1. (★)矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = 12\ \mathrm{cm}$，则 $△ ABO$ 的周长为。

18

在矩形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = 90°$，$AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = 12\ \mathrm{cm}$。由勾股定理得 $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\ \mathrm{cm}$。因为矩形对角线相等且互相平分，所以 $AO = BO = \frac{1}{2}AC = 6.5\ \mathrm{cm}$。则$△ ABO$的周长为 $AB + AO + BO = 5 + 6.5 + 6.5 = 18\ \mathrm{cm}$。

2. (★)在 $□ ABCD$ 中，
(1) 若 $∠ ABC = 90^{\circ}$，则 $□ ABCD$ 是矩形，依据是“的平行四边形是矩形”。
(2) 若 $AC = BD$，则 $□ ABCD$ 是矩形，依据是“的平行四边形是矩形”。

(1) 有一个角是直角
(2) 对角线相等

(1) 根据矩形的定义，一个平行四边形如果有一个角是直角，则该平行四边形是矩形。题中给出$∠ ABC = 90^{\circ}$，即存在一个直角，因此依据是“有一个角是直角”的平行四边形是矩形。
(2) 根据矩形的判定定理，一个平行四边形如果其对角线相等，则该平行四边形是矩形。题中给出$AC = BD$，即对角线相等，因此依据是“对角线相等”的平行四边形是矩形。

3. (★)在四边形 $ABCD$ 中，若 $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90^{\circ}$，则可以直接判定四边形 $ABCD$ 是矩形，理由是“有是直角的四边形是矩形”。

三个角

根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形。题目中四边形ABCD已有∠A=∠B=∠C=90°，满足三个角为直角的条件。

4. (★)如图，小华用四根木条钉成一个平行四边形框架 $ABCD$，他发现这个框架可以灵活变动形状。

(1) 他如何操作，才能确保这个框架变成矩形？请写出两种方法，并说明依据。
(2) 若他测得 $AC = BD$，能否直接断定框架是矩形？为什么？

(1)
方法一：测量角A或角B或角C或角D的度数，使其为90°，依据为一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法二：测量对角线AC和BD的长度，使其相等，依据为对角线相等的平行四边形是矩形。
(2)
能，因为这个平行四边形框架的对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形。

5. (★)已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，下列条件不能判定 $□ ABCD$ 为矩形的是【 】

A.$∠ A = 90^{\circ}$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$AC = BD$
D.$AC ⊥ BD$

D

矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
对于选项A，已知$∠ A = 90^{\circ}$，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以判定$□ABCD$为矩形。
对于选项B，因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ B = ∠ D$，又因为$∠ B = ∠ C$，所以$∠ C = ∠ D$，且$∠ B+∠ C = 180^{\circ}$，那么$∠ B = ∠ C= 90^{\circ}$，根据有三个角是直角的四边形是矩形或者有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以判定$□ABCD$为矩形。
对于选项C，因为四边形$ABCD$是平行四边形，且$AC = BD$，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定$□ABCD$为矩形。
对于选项D，$AC⊥ BD$，这是菱形的判定条件之一（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定$□ABCD$为矩形。

6. (★)以下条件不能判定四边形 $ABCD$ 是矩形的是【 】

A.$AB = CD$，$AD = BC$，$∠ A = 90^{\circ}$
B.$OA = OB = OC = OD$
C.$AB = CD$，$AB // CD$，$AC = BD$
D.$AB = CD$，$AB // CD$，$OA = OC$，$OB = OD$

D

选项A：由$AB=CD$，$AD=BC$可判定四边形$ABCD$是平行四边形，再由$∠A=90^{\circ}$，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形；选项B：由$OA=OB=OC=OD$，可得对角线互相平分且相等，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，可判定是矩形；选项C：由$AB=CD$，$AB// CD$可判定四边形$ABCD$是平行四边形，再由$AC=BD$，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定是矩形；选项D：由$AB=CD$，$AB// CD$可判定四边形$ABCD$是平行四边形，$OA=OC$，$OB=OD$是平行四边形的性质，不能判定是矩形。

7. (★★)如图，$AD$ 与 $BC$ 相交于点 $O$，$∠ ABO = ∠ DCO = 90^{\circ}$，$OB = OC$，$E$，$F$ 分别是 $OA$，$OD$ 的中点。
(1) 求证：$OE = OF$；
(2) 当 $∠ A = 30^{\circ}$ 时，求证：四边形 $BECF$ 是矩形。
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(1) 证明：
∵∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=∠DOC（对顶角相等），OB=OC，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴OA=OD。
∵E，F分别是OA，OD的中点，
∴OE=1/2OA，OF=1/2OD，
∴OE=OF。
(2) 证明：
∵OB=OC，OE=OF，
∴四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵∠A=30°，∠ABO=90°，
∴OB=1/2OA（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）。
∵E是OA中点，∴OE=1/2OA，
∴OB=OE。
∵∠AOB=180°-∠A-∠ABO=60°，
∴△OBE是等边三角形，∴OE=OB。
同理，OF=OC。
∵OB=OC，∴EF=OE+OF=OB+OC=BC。
∵四边形BECF是平行四边形，且EF=BC，
∴四边形BECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。