7. $(-3x^{2} + 2y^{2})(\_\_\_\_\_\_) = 9x^{4} - 4y^{4}$.

7. $ - 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } $

【分析】
首先观察等式右侧的$9x^4 - 4y^4$，它符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式。我们先将右侧多项式分解因式，再结合左侧已知的因式，通过对比或除法运算求出未知因式。具体思路：先确定$9x^4=(3x^2)^2$，$4y^4=(2y^2)^2$，将右侧分解为$(3x^2+2y^2)(3x^2-2y^2)$；再看左侧已知因式$(-3x^2+2y^2)$可变形为$-(3x^2-2y^2)$，用右侧的乘积除以已知因式，即可得到未知因式。
【解析】
1. 对等式右边的多项式进行因式分解：
$9x^4 - 4y^4 = (3x^2)^2 - (2y^2)^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$(3x^2)^2 - (2y^2)^2 = (3x^2 + 2y^2)(3x^2 - 2y^2)$
2. 变形左侧已知因式：
$(-3x^2 + 2y^2) = -(3x^2 - 2y^2)$
3. 设未知因式为$A$，则：
$(-3x^2 + 2y^2) · A = (3x^2 + 2y^2)(3x^2 - 2y^2)$
将$(-3x^2 + 2y^2)=-(3x^2 - 2y^2)$代入上式：
$-(3x^2 - 2y^2) · A = (3x^2 + 2y^2)(3x^2 - 2y^2)$
两边同时除以$(3x^2 - 2y^2)$（$3x^2 - 2y^2 ≠ 0$），得：
$-A = 3x^2 + 2y^2$
解得：$A = -3x^2 - 2y^2$
【答案】
$-3x^2 - 2y^2$
【知识点】
平方差公式的逆用
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，需要准确识别平方差的形式，熟练掌握因式分解的方法，同时注意符号的运算细节，避免因符号处理错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7

8. $(a + b)(a - b)(a^{2} + b^{2}) =$.

8. $ a ^ { 4 } - b ^ { 4 } $

【分析】
这道题是整式乘法运算，观察式子结构可知，前两个因式$(a+b)(a-b)$符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式计算这部分的乘积，得到的结果再与第三个因式$(a^2+b^2)$相乘，此时新的式子仍满足平方差公式的结构，再次应用平方差公式就能得出最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(a + b)(a - b)(a^{2} + b^{2})\\=&(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)\\=&a^4 - b^4\end{aligned}$
【答案】
$a^4 - b^4$
【知识点】
平方差公式应用
【点评】
本题考查平方差公式的连续运用，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，熟练掌握公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，按顺序逐步运算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

9. $(a^{n} + b)(a^{n} - b) =$.

9. $ a ^ { 2 n } - b ^ { 2 } $

【分析】
这道题考查平方差公式的应用，首先回忆平方差公式的形式：$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$。观察题目中的式子$(a^n + b)(a^n - b)$，可以把$a^n$看作公式中的$x$，$b$看作公式中的$y$，直接代入平方差公式进行计算即可，计算时要注意幂的乘方运算，$(a^n)^2 = a^{2n}$。
【解析】
根据平方差公式$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$，将$x = a^n$，$y = b$代入公式：
$\begin{aligned}(a^n + b)(a^n - b)&=(a^n)^2 - b^2\\&=a^{2n} - b^2\end{aligned}$
【答案】
$a^{2n} - b^2$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的直接应用，属于基础题型，解题关键是准确识别公式中的对应项，并正确进行幂的乘方运算，避免出现$(a^n)^2 = a^{n^2}$这类错误。
【难度系数】
0.9

10. 若$a + b = 4$，$a - b = -3$，则$\frac{1}{2}a^{2} - \frac{1}{2}b^{2} =$.

10. -6

【分析】
首先观察所求式子的结构，发现可以先提取公因式$\frac{1}{2}$，将式子变形为$\frac{1}{2}(a^2 - b^2)$。而$a^2 - b^2$符合平方差公式的形式，可分解为$(a+b)(a-b)$。题目中已经给出$a+b$和$a-b$的值，无需单独求解$a$、$b$，直接代入计算即可，这种整体代入的方法能简化运算步骤。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b^2&=\frac{1}{2}(a^2 - b^2)\\&=\frac{1}{2}(a + b)(a - b)\\&=\frac{1}{2}×4×(-3)\\&=2×(-3)\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
-6
【知识点】
平方差公式、因式分解（提取公因式）
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，通过提取公因式和平方差公式分解因式，将已知条件整体代入计算，体现了整体思想在代数运算中的简便性，要求学生熟练掌握平方差公式的结构特征及应用场景。
【难度系数】
0.8

11. 利用平方差公式计算：
(1)$\frac{2024}{2024^{2} - 2025×2023}$；
(2)$\frac{2024}{2025×2023 + 1}$；
(3)$(2a - b)(4a^{2} + b^{2})(2a + b)$.

11. (1) 2024 (2) $ \frac { 1 } { 2024 } $ (3) $ 16 a ^ { 4 } - b ^ { 4 } $

【分析】
这三道题核心是平方差公式的灵活应用，解题思路是通过对式子中的数或代数式变形，构造出平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，从而简化计算：
(1) 观察分母中的$2025×2023$，将2025转化为$2024+1$，2023转化为$2024-1$，用平方差公式计算乘积后代入分母化简，再求分数值；
(2) 与第(1)题思路类似，先利用平方差公式展开$2025×2023$，计算出分母后化简分数；
(3) 先通过乘法交换律将$(2a - b)$与$(2a + b)$优先相乘，得到平方差结果后，再与$(4a^2 + b^2)$继续用平方差公式计算，逐步化简得到最终结果。
【解析】
(1) 计算分母：
$\begin{aligned}2024^2 - 2025×2023&=2024^2 - (2024+1)(2024-1)\\&=2024^2 - (2024^2 - 1^2)\\&=2024^2 - 2024^2 + 1\\&=1\end{aligned}$
则原式$\frac{2024}{1}=2024$。
(2) 计算分母：
$\begin{aligned}2025×2023 + 1&=(2024+1)(2024-1) + 1\\&=(2024^2 - 1^2) + 1\\&=2024^2 - 1 + 1\\&=2024^2\end{aligned}$
则原式$\frac{2024}{2024^2}=\frac{1}{2024}$。
(3) 调整运算顺序并应用平方差公式：
$\begin{aligned}(2a - b)(4a^2 + b^2)(2a + b)&=(2a - b)(2a + b)(4a^2 + b^2)\\&=( (2a)^2 - b^2 )(4a^2 + b^2)\\&=(4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)\\&=(4a^2)^2 - (b^2)^2\\&=16a^4 - b^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2024}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2024}}$；(3) $\boldsymbol{16a^4 - b^4}$
【知识点】
平方差公式，乘法交换律
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，关键在于通过合理变形构造平方差形式简化运算，计算时需注意符号处理和运算顺序调整，确保每一步计算准确。
【难度系数】
0.6

12. 从边长为$a$的大正方形纸板中挖去一个边长为$b$的小正方形纸板后，将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图甲所示，然后拼成一个平行四边形，如图乙所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下.

12. 解: 图甲中阴影部分的面积为 $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $，
图乙中阴影部分的面积为 $ ( a + b ) ( a - b ) $，
因为阴影部分的面积相等，
所以 $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = ( a + b ) ( a - b ) $。
所以验证成立的公式为
$ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = ( a + b ) ( a - b ) $。

【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：
1. 先分析图甲的阴影面积：阴影部分是大正方形挖去小正方形后的剩余部分，直接用大正方形面积减去小正方形面积即可计算；
2. 再分析图乙的阴影面积：阴影部分是由四个相同等腰梯形拼成的平行四边形，可通过梯形面积公式计算总面积，或直接确定平行四边形的底和高来计算面积；
3. 最后利用“割补前后阴影部分面积相等”的关系，推导出对应的代数公式。
【解析】
1. 计算图甲阴影部分的面积：
大正方形的面积为 $a^2$，小正方形的面积为 $b^2$，因此阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积：
$S_{甲阴影}=a^2 - b^2$
2. 计算图乙阴影部分的面积：
图乙是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，每个等腰梯形的上底为 $b$，下底为 $a$，高为 $\frac{a - b}{2}$。
单个梯形面积为：$\frac{1}{2} × (a + b) × \frac{a - b}{2}$
四个梯形的总面积（即平行四边形面积）为：
$S_{乙阴影}=4 × \frac{1}{2} × (a + b) × \frac{a - b}{2}=(a + b)(a - b)$
3. 验证公式：
由于两个图形的阴影部分是同一部分裁剪拼接而来，面积相等，因此可得：
$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$
【答案】
图甲阴影部分面积为$a^2 - b^2$，图乙阴影部分面积为$(a + b)(a - b)$，验证了平方差公式$\boldsymbol{a^2 - b^2=(a + b)(a - b)}$。
【知识点】
平方差公式，图形割补变换，面积计算
【点评】
本题通过图形割补的直观方式，利用面积相等的原理验证平方差公式，将代数公式与几何图形结合，帮助理解平方差公式的本质，同时考查了正方形、梯形（平行四边形）的面积计算能力。
【难度系数】
0.6

1. 利用平方差公式计算：
(1)$(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×···×(2^{2n} + 1) + 1$（$n$是正整数）；
(2)$100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + ··· + 2^{2} - 1^{2}$.

1. (1) 解: 原式 $ = ( 2 - 1 ) × ( 2 + 1 ) × ( 2 ^ { 2 } + 1 ) × ( 2 ^ { 4 } + 1 ) × ··· × ( 2 ^ { 2 n } + 1 ) + 1 $
$ = ( 2 ^ { 2 } - 1 ) × ( 2 ^ { 2 } + 1 ) × ( 2 ^ { 4 } + 1 ) × ··· × ( 2 ^ { 2 n } + 1 ) + 1 $
$ = ( 2 ^ { 4 } - 1 ) × ( 2 ^ { 4 } + 1 ) × ··· × ( 2 ^ { 2 n } + 1 ) + 1 $
$ = ( 2 ^ { 8 } - 1 ) × ··· × ( 2 ^ { 2 n } + 1 ) + 1 $
$ = 2 ^ { 4 n } - 1 + 1 $
$ = 2 ^ { 4 n } $
(2) 解: 原式 $ = ( 100 + 99 ) ( 100 - 99 ) + ( 98 + 97 ) ( 98 - 97 ) + ··· ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) $
$ = 100 + 99 + 98 + 97 + ··· + 2 + 1 $
$ = \frac { ( 100 + 1 ) × 100 } { 2 } $
$ = 5050 $

【分析】
(1) 观察式子可知，各项均为$(2的幂次+1)$的形式，直接计算较为繁琐。根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，我们可以给原式乘以$(2-1)$（因$2-1=1$，乘1不改变原式的值），这样就能从左到右连续运用平方差公式逐步化简，最后再加上1即可得到结果。
(2) 式子是相邻两个数的平方差交替相加减，可将每两项分为一组，即$(100^2 - 99^2)$、$(98^2 - 97^2)$……$(2^2 - 1^2)$，每组都能利用平方差公式$(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$化简，每组中$a-b=1$，化简后转化为连续整数的和，再用等差数列求和公式计算即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= ( 2 - 1 ) × ( 2 + 1 ) × ( 2 ^ { 2 } + 1 ) × ( 2 ^ { 4 } + 1 ) × ··· × ( 2 ^ { 2 n } + 1 ) + 1 \\&= ( 2 ^ { 2 } - 1 ) × ( 2 ^ { 2 } + 1 ) × ( 2 ^ { 4 } + 1 ) × ··· × ( 2 ^ { 2 n } + 1 ) + 1 \\&= ( 2 ^ { 4 } - 1 ) × ( 2 ^ { 4 } + 1 ) × ··· × ( 2 ^ { 2 n } + 1 ) + 1 \\&= \dots \\&= 2 ^ { 4 n } - 1 + 1 \\&= 2 ^ { 4 n }\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= ( 100 + 99 ) ( 100 - 99 ) + ( 98 + 97 ) ( 98 - 97 ) + ··· + ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) \\&= 100 + 99 + 98 + 97 + ··· + 2 + 1 \\&= \frac { ( 100 + 1 ) × 100 } { 2 } \\&= 5050\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2^{4n}}$；(2) $\boldsymbol{5050}$
【知识点】
平方差公式，等差数列求和
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，第一题通过构造平方差公式的适用形式，连续化简得到结果；第二题通过分组利用平方差公式将式子转化为连续整数求和，体现了整体思想和转化思想在代数运算中的重要性，需熟练掌握平方差公式的结构特征和等差数列求和公式。
【难度系数】
0.3

2. 阅读下列材料，正整数的正整数次幂的个位数字是有规律的，以3为例：
因为$3^{1} = 3$，$3^{2} = 9$，$3^{3} = 27$，$3^{4} = 81$，$3^{5} = 243$，$3^{6} = 729$，$3^{7} = 2187$，$3^{8} = 6561$，$3^{9} = 19683······$
所以指数以1到4为一个周期，幂的个位数字就重复出现，一般来说，若$a^{k}$的个位数字是$b$，则$a^{4m + k}$的末位数字也是$b$（$k$为正整数，$m$为非负整数）.
请你根据上面提供的信息，求出$(3 - 1)(3 + 1)(3^{2} + 1)(3^{4} + 1)···(3^{32} + 1) + 1$的计算结果的个位数.

2. 解: $ ( 3 - 1 ) ( 3 + 1 ) ( 3 ^ { 2 } + 1 ) ( 3 ^ { 4 } + 1 ) ··· ( 3 ^ { 32 } + 1 ) + 1 $
$ = ( 3 ^ { 2 } - 1 ) ( 3 ^ { 2 } + 1 ) ( 3 ^ { 4 } + 1 ) ··· ( 3 ^ { 32 } + 1 ) + 1 $
$ = ( 3 ^ { 4 } - 1 ) ( 3 ^ { 4 } + 1 ) ··· ( 3 ^ { 32 } + 1 ) + 1 $
$ = 3 ^ { 64 } - 1 + 1 $
$ = 3 ^ { 64 } $
因为 $ 64 ÷ 4 = 16 $，
所以 $ 3 ^ { 64 } $ 的个位数字为 1.

【分析】
首先观察原式结构，前两个因式$(3 - 1)(3 + 1)$符合平方差公式形式，可先利用平方差公式计算得到$3^2 - 1$，该结果又能和下一个因式$(3^2 + 1)$再次运用平方差公式，以此类推逐步化简式子，最终将原式转化为$3^{64}$。再结合题目给出的3的正整数次幂个位数字的周期规律（周期为4），通过计算$64$除以$4$的商，判断$3^{64}$的个位数字即可。
【解析】
$\begin{aligned}&(3 - 1)(3 + 1)(3^{2} + 1)(3^{4} + 1)···(3^{32} + 1) + 1\\=&(3^{2} - 1)(3^{2} + 1)(3^{4} + 1)···(3^{32} + 1) + 1\\=&(3^{4} - 1)(3^{4} + 1)···(3^{32} + 1) + 1\\=&3^{64} - 1 + 1\\=&3^{64}\end{aligned}$
因为3的正整数次幂的个位数字以4为周期循环，且$64÷4 = 16$，无余数，说明$3^{64}$的个位数字与$3^4$的个位数字相同，$3^4$的个位数字是1，所以$3^{64}$的个位数字为1。
【答案】
1
【知识点】
平方差公式、乘方个位数字规律
【点评】
本题考查平方差公式的连续运用与有理数乘方个位数字的周期性规律。解题核心是观察式子特点，通过多次运用平方差公式将复杂乘积式化简为单一乘方形式，再结合周期规律确定个位数字，考验学生的观察能力与公式运用能力。
【难度系数】
0.4