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1. 计算：$(m + 1)(m - 1) =$
$ m ^ { 2 } - 1 $
.答案
1. $ m ^ { 2 } - 1 $
解析
【分析】
观察题目中的两个二项式$(m + 1)$和$(m - 1)$，发现它们符合平方差公式的形式：两个数的和与这两个数的差相乘。解题思路是直接套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=m$，$b=1$，代入公式即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，
将$a=m$，$b=1$代入公式可得：
$(m + 1)(m - 1)=m^2 - 1^2=m^2 - 1$
【答案】
$m^2 - 1$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，属于基础题型，只要熟练掌握平方差公式的形式，就能快速准确得出结果，主要考察学生对公式的记忆与直接运用能力。
【难度系数】
0.9
观察题目中的两个二项式$(m + 1)$和$(m - 1)$，发现它们符合平方差公式的形式：两个数的和与这两个数的差相乘。解题思路是直接套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=m$，$b=1$，代入公式即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，
将$a=m$，$b=1$代入公式可得：
$(m + 1)(m - 1)=m^2 - 1^2=m^2 - 1$
【答案】
$m^2 - 1$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，属于基础题型，只要熟练掌握平方差公式的形式，就能快速准确得出结果，主要考察学生对公式的记忆与直接运用能力。
【难度系数】
0.9
2. 计算：$49×51 =$
2499
.答案
2. 2499
解析
【分析】
观察算式中的两个因数，49可表示为50-1，51可表示为50+1，这两个数的乘积符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式。利用平方差公式计算会比直接列竖式更简便，我们先将原式转化为平方差的形式，再代入公式逐步计算即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}49×51&=(50-1)(50+1)\\&=50^2 - 1^2\\&=2500 - 1\\&=2499\end{aligned}$
【答案】
2499
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的实际应用，对于接近整十、整百的数相乘，将其转化为整十、整百数与较小数的和差形式，利用平方差公式能大幅简化运算过程，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
观察算式中的两个因数，49可表示为50-1，51可表示为50+1，这两个数的乘积符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式。利用平方差公式计算会比直接列竖式更简便，我们先将原式转化为平方差的形式，再代入公式逐步计算即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}49×51&=(50-1)(50+1)\\&=50^2 - 1^2\\&=2500 - 1\\&=2499\end{aligned}$
【答案】
2499
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的实际应用，对于接近整十、整百的数相乘，将其转化为整十、整百数与较小数的和差形式，利用平方差公式能大幅简化运算过程，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
3. $(-4y - 3x)( ) = 16y^{2} - 9x^{2}$，括号内应填入的算式是(
A.$-4y + 3x$
B.$4y - 3$
C.$-4y - 3x$
D.$4y + 3x$
A
)A.$-4y + 3x$
B.$4y - 3$
C.$-4y - 3x$
D.$4y + 3x$
答案
3. A
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的逆用，解题思路如下：首先回忆平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，先把等式右边的$16y^2 - 9x^2$转化为平方差形式$(4y)^2-(3x)^2$，再分解为$(4y+3x)(4y-3x)$。接着观察已知因式$(-4y-3x)$，它可变形为$-(4y+3x)$，要得到右边的结果，另一个因式需要是$(4y-3x)$的相反数，即$-4y+3x$，这样两个因式相乘就能匹配等式右边的式子。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对等式右边的多项式因式分解：
$16y^2 - 9x^2=(4y)^2-(3x)^2=(4y+3x)(4y-3x)$
已知其中一个因式为$(-4y-3x)$，将其变形为$-(4y+3x)$，则另一个因式为：
$(4y-3x)×(-1)=-4y+3x$
因此括号内应填入的算式是$-4y+3x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式逆用
【点评】
本题核心是平方差公式的灵活运用，需要熟练掌握公式形式，准确对多项式进行因式分解，同时要注意符号的变化，避免因符号处理错误选错答案。
【难度系数】
0.7
这道题考查平方差公式的逆用，解题思路如下：首先回忆平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，先把等式右边的$16y^2 - 9x^2$转化为平方差形式$(4y)^2-(3x)^2$，再分解为$(4y+3x)(4y-3x)$。接着观察已知因式$(-4y-3x)$，它可变形为$-(4y+3x)$，要得到右边的结果，另一个因式需要是$(4y-3x)$的相反数，即$-4y+3x$，这样两个因式相乘就能匹配等式右边的式子。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对等式右边的多项式因式分解：
$16y^2 - 9x^2=(4y)^2-(3x)^2=(4y+3x)(4y-3x)$
已知其中一个因式为$(-4y-3x)$，将其变形为$-(4y+3x)$，则另一个因式为：
$(4y-3x)×(-1)=-4y+3x$
因此括号内应填入的算式是$-4y+3x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式逆用
【点评】
本题核心是平方差公式的灵活运用，需要熟练掌握公式形式，准确对多项式进行因式分解，同时要注意符号的变化，避免因符号处理错误选错答案。
【难度系数】
0.7
4. 三个连续奇数，其中间一个为$n$，则这三个奇数之积为(
A.$4n^{3} - n$
B.$n^{3} - 4n$
C.$8n^{2} - 8n$
D.$8n^{3} - 2n$
B
)A.$4n^{3} - n$
B.$n^{3} - 4n$
C.$8n^{2} - 8n$
D.$8n^{3} - 2n$
答案
4. B
解析
【分析】
首先，根据连续奇数的特征：相邻两个奇数相差2，已知中间的奇数为$n$，可得出前一个奇数是$n-2$，后一个奇数是$n+2$。接下来需要计算这三个奇数的乘积，为了简化计算，可以先利用平方差公式计算$(n-2)(n+2)$，再将结果与$n$相乘，最后化简得到的式子，对比选项即可得出答案。
【解析】
1. 表示三个连续奇数：
因为相邻两个奇数相差2，中间奇数为$n$，所以三个连续奇数分别为$n-2$，$n$，$n+2$。
2. 计算三个数的乘积：
$\begin{aligned}&(n-2) · n · (n+2)\\=&n · [(n-2)(n+2)]\\=&n · (n^2 - 4)\\=&n^3 - 4n\end{aligned}$
对比选项，可知结果与选项B一致。
【答案】
B
【知识点】
连续奇数的表示、平方差公式、整式乘法
【点评】
本题考查连续奇数的特征及整式的乘法运算，解题关键是准确表示出三个连续奇数，并灵活运用平方差公式简化计算，降低运算复杂度。
【难度系数】
0.8
首先，根据连续奇数的特征：相邻两个奇数相差2，已知中间的奇数为$n$，可得出前一个奇数是$n-2$，后一个奇数是$n+2$。接下来需要计算这三个奇数的乘积，为了简化计算，可以先利用平方差公式计算$(n-2)(n+2)$，再将结果与$n$相乘，最后化简得到的式子，对比选项即可得出答案。
【解析】
1. 表示三个连续奇数：
因为相邻两个奇数相差2，中间奇数为$n$，所以三个连续奇数分别为$n-2$，$n$，$n+2$。
2. 计算三个数的乘积：
$\begin{aligned}&(n-2) · n · (n+2)\\=&n · [(n-2)(n+2)]\\=&n · (n^2 - 4)\\=&n^3 - 4n\end{aligned}$
对比选项，可知结果与选项B一致。
【答案】
B
【知识点】
连续奇数的表示、平方差公式、整式乘法
【点评】
本题考查连续奇数的特征及整式的乘法运算，解题关键是准确表示出三个连续奇数，并灵活运用平方差公式简化计算，降低运算复杂度。
【难度系数】
0.8
5. 对于任意整数$n$，能整除代数式$(n + 3)(n - 3) - (n + 2)(n - 2)$的整数是(
A.4
B.3
C.5
D.2
C
)A.4
B.3
C.5
D.2
答案
5. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们的思路是先化简给定的代数式，再判断哪个整数能整除化简后的结果。首先观察到代数式中的两个乘积项都符合平方差公式的形式，因此可以利用平方差公式展开，然后通过去括号、合并同类项得到最简结果，最后看选项中的哪个整数能整除这个结果。
【解析】
步骤1：利用平方差公式展开代数式中的两项
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(n + 3)(n - 3)=n^2 - 9$
$(n + 2)(n - 2)=n^2 - 4$
步骤2：代入原式并化简
将展开后的结果代入原式：
$\begin{aligned}&(n^2 - 9)-(n^2 - 4)\\=&n^2 - 9 - n^2 + 4\\=&-5\end{aligned}$
步骤3：判断能整除-5的整数
因为$-5÷5=-1$，结果为整数，所以5能整除该代数式的结果。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式化简，整除的概念
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整除的概念，通过化简代数式得到常数结果，进而判断整除性，解题关键是熟练运用平方差公式进行整式的运算，题目基础，易于掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们的思路是先化简给定的代数式，再判断哪个整数能整除化简后的结果。首先观察到代数式中的两个乘积项都符合平方差公式的形式，因此可以利用平方差公式展开，然后通过去括号、合并同类项得到最简结果，最后看选项中的哪个整数能整除这个结果。
【解析】
步骤1：利用平方差公式展开代数式中的两项
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(n + 3)(n - 3)=n^2 - 9$
$(n + 2)(n - 2)=n^2 - 4$
步骤2：代入原式并化简
将展开后的结果代入原式：
$\begin{aligned}&(n^2 - 9)-(n^2 - 4)\\=&n^2 - 9 - n^2 + 4\\=&-5\end{aligned}$
步骤3：判断能整除-5的整数
因为$-5÷5=-1$，结果为整数，所以5能整除该代数式的结果。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式化简，整除的概念
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整除的概念，通过化简代数式得到常数结果，进而判断整除性，解题关键是熟练运用平方差公式进行整式的运算，题目基础，易于掌握。
【难度系数】
0.8
6. 计算$(3m + 1)(3m - 1) + 9(\frac{1}{3} - m)(\frac{1}{3} + m)$的结果是(
A.$18m^{2} - 2$
B.$2 - 18m^{2}$
C.0
D.2
C
)A.$18m^{2} - 2$
B.$2 - 18m^{2}$
C.0
D.2
答案
6. C
解析
【分析】
首先观察题目中的两个乘法运算，均符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式。解题思路为：先利用平方差公式分别展开两个乘法项，再去括号、合并同类项，最终计算出结果并匹配选项。
【解析】
1. 利用平方差公式展开第一个乘法项：
$(3m + 1)(3m - 1)=(3m)^2 - 1^2=9m^2 - 1$
2. 利用平方差公式展开第二个乘法项的括号部分，再乘以系数9：
$9(\frac{1}{3} - m)(\frac{1}{3} + m)=9[(\frac{1}{3})^2 - m^2]=9×(\frac{1}{9} - m^2)=1 - 9m^2$
3. 将两个展开后的结果相加并化简：
$(9m^2 - 1)+(1 - 9m^2)=9m^2 - 1 + 1 - 9m^2=0$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、整式加减运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整式的加减运算，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题关键，计算过程中需注意符号与系数的运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
首先观察题目中的两个乘法运算，均符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式。解题思路为：先利用平方差公式分别展开两个乘法项，再去括号、合并同类项，最终计算出结果并匹配选项。
【解析】
1. 利用平方差公式展开第一个乘法项：
$(3m + 1)(3m - 1)=(3m)^2 - 1^2=9m^2 - 1$
2. 利用平方差公式展开第二个乘法项的括号部分，再乘以系数9：
$9(\frac{1}{3} - m)(\frac{1}{3} + m)=9[(\frac{1}{3})^2 - m^2]=9×(\frac{1}{9} - m^2)=1 - 9m^2$
3. 将两个展开后的结果相加并化简：
$(9m^2 - 1)+(1 - 9m^2)=9m^2 - 1 + 1 - 9m^2=0$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、整式加减运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整式的加减运算，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题关键，计算过程中需注意符号与系数的运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
7. 计算：$9.8×10.2 =$
99.96
.答案
7. 99.96
解析
【分析】
观察算式中的两个数，9.8可转化为10-0.2，10.2可转化为10+0.2，这一形式正好匹配平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。利用该公式能避免复杂的小数竖式计算，先确定数的变形方式，再代入公式逐步计算即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}9.8×10.2&=(10 - 0.2)(10 + 0.2)\\&=10^2 - 0.2^2\\&=100 - 0.04\\&=99.96\end{aligned}$
【答案】
99.96
【知识点】
平方差公式应用、小数简便运算
【点评】
本题通过将接近整十的小数转化为整十数与较小数的和差形式，借助平方差公式简化了小数乘法运算，既提升了计算效率，又能降低计算出错的概率，充分体现了简便运算的数学思想。
【难度系数】
0.7
观察算式中的两个数，9.8可转化为10-0.2，10.2可转化为10+0.2，这一形式正好匹配平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。利用该公式能避免复杂的小数竖式计算，先确定数的变形方式，再代入公式逐步计算即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}9.8×10.2&=(10 - 0.2)(10 + 0.2)\\&=10^2 - 0.2^2\\&=100 - 0.04\\&=99.96\end{aligned}$
【答案】
99.96
【知识点】
平方差公式应用、小数简便运算
【点评】
本题通过将接近整十的小数转化为整十数与较小数的和差形式，借助平方差公式简化了小数乘法运算，既提升了计算效率，又能降低计算出错的概率，充分体现了简便运算的数学思想。
【难度系数】
0.7
8. 当$a = -7$，$b = -\frac{1}{2}$时，计算代数式$4(a - 3b)(a + 3b) - (2a + b)(2a - b)$的值.
答案
8. $ - \frac { 35 } { 4 } $
解析
【分析】
首先观察代数式的结构，发现其中$(a - 3b)(a + 3b)$和$(2a + b)(2a - b)$均符合平方差公式的形式。解题思路是先利用平方差公式对代数式进行化简，将其转化为最简形式后，再代入已知的$a$、$b$的值计算，这样能减少计算量，降低出错概率。具体步骤为：先用平方差公式展开乘积项，再去括号、合并同类项得到最简式，最后代入数值计算结果。
【解析】
1. 利用平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$展开代数式：
$\begin{aligned}&4(a - 3b)(a + 3b) - (2a + b)(2a - b)\\=&4[a^2 - (3b)^2] - [(2a)^2 - b^2]\\=&4(a^2 - 9b^2) - (4a^2 - b^2)\end{aligned}$
2. 去括号并合并同类项：
$\begin{aligned}=&4a^2 - 36b^2 - 4a^2 + b^2\\=&(4a^2 - 4a^2) + (-36b^2 + b^2)\\=&-35b^2\end{aligned}$
3. 代入$b = -\frac{1}{2}$计算：
$-35b^2 = -35×(-\frac{1}{2})^2 = -35×\frac{1}{4} = -\frac{35}{4}$
【答案】
$-\frac{35}{4}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用及代数式求值，通过先化简再代入的方式，有效简化了计算流程，避免了直接代入时的复杂运算，提升了解题准确性。解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确完成化简运算。
【难度系数】
0.8
首先观察代数式的结构，发现其中$(a - 3b)(a + 3b)$和$(2a + b)(2a - b)$均符合平方差公式的形式。解题思路是先利用平方差公式对代数式进行化简，将其转化为最简形式后，再代入已知的$a$、$b$的值计算，这样能减少计算量，降低出错概率。具体步骤为：先用平方差公式展开乘积项，再去括号、合并同类项得到最简式，最后代入数值计算结果。
【解析】
1. 利用平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$展开代数式：
$\begin{aligned}&4(a - 3b)(a + 3b) - (2a + b)(2a - b)\\=&4[a^2 - (3b)^2] - [(2a)^2 - b^2]\\=&4(a^2 - 9b^2) - (4a^2 - b^2)\end{aligned}$
2. 去括号并合并同类项：
$\begin{aligned}=&4a^2 - 36b^2 - 4a^2 + b^2\\=&(4a^2 - 4a^2) + (-36b^2 + b^2)\\=&-35b^2\end{aligned}$
3. 代入$b = -\frac{1}{2}$计算：
$-35b^2 = -35×(-\frac{1}{2})^2 = -35×\frac{1}{4} = -\frac{35}{4}$
【答案】
$-\frac{35}{4}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用及代数式求值，通过先化简再代入的方式，有效简化了计算流程，避免了直接代入时的复杂运算，提升了解题准确性。解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确完成化简运算。
【难度系数】
0.8
9. 利用平方差公式计算：
(1)$999.8×1000.2$；
(2)$2025×2023 - 2024^{2}$；
(3)$20\frac{2}{3}×21\frac{1}{3}$.
(1)$999.8×1000.2$；
(2)$2025×2023 - 2024^{2}$；
(3)$20\frac{2}{3}×21\frac{1}{3}$.
答案
9. (1) 999999.96 (2) -1 (3) $ 440 \frac { 8 } { 9 } $
解析
【分析】
本题主要考查平方差公式的应用，解题关键是将每个算式转化为$(a+b)(a-b)$的形式，再利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$进行简便计算。
(1) 观察999.8和1000.2，发现它们与1000的差均为0.2，可将999.8写成$1000-0.2$，1000.2写成$1000+0.2$，凑成平方差公式的形式后代入计算。
(2) 2025和2023分别与2024相差1，可将$2025×2023$转化为$(2024+1)(2024-1)$，利用平方差公式展开后，与后面的$2024^2$抵消，简化计算。
(3) 先把带分数$20\frac{2}{3}$转化为$21-\frac{1}{3}$，$21\frac{1}{3}$转化为$21+\frac{1}{3}$，构成平方差公式的形式，再代入公式计算并整理结果。
【解析】
(1) $999.8×1000.2$
$=(1000 - 0.2)(1000 + 0.2)$
$=1000^2 - 0.2^2$
$=1000000 - 0.04$
$=999999.96$
(2) $2025×2023 - 2024^2$
$=(2024 + 1)(2024 - 1) - 2024^2$
$=2024^2 - 1^2 - 2024^2$
$=-1$
(3) $20\frac{2}{3}×21\frac{1}{3}$
$=(21 - \frac{1}{3})(21 + \frac{1}{3})$
$=21^2 - (\frac{1}{3})^2$
$=441 - \frac{1}{9}$
$=440\frac{8}{9}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{999999.96}$；(2) $\boldsymbol{-1}$；(3) $\boldsymbol{440\frac{8}{9}}$
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题通过转化思想将复杂算式转化为平方差公式的标准形式，凸显了公式在简便计算中的优势，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题核心，能有效提升计算效率与准确性。
【难度系数】
0.6
本题主要考查平方差公式的应用，解题关键是将每个算式转化为$(a+b)(a-b)$的形式，再利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$进行简便计算。
(1) 观察999.8和1000.2，发现它们与1000的差均为0.2，可将999.8写成$1000-0.2$，1000.2写成$1000+0.2$，凑成平方差公式的形式后代入计算。
(2) 2025和2023分别与2024相差1，可将$2025×2023$转化为$(2024+1)(2024-1)$，利用平方差公式展开后，与后面的$2024^2$抵消，简化计算。
(3) 先把带分数$20\frac{2}{3}$转化为$21-\frac{1}{3}$，$21\frac{1}{3}$转化为$21+\frac{1}{3}$，构成平方差公式的形式，再代入公式计算并整理结果。
【解析】
(1) $999.8×1000.2$
$=(1000 - 0.2)(1000 + 0.2)$
$=1000^2 - 0.2^2$
$=1000000 - 0.04$
$=999999.96$
(2) $2025×2023 - 2024^2$
$=(2024 + 1)(2024 - 1) - 2024^2$
$=2024^2 - 1^2 - 2024^2$
$=-1$
(3) $20\frac{2}{3}×21\frac{1}{3}$
$=(21 - \frac{1}{3})(21 + \frac{1}{3})$
$=21^2 - (\frac{1}{3})^2$
$=441 - \frac{1}{9}$
$=440\frac{8}{9}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{999999.96}$；(2) $\boldsymbol{-1}$；(3) $\boldsymbol{440\frac{8}{9}}$
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题通过转化思想将复杂算式转化为平方差公式的标准形式，凸显了公式在简便计算中的优势，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题核心，能有效提升计算效率与准确性。
【难度系数】
0.6
10. 已知$(a + b + 1)(a + b - 1) = 63$，求$a + b$的值.
答案
10. 解: 因为 $ ( a + b + 1 ) ( a + b - 1 ) = 63 $
$ ( a + b ) ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } = 63 $
$ ( a + b ) ^ { 2 } = 64 $
所以 $ a + b = \pm 8 $
$ ( a + b ) ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } = 63 $
$ ( a + b ) ^ { 2 } = 64 $
所以 $ a + b = \pm 8 $
解析
【分析】
首先观察等式左边的结构，它是“两个数的和与这两个数的差相乘”的形式，符合平方差公式的特征。我们可以把$a + b$看作一个整体，先利用平方差公式展开左边的式子，得到关于$(a + b)^2$的方程，再通过移项求出$(a + b)^2$的值，最后根据平方根的定义就能求出$a + b$的结果。
【解析】
解：因为$(a + b + 1)(a + b - 1) = 63$
根据平方差公式$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$，将$a + b$看作整体$m$，$1$看作$n$，展开得：
$(a + b)^2 - 1^2 = 63$
即$(a + b)^2 - 1 = 63$
移项可得：
$(a + b)^2 = 63 + 1 = 64$
根据平方根的定义，平方等于64的数是±8，所以：
$a + b = \pm 8$
【答案】
$\pm 8$
【知识点】
平方差公式、平方根运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平方差公式的应用与平方根的求解，关键在于运用整体代换思想，将$a + b$看作一个整体简化运算，既检验了公式的掌握情况，也培养了学生的整体思维能力。
【难度系数】
0.8
首先观察等式左边的结构，它是“两个数的和与这两个数的差相乘”的形式，符合平方差公式的特征。我们可以把$a + b$看作一个整体，先利用平方差公式展开左边的式子，得到关于$(a + b)^2$的方程，再通过移项求出$(a + b)^2$的值，最后根据平方根的定义就能求出$a + b$的结果。
【解析】
解：因为$(a + b + 1)(a + b - 1) = 63$
根据平方差公式$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$，将$a + b$看作整体$m$，$1$看作$n$，展开得：
$(a + b)^2 - 1^2 = 63$
即$(a + b)^2 - 1 = 63$
移项可得：
$(a + b)^2 = 63 + 1 = 64$
根据平方根的定义，平方等于64的数是±8，所以：
$a + b = \pm 8$
【答案】
$\pm 8$
【知识点】
平方差公式、平方根运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平方差公式的应用与平方根的求解，关键在于运用整体代换思想，将$a + b$看作一个整体简化运算，既检验了公式的掌握情况，也培养了学生的整体思维能力。
【难度系数】
0.8
1. 计算$(x + 1)(x - 1)(x^{2} + 1)$的结果是(
A.$x^{2} + 1$
B.$x^{4} + 1$
C.$(x + 1)^{2}$
D.$x^{4} - 1$
D
)A.$x^{2} + 1$
B.$x^{4} + 1$
C.$(x + 1)^{2}$
D.$x^{4} - 1$
答案
1. D
解析
【分析】
这道题是整式乘法运算，观察式子结构可知，前两个因式$(x+1)(x-1)$符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式计算这两个因式的乘积，得到的结果再与第三个因式$(x^2+1)$相乘，此时新的式子依然满足平方差公式的结构，再次应用公式就能得到最终结果，最后对比选项即可选出正确答案。
【解析】
1. 计算前两个因式的乘积：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，令$a=x$，$b=1$，则
$(x + 1)(x - 1)=x^2 - 1^2=x^2 - 1$；
2. 将上述结果与第三个因式相乘：
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)$，再次利用平方差公式，令$a=x^2$，$b=1$，则
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)=(x^2)^2 - 1^2=x^4 - 1$。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的连续应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，熟练掌握$(a+b)(a-b)=a²-b²$的公式形式，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
这道题是整式乘法运算，观察式子结构可知，前两个因式$(x+1)(x-1)$符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式计算这两个因式的乘积，得到的结果再与第三个因式$(x^2+1)$相乘，此时新的式子依然满足平方差公式的结构，再次应用公式就能得到最终结果，最后对比选项即可选出正确答案。
【解析】
1. 计算前两个因式的乘积：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，令$a=x$，$b=1$，则
$(x + 1)(x - 1)=x^2 - 1^2=x^2 - 1$；
2. 将上述结果与第三个因式相乘：
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)$，再次利用平方差公式，令$a=x^2$，$b=1$，则
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)=(x^2)^2 - 1^2=x^4 - 1$。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的连续应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，熟练掌握$(a+b)(a-b)=a²-b²$的公式形式，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图，点$A$，$D$，$E$在同一直线上，大正方形$DEFG$与小正方形$ABCD$的面积之差是24，则阴影部分的面积是(
A.12
B.18
C.24
D.32
A
)A.12
B.18
C.24
D.32
答案
2. A
解析
【分析】
首先，我们可以通过设小正方形边长为$a$，大正方形边长为$b$，利用题目给出的面积差得到$b^2 - a^2 = 24$。接下来观察阴影部分的面积，可将其转化为两个三角形的面积差，通过三角形面积公式展开后，结合平方差公式，发现阴影部分面积恰好是两个正方形面积差的一半，从而代入已知条件求出结果。具体思考步骤：①设边长，将面积差转化为代数等式；②分析阴影部分的构成，用含$a$、$b$的式子表示阴影面积；③利用平方差公式化简，代入已知数值计算。
【解析】
设小正方形$ABCD$的边长为$a$，大正方形$DEFG$的边长为$b$。
1. 根据题意，大正方形与小正方形的面积之差为24，可得：
$b^2 - a^2 = 24$
由平方差公式，变形为：$(b - a)(b + a) = 24$
2. 计算阴影部分的面积：
阴影部分面积 = $S_{△ AFG} - S_{△ ABG}$
其中，$S_{△ AFG} = \frac{1}{2} × (a + b) × b$，$S_{△ ABG} = \frac{1}{2} × (a + b) × a$
代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{阴影面积}&=\frac{1}{2}(a + b)b - \frac{1}{2}(a + b)a\\&=\frac{1}{2}(a + b)(b - a)\end{aligned}$
3. 将$(b - a)(b + a) = 24$代入上式：
阴影面积 = $\frac{1}{2} × 24 = 12$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，三角形面积公式
【点评】
本题结合正方形与三角形的面积计算，考查了转化思想的应用。通过设未知数将几何问题代数化，利用平方差公式简化计算，需要学生具备一定的几何图形分析能力和代数推导能力，能有效锻炼学生的综合解题思维。
【难度系数】
0.4
首先，我们可以通过设小正方形边长为$a$，大正方形边长为$b$，利用题目给出的面积差得到$b^2 - a^2 = 24$。接下来观察阴影部分的面积，可将其转化为两个三角形的面积差，通过三角形面积公式展开后，结合平方差公式，发现阴影部分面积恰好是两个正方形面积差的一半，从而代入已知条件求出结果。具体思考步骤：①设边长，将面积差转化为代数等式；②分析阴影部分的构成，用含$a$、$b$的式子表示阴影面积；③利用平方差公式化简，代入已知数值计算。
【解析】
设小正方形$ABCD$的边长为$a$，大正方形$DEFG$的边长为$b$。
1. 根据题意，大正方形与小正方形的面积之差为24，可得：
$b^2 - a^2 = 24$
由平方差公式，变形为：$(b - a)(b + a) = 24$
2. 计算阴影部分的面积：
阴影部分面积 = $S_{△ AFG} - S_{△ ABG}$
其中，$S_{△ AFG} = \frac{1}{2} × (a + b) × b$，$S_{△ ABG} = \frac{1}{2} × (a + b) × a$
代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{阴影面积}&=\frac{1}{2}(a + b)b - \frac{1}{2}(a + b)a\\&=\frac{1}{2}(a + b)(b - a)\end{aligned}$
3. 将$(b - a)(b + a) = 24$代入上式：
阴影面积 = $\frac{1}{2} × 24 = 12$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，三角形面积公式
【点评】
本题结合正方形与三角形的面积计算，考查了转化思想的应用。通过设未知数将几何问题代数化，利用平方差公式简化计算，需要学生具备一定的几何图形分析能力和代数推导能力，能有效锻炼学生的综合解题思维。
【难度系数】
0.4
3. $59.8×60.2 =$
3599.96
.答案
3. 3599.96
解析
【分析】
观察算式中的两个因数，59.8可转化为60-0.2，60.2可转化为60+0.2，这恰好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式。解题时先将两个数转化为整十数与小数的和差形式，再利用平方差公式简化计算，避免直接进行复杂的小数乘法运算。
【解析】
$\begin{aligned}59.8×60.2&=(60 - 0.2)(60 + 0.2)\\&=60^2 - 0.2^2\\&=3600 - 0.04\\&=3599.96\end{aligned}$
【答案】
3599.96
【知识点】
平方差公式，有理数乘法
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，通过观察数字特征将原式转化为符合公式的形式，能大幅简化运算过程，同时也考验学生对数字的敏感度和公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
观察算式中的两个因数，59.8可转化为60-0.2，60.2可转化为60+0.2，这恰好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式。解题时先将两个数转化为整十数与小数的和差形式，再利用平方差公式简化计算，避免直接进行复杂的小数乘法运算。
【解析】
$\begin{aligned}59.8×60.2&=(60 - 0.2)(60 + 0.2)\\&=60^2 - 0.2^2\\&=3600 - 0.04\\&=3599.96\end{aligned}$
【答案】
3599.96
【知识点】
平方差公式，有理数乘法
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，通过观察数字特征将原式转化为符合公式的形式，能大幅简化运算过程，同时也考验学生对数字的敏感度和公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
4. $123456^{2} - 123455×123457 =$
1
.答案
4. 1
解析
【分析】
这道题直接计算会涉及超大数字的运算，非常繁琐，因此需要寻找简便方法。观察算式中的数字：123455、123456、123457是三个连续的整数，其中123455=123456-1，123457=123456+1，正好符合平方差公式的形式$(a-1)(a+1)=a^2-1$，我们可以通过设未知数的方式，将原式转化为利用平方差公式计算的形式，从而简化运算。
【解析】
设$ a = 123456 $，则$ 123455 = a - 1 $，$ 123457 = a + 1 $。
原式可转化为：
$\begin{aligned}&a^2 - (a - 1)(a + 1)\\=&a^2 - (a^2 - 1^2) \quad \mathrm{（利用平方差公式：}(x-y)(x+y)=x^2-y^2\mathrm{）}\\=&a^2 - a^2 + 1\\=&1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，通过将连续整数转化为同一数的加减形式，巧妙避开了超大数字的复杂运算，既提升了解题效率，也考验了学生观察数字特征、运用公式简化运算的能力。
【难度系数】
0.7
这道题直接计算会涉及超大数字的运算，非常繁琐，因此需要寻找简便方法。观察算式中的数字：123455、123456、123457是三个连续的整数，其中123455=123456-1，123457=123456+1，正好符合平方差公式的形式$(a-1)(a+1)=a^2-1$，我们可以通过设未知数的方式，将原式转化为利用平方差公式计算的形式，从而简化运算。
【解析】
设$ a = 123456 $，则$ 123455 = a - 1 $，$ 123457 = a + 1 $。
原式可转化为：
$\begin{aligned}&a^2 - (a - 1)(a + 1)\\=&a^2 - (a^2 - 1^2) \quad \mathrm{（利用平方差公式：}(x-y)(x+y)=x^2-y^2\mathrm{）}\\=&a^2 - a^2 + 1\\=&1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，通过将连续整数转化为同一数的加减形式，巧妙避开了超大数字的复杂运算，既提升了解题效率，也考验了学生观察数字特征、运用公式简化运算的能力。
【难度系数】
0.7
5. $1.01×0.99 =$
0.9999
.答案
5. 0.9999
解析
【分析】
这道题可以通过两种思路解答：一是观察数字特点，将1.01转化为(1+0.01)，0.99转化为(1-0.01)，利用平方差公式进行简便计算，这种方法比直接竖式计算更高效；二是运用常规小数乘法法则计算，验证结果的正确性。
【解析】
方法一：简便计算（平方差公式）
$1.01×0.99$
$=(1+0.01)(1-0.01)$
$=1^2 - 0.01^2$
$=1 - 0.0001$
$=0.9999$
方法二：常规小数乘法计算
按照小数乘法法则，先把1.01和0.99看作整数计算：$101×99=9999$，两个因数共有4位小数，从积的右边起数出4位点上小数点，得到$0.9999$。
【答案】
0.9999
【知识点】
平方差公式、小数乘法
【点评】
本题主要考查对平方差公式的灵活运用以及小数乘法的计算能力，简便方法能提升计算效率，常规计算可用于验证结果，帮助学生巩固不同计算技巧，加深对运算规律的理解。
【难度系数】
0.8
这道题可以通过两种思路解答：一是观察数字特点，将1.01转化为(1+0.01)，0.99转化为(1-0.01)，利用平方差公式进行简便计算，这种方法比直接竖式计算更高效；二是运用常规小数乘法法则计算，验证结果的正确性。
【解析】
方法一：简便计算（平方差公式）
$1.01×0.99$
$=(1+0.01)(1-0.01)$
$=1^2 - 0.01^2$
$=1 - 0.0001$
$=0.9999$
方法二：常规小数乘法计算
按照小数乘法法则，先把1.01和0.99看作整数计算：$101×99=9999$，两个因数共有4位小数，从积的右边起数出4位点上小数点，得到$0.9999$。
【答案】
0.9999
【知识点】
平方差公式、小数乘法
【点评】
本题主要考查对平方差公式的灵活运用以及小数乘法的计算能力，简便方法能提升计算效率，常规计算可用于验证结果，帮助学生巩固不同计算技巧，加深对运算规律的理解。
【难度系数】
0.8
6. $(\frac{1}{2}x + 3)^{2} - (\frac{1}{2}x - 3)^{2} =$
6x
.答案
6. 6x
解析
【分析】
这道题是两个平方项相减的形式，有两种解题思路：一是利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进行简便计算，二是分别展开两个完全平方再合并同类项。优先选择平方差公式，它能简化计算步骤、减少出错概率。先确定公式中的$a=\frac{1}{2}x + 3$，$b=\frac{1}{2}x - 3$，代入公式计算括号内的式子后相乘即可；若用展开法，需分别展开两个完全平方，再去括号合并同类项得到结果。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
$\begin{aligned}&(\frac{1}{2}x + 3)^{2} - (\frac{1}{2}x - 3)^{2}\\=&[(\frac{1}{2}x + 3)+(\frac{1}{2}x - 3)][(\frac{1}{2}x + 3)-(\frac{1}{2}x - 3)]\\=&(\frac{1}{2}x + 3 + \frac{1}{2}x - 3)(\frac{1}{2}x + 3 - \frac{1}{2}x + 3)\\=&x×6\\=&6x\end{aligned}$
方法二：展开完全平方后计算
$\begin{aligned}&(\frac{1}{2}x + 3)^{2} - (\frac{1}{2}x - 3)^{2}\\=&(\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9) - (\frac{1}{4}x^2 - 3x + 9)\\=&\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 - \frac{1}{4}x^2 + 3x - 9\\=&6x\end{aligned}$
【答案】
6x
【知识点】
平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题主要考查乘法公式的应用，平方差公式可大幅简化计算过程，相比展开完全平方更高效。解题时需准确识别公式结构，熟练掌握公式的变形与应用，注意去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.8
这道题是两个平方项相减的形式，有两种解题思路：一是利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进行简便计算，二是分别展开两个完全平方再合并同类项。优先选择平方差公式，它能简化计算步骤、减少出错概率。先确定公式中的$a=\frac{1}{2}x + 3$，$b=\frac{1}{2}x - 3$，代入公式计算括号内的式子后相乘即可；若用展开法，需分别展开两个完全平方，再去括号合并同类项得到结果。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
$\begin{aligned}&(\frac{1}{2}x + 3)^{2} - (\frac{1}{2}x - 3)^{2}\\=&[(\frac{1}{2}x + 3)+(\frac{1}{2}x - 3)][(\frac{1}{2}x + 3)-(\frac{1}{2}x - 3)]\\=&(\frac{1}{2}x + 3 + \frac{1}{2}x - 3)(\frac{1}{2}x + 3 - \frac{1}{2}x + 3)\\=&x×6\\=&6x\end{aligned}$
方法二：展开完全平方后计算
$\begin{aligned}&(\frac{1}{2}x + 3)^{2} - (\frac{1}{2}x - 3)^{2}\\=&(\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9) - (\frac{1}{4}x^2 - 3x + 9)\\=&\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 - \frac{1}{4}x^2 + 3x - 9\\=&6x\end{aligned}$
【答案】
6x
【知识点】
平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题主要考查乘法公式的应用，平方差公式可大幅简化计算过程，相比展开完全平方更高效。解题时需准确识别公式结构，熟练掌握公式的变形与应用，注意去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.8
