$OB=OC=1$，则$BC=OB+OC=2$，所以$AB=BC=2$。在$Rt△ AOB$中，$OB=1$，$AB=2$，由勾股定理得$OA=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，所以点$A(0,\sqrt{3})$。因为$BC$在$x$轴上，$B(-1,0)$，$C(1,0)$，菱形对边平行且相等，$AD// BC$，$AD=BC=2$，点$A$在$y$轴上，所以点$D$的横坐标为$0 + 2=2$，纵坐标与$A$相同为$\sqrt{3}$，即$D(2,\sqrt{3})$。
5. (★★) 如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为$CD$的中点。若$OE = 3$，则菱形$ABCD$的周长为【 】
A.$6$
B.$12$
C.$24$
D.$48$
A.$6$
B.$12$
C.$24$
D.$48$
答案
C
解析
在菱形$ABCD$中，对角线$AC⊥ BD$，$O$为$AC$、$BD$中点。$E$为$CD$中点，在$Rt△ COD$中，$OE$是斜边$CD$的中线，所以$CD = 2OE = 2×3 = 6$。菱形四边相等，周长为$4×6 = 24$。
6. (★★) (2025·辽宁) 如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$AC = 8$，$BD = 12$，点$E$在线段$OA$上，$AE = 2$，点$F$在线段$OC$上，$OF = 1$，连接$BE$，$G$为$BE$的中点，连接$FG$，则$FG$的长为。
答案
√13
解析
以O为原点，AC为x轴，BD为y轴建立坐标系。
∵菱形ABCD，AC=8，BD=12，∴OA=OC=4，OB=OD=6，
∴A(4,0)，C(-4,0)，B(0,-6)，O(0,0)。
∵E在OA上，AE=2，OA=4，∴OE=2，E(2,0)。
∵F在OC上，OF=1，∴F(-1,0)。
G为BE中点，B(0,-6)，E(2,0)，
∴G点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{-6+0}{2})=(1,-3)$。
F(-1,0)，G(1,-3)，
∴$FG=\sqrt{(1-(-1))^2+(-3-0)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$。
∵菱形ABCD，AC=8，BD=12，∴OA=OC=4，OB=OD=6，
∴A(4,0)，C(-4,0)，B(0,-6)，O(0,0)。
∵E在OA上，AE=2，OA=4，∴OE=2，E(2,0)。
∵F在OC上，OF=1，∴F(-1,0)。
G为BE中点，B(0,-6)，E(2,0)，
∴G点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{-6+0}{2})=(1,-3)$。
F(-1,0)，G(1,-3)，
∴$FG=\sqrt{(1-(-1))^2+(-3-0)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$。
7. (★★) 如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是$AD$的中点，连接$OE$，过点$D$作$DF// AC$交$OE$的延长线于点$F$，连接$AF$。
(1) 求证：$△ AOE≌△ DFE$；
(2) 试判定四边形$AODF$的形状，并说明理由。
(1) 求证：$△ AOE≌△ DFE$；
(2) 试判定四边形$AODF$的形状，并说明理由。
答案
(1) 证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE。
∵DF//AC，∴∠OAE=∠FDE（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠AEO=∠FED（对顶角相等），
在△AOE和△DFE中，
$\{\begin{array}{l} ∠OAE=∠FDE \\ AE=DE \\ ∠AEO=∠FED \end{array} $，
∴△AOE≌△DFE（ASA）。
(2) 四边形AODF是矩形。理由如下：
由(1)知△AOE≌△DFE，∴AO=DF。
∵DF//AC，∴四边形AODF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠AOD=90°。
∴平行四边形AODF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
∵DF//AC，∴∠OAE=∠FDE（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠AEO=∠FED（对顶角相等），
在△AOE和△DFE中，
$\{\begin{array}{l} ∠OAE=∠FDE \\ AE=DE \\ ∠AEO=∠FED \end{array} $，
∴△AOE≌△DFE（ASA）。
(2) 四边形AODF是矩形。理由如下：
由(1)知△AOE≌△DFE，∴AO=DF。
∵DF//AC，∴四边形AODF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠AOD=90°。
∴平行四边形AODF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
