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1. 计算：$(a + 2b)^2 =$
$ a^{2}+4ab+4b^{2} $
.答案
1. $ a^{2}+4ab+4b^{2} $
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，我们需要回忆完全平方和公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$。解题时，把题目中的$a$看作公式里的$m$，$2b$看作公式里的$n$，将其代入公式后，分别计算每一项，最后合并即可得到结果。要注意计算$(2b)^2$和$2× a×2b$时的运算细节，避免出错。
【解析】
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，令$m=a$，$n=2b$，则：
$\begin{aligned}(a + 2b)^2&=a^2+2× a×2b+(2b)^2\\&=a^2+4ab+4b^2\end{aligned}$
【答案】
$a^{2}+4ab+4b^{2}$
【知识点】
完全平方和公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，难度较低，解题关键是准确理解完全平方公式的结构，将$2b$作为整体代入公式，同时注意幂的运算规则，避免出现$(2b)^2=2b^2$这类错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查完全平方公式的应用，我们需要回忆完全平方和公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$。解题时，把题目中的$a$看作公式里的$m$，$2b$看作公式里的$n$，将其代入公式后，分别计算每一项，最后合并即可得到结果。要注意计算$(2b)^2$和$2× a×2b$时的运算细节，避免出错。
【解析】
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，令$m=a$，$n=2b$，则：
$\begin{aligned}(a + 2b)^2&=a^2+2× a×2b+(2b)^2\\&=a^2+4ab+4b^2\end{aligned}$
【答案】
$a^{2}+4ab+4b^{2}$
【知识点】
完全平方和公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，难度较低，解题关键是准确理解完全平方公式的结构，将$2b$作为整体代入公式，同时注意幂的运算规则，避免出现$(2b)^2=2b^2$这类错误。
【难度系数】
0.9
2. 计算：$(3a - b)^2 =$
$ 9a^{2}-6ab+b^{2} $
.答案
2. $ 9a^{2}-6ab+b^{2} $
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，首先回忆完全平方差公式：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。我们可以把$3a$看作公式中的$x$，$b$看作公式中的$y$，然后将其代入公式进行展开计算即可。
【解析】
根据完全平方差公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，将$x=3a$，$y=b$代入公式：
$\begin{aligned}(3a - b)^2&=(3a)^2 - 2×3a× b + b^2\\&=9a^2 - 6ab + b^2\end{aligned}$
【答案】
$9a^{2}-6ab+b^{2}$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，解题关键是准确识别公式中的对应项，注意计算时系数的平方以及乘积项的系数不要出错，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.8
这道题考查完全平方公式的应用，首先回忆完全平方差公式：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。我们可以把$3a$看作公式中的$x$，$b$看作公式中的$y$，然后将其代入公式进行展开计算即可。
【解析】
根据完全平方差公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，将$x=3a$，$y=b$代入公式：
$\begin{aligned}(3a - b)^2&=(3a)^2 - 2×3a× b + b^2\\&=9a^2 - 6ab + b^2\end{aligned}$
【答案】
$9a^{2}-6ab+b^{2}$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，解题关键是准确识别公式中的对应项，注意计算时系数的平方以及乘积项的系数不要出错，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$(mn - 2a)^2 =$
$ m^{2}n^{2}-4amn+4a^{2} $
.答案
3. $ m^{2}n^{2}-4amn+4a^{2} $
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，首先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。我们需要把题目中的$(mn - 2a)^2$对应到公式中，确定公式里的$a$是$mn$，$b$是$2a$，然后分别计算$a^2$、$2ab$、$b^2$，再按照公式的结构组合起来即可得到结果。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a=mn$，$b=2a$代入公式：
1. 计算$a^2$：$(mn)^2=m^2n^2$；
2. 计算$2ab$：$2× mn×2a=4amn$；
3. 计算$b^2$：$(2a)^2=4a^2$；
4. 按照公式组合：$(mn - 2a)^2=(mn)^2-2× mn×2a+(2a)^2=m^2n^2-4amn+4a^2$。
【答案】
$m^{2}n^{2}-4amn+4a^{2}$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，解题关键是准确识别公式中的对应项，注意计算系数和符号时不要出错，熟练掌握完全平方公式是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
这道题考查完全平方公式的应用，首先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。我们需要把题目中的$(mn - 2a)^2$对应到公式中，确定公式里的$a$是$mn$，$b$是$2a$，然后分别计算$a^2$、$2ab$、$b^2$，再按照公式的结构组合起来即可得到结果。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a=mn$，$b=2a$代入公式：
1. 计算$a^2$：$(mn)^2=m^2n^2$；
2. 计算$2ab$：$2× mn×2a=4amn$；
3. 计算$b^2$：$(2a)^2=4a^2$；
4. 按照公式组合：$(mn - 2a)^2=(mn)^2-2× mn×2a+(2a)^2=m^2n^2-4amn+4a^2$。
【答案】
$m^{2}n^{2}-4amn+4a^{2}$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，解题关键是准确识别公式中的对应项，注意计算系数和符号时不要出错，熟练掌握完全平方公式是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
4. 计算：$(-\frac{1}{2}a - b)^2 =$
$ \frac{1}{4}a^{2}+ab+b^{2} $
.答案
4. $ \frac{1}{4}a^{2}+ab+b^{2} $
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先观察式子结构，$(-\frac{1}{2}a - b)^2$是两个相同二项式相乘的形式，符合完全平方公式的特征。我们可以将式子变形为$[(-\frac{1}{2}a) + (-b)]^2$，或者利用“负数的平方为正数”转化为$(\frac{1}{2}a + b)^2$，再代入完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开计算，计算时要注意符号的处理，避免符号错误。
【解析】
解：$(-\frac{1}{2}a - b)^2$
$= [(-\frac{1}{2}a) + (-b)]^2$
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，令$m=-\frac{1}{2}a$，$n=-b$，代入可得：
$=(-\frac{1}{2}a)^2 + 2×(-\frac{1}{2}a)×(-b) + (-b)^2$
$=\frac{1}{4}a^2 + ab + b^2$
【答案】
$\frac{1}{4}a^{2}+ab+b^{2}$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是准确识别公式中的对应项并注意符号运算规则，属于基础题型，熟练掌握完全平方公式的结构特征就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先观察式子结构，$(-\frac{1}{2}a - b)^2$是两个相同二项式相乘的形式，符合完全平方公式的特征。我们可以将式子变形为$[(-\frac{1}{2}a) + (-b)]^2$，或者利用“负数的平方为正数”转化为$(\frac{1}{2}a + b)^2$，再代入完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开计算，计算时要注意符号的处理，避免符号错误。
【解析】
解：$(-\frac{1}{2}a - b)^2$
$= [(-\frac{1}{2}a) + (-b)]^2$
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，令$m=-\frac{1}{2}a$，$n=-b$，代入可得：
$=(-\frac{1}{2}a)^2 + 2×(-\frac{1}{2}a)×(-b) + (-b)^2$
$=\frac{1}{4}a^2 + ab + b^2$
【答案】
$\frac{1}{4}a^{2}+ab+b^{2}$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是准确识别公式中的对应项并注意符号运算规则，属于基础题型，熟练掌握完全平方公式的结构特征就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
5. 已知：$a^2 + b^2 = 7$，$ab = -3$，则$(a - b)^2 =$
13
.答案
5. 13
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要借助完全平方公式的变形来求解。首先回忆完全平方公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，该式可整理为$(a^2 + b^2) - 2ab$，题目已经给出$a^2 + b^2 = 7$和$ab = -3$这两个条件，只需将已知值代入变形后的式子，就能计算出结果。
【解析】
根据完全平方公式的变形：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab$
将$a^2 + b^2 = 7$，$ab = -3$代入上式：
原式$= 7 - 2×(-3) = 7 + 6 = 13$
【答案】
13
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形形式，将已知条件整体代入计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要借助完全平方公式的变形来求解。首先回忆完全平方公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，该式可整理为$(a^2 + b^2) - 2ab$，题目已经给出$a^2 + b^2 = 7$和$ab = -3$这两个条件，只需将已知值代入变形后的式子，就能计算出结果。
【解析】
根据完全平方公式的变形：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab$
将$a^2 + b^2 = 7$，$ab = -3$代入上式：
原式$= 7 - 2×(-3) = 7 + 6 = 13$
【答案】
13
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形形式，将已知条件整体代入计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
6. $a^2 + b^2 = (a + b)^2 +$
$ -2ab $
.答案
6. $ -2ab $
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先回忆完全平方公式的展开形式，然后通过设未知数、移项化简来求出空缺的部分。具体思路如下：首先将等式右边的$(a+b)^2$展开，再把已知的$a^2 + b^2$移到等式右边进行计算，即可得到空缺的式子。
【解析】
设横线处的式子为$x$，根据题意可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 + x$
根据完全平方公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将其代入上式：
$a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 + x$
移项得：
$x = a^2 + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2)$
去括号并合并同类项：
$x = a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = -2ab$
【答案】
$-2ab$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，属于基础题型。解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过简单的整式加减运算即可求出结果，有助于巩固整式运算的基础知识点。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以先回忆完全平方公式的展开形式，然后通过设未知数、移项化简来求出空缺的部分。具体思路如下：首先将等式右边的$(a+b)^2$展开，再把已知的$a^2 + b^2$移到等式右边进行计算，即可得到空缺的式子。
【解析】
设横线处的式子为$x$，根据题意可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 + x$
根据完全平方公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将其代入上式：
$a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 + x$
移项得：
$x = a^2 + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2)$
去括号并合并同类项：
$x = a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = -2ab$
【答案】
$-2ab$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，属于基础题型。解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过简单的整式加减运算即可求出结果，有助于巩固整式运算的基础知识点。
【难度系数】
0.9
7. $(a + b)^2 + (a - b)^2 =$
$ 2a^{2}+2b^{2} $
.答案
7. $ 2a^{2}+2b^{2} $
解析
【分析】
要解决这道题，我们的思路是先利用完全平方公式将两个平方项展开，再通过合并同类项化简式子。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$；接着把$(a+b)^2$和$(a-b)^2$分别展开，然后将展开后的式子相加，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
1. 根据完全平方公式展开两个平方项：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
2. 将两个展开式相加：
$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$
3. 去括号并合并同类项：
$= a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2$
$= (a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2)$
$= 2a^2 + 2b^2$
【答案】
$2a^{2}+2b^{2}$
【知识点】
完全平方公式、合并同类项
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用与同类项的合并，属于代数基础题型。解题时需准确记忆完全平方公式的展开形式，注意展开过程中的符号变化，合并同类项时要找准同类项进行运算。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们的思路是先利用完全平方公式将两个平方项展开，再通过合并同类项化简式子。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$；接着把$(a+b)^2$和$(a-b)^2$分别展开，然后将展开后的式子相加，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
1. 根据完全平方公式展开两个平方项：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
2. 将两个展开式相加：
$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$
3. 去括号并合并同类项：
$= a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2$
$= (a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2)$
$= 2a^2 + 2b^2$
【答案】
$2a^{2}+2b^{2}$
【知识点】
完全平方公式、合并同类项
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用与同类项的合并，属于代数基础题型。解题时需准确记忆完全平方公式的展开形式，注意展开过程中的符号变化，合并同类项时要找准同类项进行运算。
【难度系数】
0.8
8. $(a + b)^2 - (a - b)^2 =$
$ 4ab $
.答案
8. $ 4ab $
解析
【分析】
这道题是两个平方的差，有两种清晰的解题思路：
思路一：利用完全平方公式分别展开两个平方项，再通过整式的加减运算合并同类项得到结果；
思路二：把$(a+b)$和$(a-b)$看作整体，利用平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$进行因式分解，再化简计算。两种方法都能快速得到答案，可根据对公式的熟悉程度选择。
【解析】
方法一：利用完全平方公式展开计算
$\begin{aligned}原式&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\\&=(a^2-a^2)+(2ab+2ab)+(b^2-b^2)\\&=4ab\end{aligned}$
方法二：利用平方差公式因式分解计算
$\begin{aligned}原式&=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]\\&=(a+b+a-b)(a+b-a+b)\\&=2a×2b\\&=4ab\end{aligned}$
【答案】
$4ab$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式加减
【点评】
本题主要考查整式的运算，重点考查乘法公式的灵活应用。两种解题方法都较为简便，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，解题时可根据实际情况选择更快捷的方法，提升运算效率。
【难度系数】
0.9
这道题是两个平方的差，有两种清晰的解题思路：
思路一：利用完全平方公式分别展开两个平方项，再通过整式的加减运算合并同类项得到结果；
思路二：把$(a+b)$和$(a-b)$看作整体，利用平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$进行因式分解，再化简计算。两种方法都能快速得到答案，可根据对公式的熟悉程度选择。
【解析】
方法一：利用完全平方公式展开计算
$\begin{aligned}原式&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\\&=(a^2-a^2)+(2ab+2ab)+(b^2-b^2)\\&=4ab\end{aligned}$
方法二：利用平方差公式因式分解计算
$\begin{aligned}原式&=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]\\&=(a+b+a-b)(a+b-a+b)\\&=2a×2b\\&=4ab\end{aligned}$
【答案】
$4ab$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式加减
【点评】
本题主要考查整式的运算，重点考查乘法公式的灵活应用。两种解题方法都较为简便，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，解题时可根据实际情况选择更快捷的方法，提升运算效率。
【难度系数】
0.9
9. 下列各式中，能够成立的等式是(
A.$(2x - y)^2 = 4x^2 - 2xy + y^2$
B.$(\frac{1}{2}a - b)^2 = \frac{1}{4}a^2 + ab + b^2$
C.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
D.$(a - b)^2 = (b - a)^2$
D
)A.$(2x - y)^2 = 4x^2 - 2xy + y^2$
B.$(\frac{1}{2}a - b)^2 = \frac{1}{4}a^2 + ab + b^2$
C.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
D.$(a - b)^2 = (b - a)^2$
答案
9. D
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对每个选项中的式子进行展开计算，再与选项给出的结果对比，判断等式是否成立，同时注意互为相反数的两个数的平方相等这一性质。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一分析选项：
选项A：$(2x - y)^2=(2x)^2-2×2x× y+y^2=4x^2-4xy+y^2$，与选项中的$4x^2 - 2xy + y^2$不相等，故A错误；
选项B：$(\frac{1}{2}a - b)^2=(\frac{1}{2}a)^2-2×\frac{1}{2}a× b+b^2=\frac{1}{4}a^2-ab+b^2$，与选项中的$\frac{1}{4}a^2 + ab + b^2$不相等，故B错误；
选项C：$(x + y)^2=x^2+2xy+y^2$，与选项中的$x^2 + y^2$不相等，故C错误；
选项D：$(a - b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(b - a)^2=b^2-2ab+a^2$，根据加法交换律，$a^2-2ab+b^2=b^2-2ab+a^2$，所以$(a - b)^2=(b - a)^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题重点考查完全平方公式的准确运用，需要牢记公式的结构，注意中间项的系数和符号；同时理解互为相反数的两个数的平方相等这一特性，避免因对公式掌握不扎实而出错。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对每个选项中的式子进行展开计算，再与选项给出的结果对比，判断等式是否成立，同时注意互为相反数的两个数的平方相等这一性质。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一分析选项：
选项A：$(2x - y)^2=(2x)^2-2×2x× y+y^2=4x^2-4xy+y^2$，与选项中的$4x^2 - 2xy + y^2$不相等，故A错误；
选项B：$(\frac{1}{2}a - b)^2=(\frac{1}{2}a)^2-2×\frac{1}{2}a× b+b^2=\frac{1}{4}a^2-ab+b^2$，与选项中的$\frac{1}{4}a^2 + ab + b^2$不相等，故B错误；
选项C：$(x + y)^2=x^2+2xy+y^2$，与选项中的$x^2 + y^2$不相等，故C错误；
选项D：$(a - b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(b - a)^2=b^2-2ab+a^2$，根据加法交换律，$a^2-2ab+b^2=b^2-2ab+a^2$，所以$(a - b)^2=(b - a)^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题重点考查完全平方公式的准确运用，需要牢记公式的结构，注意中间项的系数和符号；同时理解互为相反数的两个数的平方相等这一特性，避免因对公式掌握不扎实而出错。
【难度系数】
0.8
10. 若$(x - 5)^2 = x^2 + kx + 25$，则$k =$(
A.5
B.$-5$
C.10
D.$-10$
D
)A.5
B.$-5$
C.10
D.$-10$
答案
10. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们的思路是先利用完全平方公式将等式左边的式子展开，然后根据多项式相等的性质——等式两边对应项的系数必须相等，对比一次项的系数即可求出k的值。首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，这里把$x$看作$a$，$5$看作$b$，就能展开左边的式子，再和右边的式子对应起来找系数关系。
【解析】
1. 利用完全平方公式展开等式左边：
$(x - 5)^2 = x^2 - 2× x×5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$
2. 对比等式左右两边的式子：
已知$(x - 5)^2 = x^2 + kx + 25$，即$x^2 - 10x + 25 = x^2 + kx + 25$
根据多项式相等时对应项系数相等，一次项系数应相等，可得：
$-10 = k$，即$k=-10$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、多项式相等的条件
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用及多项式相等的性质，属于基础题型。解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，准确对比等式两边对应项的系数，只要牢记公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们的思路是先利用完全平方公式将等式左边的式子展开，然后根据多项式相等的性质——等式两边对应项的系数必须相等，对比一次项的系数即可求出k的值。首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，这里把$x$看作$a$，$5$看作$b$，就能展开左边的式子，再和右边的式子对应起来找系数关系。
【解析】
1. 利用完全平方公式展开等式左边：
$(x - 5)^2 = x^2 - 2× x×5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$
2. 对比等式左右两边的式子：
已知$(x - 5)^2 = x^2 + kx + 25$，即$x^2 - 10x + 25 = x^2 + kx + 25$
根据多项式相等时对应项系数相等，一次项系数应相等，可得：
$-10 = k$，即$k=-10$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、多项式相等的条件
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用及多项式相等的性质，属于基础题型。解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，准确对比等式两边对应项的系数，只要牢记公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
11. 下列多项式不是完全平方式的是(
A.$x^2 - 4x - 4$
B.$\frac{1}{4} + m^2 + m$
C.$9a^2 + 6ab + b^2$
D.$4t^2 + 12t + 9$
A
)A.$x^2 - 4x - 4$
B.$\frac{1}{4} + m^2 + m$
C.$9a^2 + 6ab + b^2$
D.$4t^2 + 12t + 9$
答案
11. A
解析
【分析】
要判断一个多项式是否为完全平方式，需依据完全平方式的特征：形如$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即多项式有三项，其中两项是两个数（或式）的平方项且符号相同，第三项是这两个数（或式）乘积的2倍（正负均可）。我们逐个分析选项验证是否符合该特征：
1. 选项A：$x^2 - 4x - 4$中，最后一项$-4$不是非负的平方项，且若假设是$(x-2)^2$，展开后应为$x^2-4x+4$，与原多项式不符，不符合完全平方式特征。
2. 选项B：整理为$m^2 + m + \frac{1}{4}$，其中$m^2=(m)^2$，$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$，中间项$m=2× m×\frac{1}{2}$，符合完全平方式特征。
3. 选项C：$9a^2=(3a)^2$，$b^2=b^2$，中间项$6ab=2×3a× b$，符合完全平方式特征。
4. 选项D：$4t^2=(2t)^2$，$9=3^2$，中间项$12t=2×2t×3$，符合完全平方式特征。
【解析】
完全平方式的标准形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，据此逐一分析：
选项A：$x^2 - 4x - 4$，不存在两个同号的平方项，且第三项不符合平方项底数乘积的2倍的要求，不是完全平方式；
选项B：$\frac{1}{4} + m^2 + m = m^2 + m + \frac{1}{4}=(m+\frac{1}{2})^2$，是完全平方式；
选项C：$9a^2 + 6ab + b^2=(3a+b)^2$，是完全平方式；
选项D：$4t^2 + 12t + 9=(2t+3)^2$，是完全平方式。
【答案】
A
【知识点】
完全平方式的定义
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题关键是准确识别“两个同号平方项+一个乘积2倍项”的三项结构，需注意平方项的非负性与符号一致性。
【难度系数】
0.7
要判断一个多项式是否为完全平方式，需依据完全平方式的特征：形如$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即多项式有三项，其中两项是两个数（或式）的平方项且符号相同，第三项是这两个数（或式）乘积的2倍（正负均可）。我们逐个分析选项验证是否符合该特征：
1. 选项A：$x^2 - 4x - 4$中，最后一项$-4$不是非负的平方项，且若假设是$(x-2)^2$，展开后应为$x^2-4x+4$，与原多项式不符，不符合完全平方式特征。
2. 选项B：整理为$m^2 + m + \frac{1}{4}$，其中$m^2=(m)^2$，$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$，中间项$m=2× m×\frac{1}{2}$，符合完全平方式特征。
3. 选项C：$9a^2=(3a)^2$，$b^2=b^2$，中间项$6ab=2×3a× b$，符合完全平方式特征。
4. 选项D：$4t^2=(2t)^2$，$9=3^2$，中间项$12t=2×2t×3$，符合完全平方式特征。
【解析】
完全平方式的标准形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，据此逐一分析：
选项A：$x^2 - 4x - 4$，不存在两个同号的平方项，且第三项不符合平方项底数乘积的2倍的要求，不是完全平方式；
选项B：$\frac{1}{4} + m^2 + m = m^2 + m + \frac{1}{4}=(m+\frac{1}{2})^2$，是完全平方式；
选项C：$9a^2 + 6ab + b^2=(3a+b)^2$，是完全平方式；
选项D：$4t^2 + 12t + 9=(2t+3)^2$，是完全平方式。
【答案】
A
【知识点】
完全平方式的定义
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题关键是准确识别“两个同号平方项+一个乘积2倍项”的三项结构，需注意平方项的非负性与符号一致性。
【难度系数】
0.7
12. 运用完全平方公式计算：
(1) $(x + 6)^2$；
(2) $(y - 5)^2$；
(3) $(-2x + 5)^2$；
(4) $(\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y)^2$；
(5) $(-4x - \frac{1}{2}y)^2$；
(6) $(b + c)(-b - c)$；
(7) $(\frac{1}{2}a - 3b)(3b - \frac{1}{2}a)$；
(8) $(2y - x)^2 + (2y + x)^2$.
(1) $(x + 6)^2$；
(2) $(y - 5)^2$；
(3) $(-2x + 5)^2$；
(4) $(\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y)^2$；
(5) $(-4x - \frac{1}{2}y)^2$；
(6) $(b + c)(-b - c)$；
(7) $(\frac{1}{2}a - 3b)(3b - \frac{1}{2}a)$；
(8) $(2y - x)^2 + (2y + x)^2$.
答案
12. (1)$ x^{2}+12x+36 $
(2)$ y^{2}-10y+25 $
(3)$ 4x^{2}-20x+25 $
(4)$ \frac{9}{16}x^{2}-xy+\frac{4}{9}y^{2} $
(5)$ 16x^{2}+4xy+\frac{1}{4}y^{2} $
(6)$ -b^{2}-2bc-c^{2} $
(7)$ -9b^{2}+3ab-\frac{1}{4}a^{2} $
(8)$ 8y^{2}+2x^{2} $
(2)$ y^{2}-10y+25 $
(3)$ 4x^{2}-20x+25 $
(4)$ \frac{9}{16}x^{2}-xy+\frac{4}{9}y^{2} $
(5)$ 16x^{2}+4xy+\frac{1}{4}y^{2} $
(6)$ -b^{2}-2bc-c^{2} $
(7)$ -9b^{2}+3ab-\frac{1}{4}a^{2} $
(8)$ 8y^{2}+2x^{2} $
解析
【分析】
这道题核心是运用完全平方公式计算，首先要牢记完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题思路如下：
1. 对于直接符合公式形式的题目（如(1)(2)(4)），先确定公式中的$a$和$b$，直接代入公式计算；
2. 对于含负号的式子（如(3)(5)），可通过符号变形将其转化为标准的完全平方形式，再代入公式，避免符号错误；
3. 对于形如$(b+c)(-b-c)$、$(\frac{1}{2}a - 3b)(3b - \frac{1}{2}a)$的题目，先通过提取负号将式子转化为完全平方的相反数形式，再展开计算；
4. 第(8)题需要先分别展开两个完全平方，再合并同类项，注意同类项的抵消与相加。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$a=x$，$b=6$，则：
$\begin{aligned}(x + 6)^2&=x^2+2× x×6+6^2\\&=x^2+12x+36\end{aligned}$
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=y$，$b=5$，则：
$\begin{aligned}(y - 5)^2&=y^2-2× y×5+5^2\\&=y^2-10y+25\end{aligned}$
(3) 将$(-2x + 5)^2$转化为$(5-2x)^2$，根据$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=5$，$b=2x$，则：
$\begin{aligned}(5-2x)^2&=5^2-2×5×2x+(2x)^2\\&=25-20x+4x^2\\&=4x^2-20x+25\end{aligned}$
(4) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=\frac{3}{4}x$，$b=\frac{2}{3}y$，则：
$\begin{aligned}(\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y)^2&=(\frac{3}{4}x)^2-2×\frac{3}{4}x×\frac{2}{3}y+(\frac{2}{3}y)^2\\&=\frac{9}{16}x^2-xy+\frac{4}{9}y^2\end{aligned}$
(5) 将$(-4x - \frac{1}{2}y)^2$变形为$[-(4x+\frac{1}{2}y)]^2=(4x+\frac{1}{2}y)^2$，根据$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$a=4x$，$b=\frac{1}{2}y$，则：
$\begin{aligned}(4x+\frac{1}{2}y)^2&=(4x)^2+2×4x×\frac{1}{2}y+(\frac{1}{2}y)^2\\&=16x^2+4xy+\frac{1}{4}y^2\end{aligned}$
(6) 先变形：$(b + c)(-b - c)=(b+c)×[-(b+c)]=-(b+c)^2$，再展开：
$\begin{aligned}-(b+c)^2&=-(b^2+2bc+c^2)\\&=-b^2-2bc-c^2\end{aligned}$
(7) 先变形：$(3b - \frac{1}{2}a)=-(\frac{1}{2}a-3b)$，则原式$=(\frac{1}{2}a - 3b)×[-(\frac{1}{2}a-3b)]=-(\frac{1}{2}a-3b)^2$，再展开：
$\begin{aligned}-(\frac{1}{2}a-3b)^2&=-[(\frac{1}{2}a)^2-2×\frac{1}{2}a×3b+(3b)^2]\\&=-(\frac{1}{4}a^2-3ab+9b^2)\\&=-9b^2+3ab-\frac{1}{4}a^2\end{aligned}$
(8) 先分别展开两个完全平方：
$\begin{aligned}(2y - x)^2&=(2y)^2-2×2y× x+x^2=4y^2-4xy+x^2\\(2y + x)^2&=(2y)^2+2×2y× x+x^2=4y^2+4xy+x^2\end{aligned}$
再合并同类项：
$\begin{aligned}(4y^2-4xy+x^2)+(4y^2+4xy+x^2)&=4y^2+4y^2-4xy+4xy+x^2+x^2\\&=8y^2+2x^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$ x^{2}+12x+36 $
(2)$ y^{2}-10y+25 $
(3)$ 4x^{2}-20x+25 $
(4)$ \frac{9}{16}x^{2}-xy+\frac{4}{9}y^{2} $
(5)$ 16x^{2}+4xy+\frac{1}{4}y^{2} $
(6)$ -b^{2}-2bc-c^{2} $
(7)$ -9b^{2}+3ab-\frac{1}{4}a^{2} $
(8)$ 8y^{2}+2x^{2} $
【知识点】
完全平方公式，整式的混合运算，代数式符号变形
【点评】
本题全面考查完全平方公式的灵活运用，重点在于准确识别公式中的$a$、$b$，熟练处理式子中的符号问题，部分题目需要通过变形转化为标准完全平方形式，最后一题还涉及合并同类项运算，需要细心计算，避免系数和符号错误。
【难度系数】
0.6
这道题核心是运用完全平方公式计算，首先要牢记完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题思路如下：
1. 对于直接符合公式形式的题目（如(1)(2)(4)），先确定公式中的$a$和$b$，直接代入公式计算；
2. 对于含负号的式子（如(3)(5)），可通过符号变形将其转化为标准的完全平方形式，再代入公式，避免符号错误；
3. 对于形如$(b+c)(-b-c)$、$(\frac{1}{2}a - 3b)(3b - \frac{1}{2}a)$的题目，先通过提取负号将式子转化为完全平方的相反数形式，再展开计算；
4. 第(8)题需要先分别展开两个完全平方，再合并同类项，注意同类项的抵消与相加。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$a=x$，$b=6$，则：
$\begin{aligned}(x + 6)^2&=x^2+2× x×6+6^2\\&=x^2+12x+36\end{aligned}$
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=y$，$b=5$，则：
$\begin{aligned}(y - 5)^2&=y^2-2× y×5+5^2\\&=y^2-10y+25\end{aligned}$
(3) 将$(-2x + 5)^2$转化为$(5-2x)^2$，根据$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=5$，$b=2x$，则：
$\begin{aligned}(5-2x)^2&=5^2-2×5×2x+(2x)^2\\&=25-20x+4x^2\\&=4x^2-20x+25\end{aligned}$
(4) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=\frac{3}{4}x$，$b=\frac{2}{3}y$，则：
$\begin{aligned}(\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y)^2&=(\frac{3}{4}x)^2-2×\frac{3}{4}x×\frac{2}{3}y+(\frac{2}{3}y)^2\\&=\frac{9}{16}x^2-xy+\frac{4}{9}y^2\end{aligned}$
(5) 将$(-4x - \frac{1}{2}y)^2$变形为$[-(4x+\frac{1}{2}y)]^2=(4x+\frac{1}{2}y)^2$，根据$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$a=4x$，$b=\frac{1}{2}y$，则：
$\begin{aligned}(4x+\frac{1}{2}y)^2&=(4x)^2+2×4x×\frac{1}{2}y+(\frac{1}{2}y)^2\\&=16x^2+4xy+\frac{1}{4}y^2\end{aligned}$
(6) 先变形：$(b + c)(-b - c)=(b+c)×[-(b+c)]=-(b+c)^2$，再展开：
$\begin{aligned}-(b+c)^2&=-(b^2+2bc+c^2)\\&=-b^2-2bc-c^2\end{aligned}$
(7) 先变形：$(3b - \frac{1}{2}a)=-(\frac{1}{2}a-3b)$，则原式$=(\frac{1}{2}a - 3b)×[-(\frac{1}{2}a-3b)]=-(\frac{1}{2}a-3b)^2$，再展开：
$\begin{aligned}-(\frac{1}{2}a-3b)^2&=-[(\frac{1}{2}a)^2-2×\frac{1}{2}a×3b+(3b)^2]\\&=-(\frac{1}{4}a^2-3ab+9b^2)\\&=-9b^2+3ab-\frac{1}{4}a^2\end{aligned}$
(8) 先分别展开两个完全平方：
$\begin{aligned}(2y - x)^2&=(2y)^2-2×2y× x+x^2=4y^2-4xy+x^2\\(2y + x)^2&=(2y)^2+2×2y× x+x^2=4y^2+4xy+x^2\end{aligned}$
再合并同类项：
$\begin{aligned}(4y^2-4xy+x^2)+(4y^2+4xy+x^2)&=4y^2+4y^2-4xy+4xy+x^2+x^2\\&=8y^2+2x^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$ x^{2}+12x+36 $
(2)$ y^{2}-10y+25 $
(3)$ 4x^{2}-20x+25 $
(4)$ \frac{9}{16}x^{2}-xy+\frac{4}{9}y^{2} $
(5)$ 16x^{2}+4xy+\frac{1}{4}y^{2} $
(6)$ -b^{2}-2bc-c^{2} $
(7)$ -9b^{2}+3ab-\frac{1}{4}a^{2} $
(8)$ 8y^{2}+2x^{2} $
【知识点】
完全平方公式，整式的混合运算，代数式符号变形
【点评】
本题全面考查完全平方公式的灵活运用，重点在于准确识别公式中的$a$、$b$，熟练处理式子中的符号问题，部分题目需要通过变形转化为标准完全平方形式，最后一题还涉及合并同类项运算，需要细心计算，避免系数和符号错误。
【难度系数】
0.6
1. 填空：
(1) $a^2 - 4ab +$（
(2) $(a + b)^2 -$（
(3) $(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2 =$
(1) $a^2 - 4ab +$（
$ 4b^{2} $
）$= (a - 2b)^2$；(2) $(a + b)^2 -$（
$ 4ab $
）$= (a - b)^2$；(3) $(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2 =$
$ 24xy $
.答案
1. (1)$ 4b^{2} $ (2)$ 4ab $ (3)$ 24xy $
解析
【分析】
本题考查完全平方公式和平方差公式的应用，解题思路如下：
1. 第(1)题：逆用完全平方差公式$(a-m)^2=a^2-2am+m^2$，对比已知的$a^2-4ab$，可知$2am=4ab$，即$m=2b$，因此括号里的项为$m^2=(2b)^2$；
2. 第(2)题：将等式变形为所求项等于$(a+b)^2-(a-b)^2$，可通过展开两个完全平方公式后相减，或利用平方差公式简化计算；
3. 第(3)题：既可以直接展开两个完全平方公式再合并同类项，也可以利用平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$进行简便计算，后者更高效。
【解析】
(1) 根据完全平方差公式：
$(a-2b)^2=a^2-2· a·2b+(2b)^2=a^2-4ab+4b^2$，
所以括号内应填$4b^2$；
(2) 设括号内的项为$x$，则：
$x=(a+b)^2-(a-b)^2$，
展开完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
代入得：
$x=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab$，
所以括号内应填$4ab$；
(3) 方法一：利用平方差公式
$(3x+2y)^2-(3x-2y)^2=[(3x+2y)+(3x-2y)][(3x+2y)-(3x-2y)]$
$=(6x)(4y)=24xy$；
方法二：展开完全平方公式
$(3x+2y)^2=9x^2+12xy+4y^2$，$(3x-2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$，
则原式$=(9x^2+12xy+4y^2)-(9x^2-12xy+4y^2)=9x^2+12xy+4y^2-9x^2+12xy-4y^2=24xy$。
【答案】
(1)$4b^{2}$；(2)$4ab$；(3)$24xy$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题主要考查整式乘法公式的灵活应用，需熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，通过逆用或变形公式快速求解，计算时注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式和平方差公式的应用，解题思路如下：
1. 第(1)题：逆用完全平方差公式$(a-m)^2=a^2-2am+m^2$，对比已知的$a^2-4ab$，可知$2am=4ab$，即$m=2b$，因此括号里的项为$m^2=(2b)^2$；
2. 第(2)题：将等式变形为所求项等于$(a+b)^2-(a-b)^2$，可通过展开两个完全平方公式后相减，或利用平方差公式简化计算；
3. 第(3)题：既可以直接展开两个完全平方公式再合并同类项，也可以利用平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$进行简便计算，后者更高效。
【解析】
(1) 根据完全平方差公式：
$(a-2b)^2=a^2-2· a·2b+(2b)^2=a^2-4ab+4b^2$，
所以括号内应填$4b^2$；
(2) 设括号内的项为$x$，则：
$x=(a+b)^2-(a-b)^2$，
展开完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
代入得：
$x=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab$，
所以括号内应填$4ab$；
(3) 方法一：利用平方差公式
$(3x+2y)^2-(3x-2y)^2=[(3x+2y)+(3x-2y)][(3x+2y)-(3x-2y)]$
$=(6x)(4y)=24xy$；
方法二：展开完全平方公式
$(3x+2y)^2=9x^2+12xy+4y^2$，$(3x-2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$，
则原式$=(9x^2+12xy+4y^2)-(9x^2-12xy+4y^2)=9x^2+12xy+4y^2-9x^2+12xy-4y^2=24xy$。
【答案】
(1)$4b^{2}$；(2)$4ab$；(3)$24xy$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题主要考查整式乘法公式的灵活应用，需熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，通过逆用或变形公式快速求解，计算时注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.8
