8. (★★)顺次连接四边形 $ABCD$ 各边中点得四边形 $EFGH$，要使四边形 $EFGH$ 是矩形，可以添加的一个条件是【 】

A.$AD // BC$
B.$AC = BD$
C.$AC ⊥ BD$
D.$AD = AB$

C

连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H，根据三角形中位线定理，EF//AC，EF=1/2AC，GH//AC，GH=1/2AC，所以EF//GH且EF=GH，四边形EFGH是平行四边形。要使平行四边形EFGH是矩形，需有一个角是直角，即EF⊥EH。因为EH//BD，EF//AC，所以当AC⊥BD时，EF⊥EH，四边形EFGH是矩形。

9. (★★)如图，$EB = EC$，$EA = ED$，$AD = BC$，$∠ AEB = ∠ DEC$，求证：四边形 $ABCD$ 是矩形。
]

证明：
1. 在△AEB和△DEC中，
∵EA=ED，∠AEB=∠DEC，EB=EC，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴AB=DC，∠EAB=∠EDC。
2. ∵AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
3. ∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA（等腰三角形底角相等）。
4. 设∠EAD=∠EDA=α，∠EAB=∠EDC=β，
则∠DAB=∠EAB+∠EAD=α+β，
∠ADC=∠EDC+∠EDA=β+α。
5. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠DAB+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
即(α+β)+(α+β)=180°，
∴α+β=90°，即∠DAB=90°。
6. ∵四边形ABCD是平行四边形，且∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
结论：四边形ABCD是矩形。

10. (★★)如图，线段 $DE$ 与 $AF$ 分别为 $△ ABC$ 的中位线与中线。
(1) 求证：$AF$ 与 $DE$ 互相平分。
(2) 当线段 $AF$ 与 $BC$ 满足怎样的数量关系时，四边形 $ADFE$ 为矩形？请说明理由。
]

(1) 证明：连接DF，EF。
∵DE是△ABC的中位线，∴D，E分别为AB，AC中点，DE//BC，DE=1/2BC。
∵AF是△ABC的中线，∴F为BC中点，即BF=FC=1/2BC，∴DE=FC。
∵D为AB中点，F为BC中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF//AC，DF=1/2AC。
∵E为AC中点，∴AE=1/2AC，∴DF=AE，且DF//AE。
∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分。
(2) 当AF=1/2BC时，四边形ADFE为矩形。
理由：由(1)知四边形ADFE是平行四边形。
∵DE是△ABC中位线，∴DE=1/2BC。若AF=1/2BC，则AF=DE。
∵平行四边形对角线相等时为矩形，∴四边形ADFE为矩形。

11. (★★)如图，$P$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的一点，过点 $P$ 作 $EF // BC$，分别交 $AB$，$CD$ 于点 $E$，$F$，连接 $PB$，$PD$。若 $AE = 1$，$PF = 3$，则图中阴影部分的面积是。
]

3

设矩形 $ABCD$ 中，$AB=a$，$BC=b$，以 $A$ 为原点，$AB$ 为 $x$ 轴，$AD$ 为 $y$ 轴建立坐标系，则 $A(0,0)$，$B(a,0)$，$C(a,b)$，$D(0,b)$。对角线 $AC$ 的方程为 $y=\frac{b}{a}x$。
因为 $EF // BC$，$AE=1$，所以 $E(1,0)$，$F(1,b)$，$EF$ 为直线 $x=1$。设 $P$ 为 $AC$ 与 $EF$ 的交点，则 $P(1,\frac{b}{a})$。
由 $PF=3$，得 $F$ 到 $P$ 的距离为 $b - \frac{b}{a}=3$，即 $b(1 - \frac{1}{a})=3$，化简得 $ab = b + 3a$。
阴影部分为 $△ BEP$ 和 $△ DFP$：
$△ BEP$ 中，$BE=a - 1$，高为 $P$ 的纵坐标 $\frac{b}{a}=b - 3$，面积 $S_1=\frac{1}{2}(a - 1)(b - 3)$；
$△ DFP$ 中，$DF=1$，高为 $PF=3$，面积 $S_2=\frac{1}{2} × 1 × 3=\frac{3}{2}$。
阴影总面积 $S=S_1 + S_2=\frac{1}{2}(a - 1)(b - 3) + \frac{3}{2}$。将 $ab = b + 3a$ 代入，得 $S=\frac{1}{2}(ab - 3a - b + 3) + \frac{3}{2}=\frac{1}{2}(3) + \frac{3}{2}=3$。

12. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，$∠ DAB$ 的平分线 $AE$ 与 $∠ ABC$ 的平分线 $BE$ 交于点 $E$，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AE$ 于点 $F$，过点 $C$ 作 $CG ⊥ BE$ 于点 $G$，$DF$ 与 $CG$ 的延长线交于点 $H$，连接 $FG$。有下列结论：① $DF$ 平分 $∠ ADC$；② 四边形 $EFHG$ 为矩形；③ $FG // CD$。其中正确的有【 】

A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$3$ 个

D

①设∠DAB=2α，AE平分∠DAB，则∠DAE=α。在□ABCD中，∠ADC=180°-2α。DF⊥AE，在Rt△ADF中，∠ADF=90°-α，故∠CDF=∠ADC-∠ADF=90°-α=∠ADF，即DF平分∠ADC，①正确。
②由平行四边形性质知∠DAB+∠ABC=180°，AE、BE为角平分线，故∠EAB+∠EBA=90°，则∠AEB=90°。DF⊥AE，CG⊥BE，故∠HFE=∠HGE=90°，四边形EFHG四个角均为直角，②正确。
③通过坐标法或几何关系可证F、G纵坐标相同（或FG与CD均为水平线段），故FG//CD，③正确。