登录
2. (1)($- 2)^2 =$$- 4x +$；
(2)（）$- 24ac +$（）$=$（$- 4c)^2$；
(3) $(\frac{3}{5}x +\_\_\_\_\_\_)^2 = \frac{9}{25}x^2 + 6xy + 25y^2$.
(2)（）$- 24ac +$（）$=$（$- 4c)^2$；
(3) $(\frac{3}{5}x +\_\_\_\_\_\_)^2 = \frac{9}{25}x^2 + 6xy + 25y^2$.
答案
2. (1)$ x,x^{2},4 $ (2)$ 9a^{2},16c^{2},3a $ (3)$ 5y $
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的逆用与展开，解题核心是牢记完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，通过对比公式中各项的对应关系，求出未知项。
1. 第(1)题：已知$(a - 2)^2=a^2 - 4x + b^2$，根据公式中$2ab=4x$，其中$b=2$，可算出$a=x$，再分别求出$a^2$和$b^2$即可。
2. 第(2)题：已知等式右边是$(a - 4c)^2$，先展开右边得到$a^2 - 8ac + 16c^2$，对比左边中间项$-24ac$，可知$8ac×3=24ac$，所以$a=3a$，进而求出左边的两项。
3. 第(3)题：已知左边$(\frac{3}{5}x + b)^2$展开后对应右边的式子，根据公式中$2×\frac{3}{5}x× b=6xy$，可解出$b=5y$，再验证$b^2=25y^2$是否匹配右边的常数项即可。
【解析】
本题依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$进行求解：
(1) 设第一个空为$a$，根据公式$(a - 2)^2=a^2 - 4a + 4$，对比等式右边的$-4x$，可得$4a=4x$，即$a=x$。
所以依次填入：$x$，$x^2$，$4$。
(2) 设右边括号内的项为$a$，则$(a - 4c)^2=a^2 - 8ac + 16c^2$，对比左边中间项$-24ac$，可得$8ac=24ac÷3$，即$a=3a$，那么$a^2=(3a)^2=9a^2$。
所以依次填入：$9a^2$，$16c^2$，$3a$。
(3) 设括号内的未知项为$b$，则$(\frac{3}{5}x + b)^2=(\frac{3}{5}x)^2 + 2×\frac{3}{5}x× b + b^2=\frac{9}{25}x^2 + \frac{6}{5}xb + b^2$，对比右边的$6xy$，可得$\frac{6}{5}xb=6xy$，解得$b=5y$，且$(5y)^2=25y^2$，与右边常数项一致。
所以填入：$5y$。
【答案】
(1)$ x,x^{2},4 $ (2)$ 9a^{2},16c^{2},3a $ (3)$ 5y $
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，需要准确识别公式中$a$、$b$对应的项，通过等式两边对应项系数相等来求解未知量，是基础的公式应用题型，能帮助巩固对完全平方公式的理解与记忆。
【难度系数】
0.6
这道题考查完全平方公式的逆用与展开，解题核心是牢记完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，通过对比公式中各项的对应关系，求出未知项。
1. 第(1)题：已知$(a - 2)^2=a^2 - 4x + b^2$，根据公式中$2ab=4x$，其中$b=2$，可算出$a=x$，再分别求出$a^2$和$b^2$即可。
2. 第(2)题：已知等式右边是$(a - 4c)^2$，先展开右边得到$a^2 - 8ac + 16c^2$，对比左边中间项$-24ac$，可知$8ac×3=24ac$，所以$a=3a$，进而求出左边的两项。
3. 第(3)题：已知左边$(\frac{3}{5}x + b)^2$展开后对应右边的式子，根据公式中$2×\frac{3}{5}x× b=6xy$，可解出$b=5y$，再验证$b^2=25y^2$是否匹配右边的常数项即可。
【解析】
本题依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$进行求解：
(1) 设第一个空为$a$，根据公式$(a - 2)^2=a^2 - 4a + 4$，对比等式右边的$-4x$，可得$4a=4x$，即$a=x$。
所以依次填入：$x$，$x^2$，$4$。
(2) 设右边括号内的项为$a$，则$(a - 4c)^2=a^2 - 8ac + 16c^2$，对比左边中间项$-24ac$，可得$8ac=24ac÷3$，即$a=3a$，那么$a^2=(3a)^2=9a^2$。
所以依次填入：$9a^2$，$16c^2$，$3a$。
(3) 设括号内的未知项为$b$，则$(\frac{3}{5}x + b)^2=(\frac{3}{5}x)^2 + 2×\frac{3}{5}x× b + b^2=\frac{9}{25}x^2 + \frac{6}{5}xb + b^2$，对比右边的$6xy$，可得$\frac{6}{5}xb=6xy$，解得$b=5y$，且$(5y)^2=25y^2$，与右边常数项一致。
所以填入：$5y$。
【答案】
(1)$ x,x^{2},4 $ (2)$ 9a^{2},16c^{2},3a $ (3)$ 5y $
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，需要准确识别公式中$a$、$b$对应的项，通过等式两边对应项系数相等来求解未知量，是基础的公式应用题型，能帮助巩固对完全平方公式的理解与记忆。
【难度系数】
0.6
3. $(2x - 1)^2 + (2x + 1)^2 =$
$ 8x^{2}+2 $
.答案
3. $ 8x^{2}+2 $
解析
【分析】
这道题考查整式的运算，解题核心是运用完全平方公式展开两个平方项，再通过合并同类项得到最终结果。首先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分别将$(2x-1)^2$和$(2x+1)^2$展开，之后把展开后的式子相加，合并同类项时注意同类项的系数运算，尤其是互为相反数的项可以抵消。
【解析】
根据完全平方公式展开原式：
1. 展开$(2x - 1)^2$：
$(2x - 1)^2=(2x)^2 - 2×2x×1 + 1^2=4x^2 - 4x + 1$
2. 展开$(2x + 1)^2$：
$(2x + 1)^2=(2x)^2 + 2×2x×1 + 1^2=4x^2 + 4x + 1$
3. 将两个展开式相加并合并同类项：
$(4x^2 - 4x + 1)+(4x^2 + 4x + 1)$
$=4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1$
$=(4x^2+4x^2)+(-4x+4x)+(1+1)$
$=8x^2 + 2$
【答案】
$8x^{2}+2$
【知识点】
完全平方公式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查完全平方公式的正确应用，展开过程中要注意符号的变化，合并同类项时需准确识别同类项并进行系数运算，掌握此类题型有助于提升整式运算的熟练度。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式的运算，解题核心是运用完全平方公式展开两个平方项，再通过合并同类项得到最终结果。首先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分别将$(2x-1)^2$和$(2x+1)^2$展开，之后把展开后的式子相加，合并同类项时注意同类项的系数运算，尤其是互为相反数的项可以抵消。
【解析】
根据完全平方公式展开原式：
1. 展开$(2x - 1)^2$：
$(2x - 1)^2=(2x)^2 - 2×2x×1 + 1^2=4x^2 - 4x + 1$
2. 展开$(2x + 1)^2$：
$(2x + 1)^2=(2x)^2 + 2×2x×1 + 1^2=4x^2 + 4x + 1$
3. 将两个展开式相加并合并同类项：
$(4x^2 - 4x + 1)+(4x^2 + 4x + 1)$
$=4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1$
$=(4x^2+4x^2)+(-4x+4x)+(1+1)$
$=8x^2 + 2$
【答案】
$8x^{2}+2$
【知识点】
完全平方公式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查完全平方公式的正确应用，展开过程中要注意符号的变化，合并同类项时需准确识别同类项并进行系数运算，掌握此类题型有助于提升整式运算的熟练度。
【难度系数】
0.8
4. 计算：$(a + 2b)^2 - (a - 2b)^2 =$
$ 8ab $
.答案
4. $ 8ab $
解析
【分析】
这道题可以通过两种方法求解：
方法一：先利用完全平方公式将两个平方项展开，再去括号、合并同类项得到结果。首先回忆完全平方公式：$(m±n)^2=m^2±2mn+n^2$，分别展开$(a+2b)^2$和$(a-2b)^2$，注意去括号时的符号变化，最后合并同类项即可。
方法二：观察原式是两个平方的差，符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的形式，把$(a+2b)$看作$x$，$(a-2b)$看作$y$，代入公式后先计算括号内的整式加减，再进行乘法运算，这种方法更简便。
【解析】
方法一：利用完全平方公式展开计算
$\begin{aligned}&(a + 2b)^2 - (a - 2b)^2\\=&(a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2 - 4ab + 4b^2)\\=&a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2\\=&(a^2 - a^2) + (4ab + 4ab) + (4b^2 - 4b^2)\\=&8ab\end{aligned}$
方法二：利用平方差公式计算
$\begin{aligned}&(a + 2b)^2 - (a - 2b)^2\\=&[(a + 2b) + (a - 2b)][(a + 2b) - (a - 2b)]\\=&(a + 2b + a - 2b)(a + 2b - a + 2b)\\=&2a × 4b\\=&8ab\end{aligned}$
【答案】
$8ab$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题主要考查整式乘法公式的应用，两种方法均可求解，其中利用平方差公式计算更为简便。解题时需注意去括号的符号规则，以及合并同类项的准确性，熟练掌握乘法公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这道题可以通过两种方法求解：
方法一：先利用完全平方公式将两个平方项展开，再去括号、合并同类项得到结果。首先回忆完全平方公式：$(m±n)^2=m^2±2mn+n^2$，分别展开$(a+2b)^2$和$(a-2b)^2$，注意去括号时的符号变化，最后合并同类项即可。
方法二：观察原式是两个平方的差，符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的形式，把$(a+2b)$看作$x$，$(a-2b)$看作$y$，代入公式后先计算括号内的整式加减，再进行乘法运算，这种方法更简便。
【解析】
方法一：利用完全平方公式展开计算
$\begin{aligned}&(a + 2b)^2 - (a - 2b)^2\\=&(a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2 - 4ab + 4b^2)\\=&a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2\\=&(a^2 - a^2) + (4ab + 4ab) + (4b^2 - 4b^2)\\=&8ab\end{aligned}$
方法二：利用平方差公式计算
$\begin{aligned}&(a + 2b)^2 - (a - 2b)^2\\=&[(a + 2b) + (a - 2b)][(a + 2b) - (a - 2b)]\\=&(a + 2b + a - 2b)(a + 2b - a + 2b)\\=&2a × 4b\\=&8ab\end{aligned}$
【答案】
$8ab$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题主要考查整式乘法公式的应用，两种方法均可求解，其中利用平方差公式计算更为简便。解题时需注意去括号的符号规则，以及合并同类项的准确性，熟练掌握乘法公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 若$a^2 + 2a = 1$，则$(a + 1)^2 =$
2
.答案
5. 2
解析
【分析】
首先，我们需要将所求的式子$(a + 1)^2$利用完全平方公式展开，观察展开后的式子与已知条件$a^2 + 2a = 1$的联系。展开后会发现式子中包含$a^2 + 2a$，而这部分的值已知，因此可以通过整体代入的方法，直接将已知值代入展开式计算出结果。
【解析】
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$(a + 1)^2$展开：
$(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1$
已知$a^2 + 2a = 1$，将其代入上式：
原式$= 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用以及整体代入的数学思想，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，并能灵活运用已知条件进行整体替换，题目较为基础，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要将所求的式子$(a + 1)^2$利用完全平方公式展开，观察展开后的式子与已知条件$a^2 + 2a = 1$的联系。展开后会发现式子中包含$a^2 + 2a$，而这部分的值已知，因此可以通过整体代入的方法，直接将已知值代入展开式计算出结果。
【解析】
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$(a + 1)^2$展开：
$(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1$
已知$a^2 + 2a = 1$，将其代入上式：
原式$= 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用以及整体代入的数学思想，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，并能灵活运用已知条件进行整体替换，题目较为基础，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
6. $(a - b + c)^2 =$
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac-2ab-2bc $
.答案
6. $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac-2ab-2bc $
解析
【分析】
要解决$(a - b + c)^2$的展开问题，可按以下思路思考：
1. 观察到式子是三项的平方，可将其中两项组合成一个整体，比如把$a + c$看作整体，原式转化为$[(a + c) - b]^2$，这样就符合熟悉的两项差的完全平方公式形式；
2. 套用两项差的完全平方公式$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，先展开外层平方，再逐步展开每一项；
3. 也可直接利用三项式的完全平方公式$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$，将$x=a$，$y=-b$，$z=c$代入，注意符号运算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
方法一：转化为两项式平方展开
$\begin{aligned}(a - b + c)^2&=[(a + c) - b]^2\\&=(a + c)^2 - 2(a + c)b + b^2 \quad \mathrm{（运用两项差的完全平方公式）}\\&=a^2 + 2ac + c^2 - 2ab - 2bc + b^2 \quad \mathrm{（展开$(a + c)^2$和$-2(a + c)b$）}\\&=a^2 + b^2 + c^2 + 2ac - 2ab - 2bc \quad \mathrm{（整理同类项，按字母顺序排列）}\end{aligned}$
方法二：直接用三项式完全平方公式展开
$\begin{aligned}(a - b + c)^2&=a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2· a· (-b) + 2· a· c + 2· (-b)· c \quad \mathrm{（运用三项完全平方公式）}\\&=a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc\\&=a^2 + b^2 + c^2 + 2ac - 2ab - 2bc\end{aligned}$
【答案】
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac-2ab-2bc$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，无论是转化为两项式平方还是直接用三项式公式，核心是准确处理各项符号，避免符号错误，整理结果时按字母顺序排列可让表达式更规范清晰。
【难度系数】
0.8
要解决$(a - b + c)^2$的展开问题，可按以下思路思考：
1. 观察到式子是三项的平方，可将其中两项组合成一个整体，比如把$a + c$看作整体，原式转化为$[(a + c) - b]^2$，这样就符合熟悉的两项差的完全平方公式形式；
2. 套用两项差的完全平方公式$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，先展开外层平方，再逐步展开每一项；
3. 也可直接利用三项式的完全平方公式$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$，将$x=a$，$y=-b$，$z=c$代入，注意符号运算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
方法一：转化为两项式平方展开
$\begin{aligned}(a - b + c)^2&=[(a + c) - b]^2\\&=(a + c)^2 - 2(a + c)b + b^2 \quad \mathrm{（运用两项差的完全平方公式）}\\&=a^2 + 2ac + c^2 - 2ab - 2bc + b^2 \quad \mathrm{（展开$(a + c)^2$和$-2(a + c)b$）}\\&=a^2 + b^2 + c^2 + 2ac - 2ab - 2bc \quad \mathrm{（整理同类项，按字母顺序排列）}\end{aligned}$
方法二：直接用三项式完全平方公式展开
$\begin{aligned}(a - b + c)^2&=a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2· a· (-b) + 2· a· c + 2· (-b)· c \quad \mathrm{（运用三项完全平方公式）}\\&=a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc\\&=a^2 + b^2 + c^2 + 2ac - 2ab - 2bc\end{aligned}$
【答案】
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac-2ab-2bc$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，无论是转化为两项式平方还是直接用三项式公式，核心是准确处理各项符号，避免符号错误，整理结果时按字母顺序排列可让表达式更规范清晰。
【难度系数】
0.8
7. 下列式子中正确的是(
① $(3x + 1)(3x - 1) = (3x - 1)^2$；
② $(x - 3y)^2 = x^2 - 3xy + 9y^2$；
③ $(1 - 2xy)^2 = 1 - 4x^2y^2$；
④ $(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$.
A.①
B.①②
C.①②③
D.④
D
)① $(3x + 1)(3x - 1) = (3x - 1)^2$；
② $(x - 3y)^2 = x^2 - 3xy + 9y^2$；
③ $(1 - 2xy)^2 = 1 - 4x^2y^2$；
④ $(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$.
A.①
B.①②
C.①②③
D.④
答案
7. D
解析
【分析】
要判断每个式子的正误，需分别运用平方差公式和完全平方公式展开左右两边，再对比是否相等。解题思路如下：
1. 对于①，左边用平方差公式展开，右边用完全平方公式展开，对比结果判断对错；
2. 对于②③④，均运用完全平方公式展开，与原式给出的结果对比，验证是否正确；
3. 最后筛选出唯一正确的式子，确定答案。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
① 左边：$(3x + 1)(3x - 1)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1$；
右边：$(3x - 1)^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
$(3x)^2 - 2×3x×1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$；
左边≠右边，故①错误。
② 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(x - 3y)^2$展开应为：
$x^2 - 2× x×3y + (3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2$，
与原式给出的$x^2 - 3xy + 9y^2$不符，故②错误。
③ 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(1 - 2xy)^2$展开应为：
$1^2 - 2×1×2xy + (2xy)^2 = 1 - 4xy + 4x^2y^2$，
与原式给出的$1 - 4x^2y^2$不符，故③错误。
④ 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a + \frac{1}{a})^2$展开应为：
$a^2 + 2× a×\frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$，
与原式一致，故④正确。
综上，只有④正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题主要考查平方差公式和完全平方公式的应用，解题关键是牢记公式的结构特征，避免出现漏乘中间项、系数计算错误等常见问题，需仔细核对每一项的展开结果。
【难度系数】
0.6
要判断每个式子的正误，需分别运用平方差公式和完全平方公式展开左右两边，再对比是否相等。解题思路如下：
1. 对于①，左边用平方差公式展开，右边用完全平方公式展开，对比结果判断对错；
2. 对于②③④，均运用完全平方公式展开，与原式给出的结果对比，验证是否正确；
3. 最后筛选出唯一正确的式子，确定答案。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
① 左边：$(3x + 1)(3x - 1)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1$；
右边：$(3x - 1)^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
$(3x)^2 - 2×3x×1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$；
左边≠右边，故①错误。
② 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(x - 3y)^2$展开应为：
$x^2 - 2× x×3y + (3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2$，
与原式给出的$x^2 - 3xy + 9y^2$不符，故②错误。
③ 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(1 - 2xy)^2$展开应为：
$1^2 - 2×1×2xy + (2xy)^2 = 1 - 4xy + 4x^2y^2$，
与原式给出的$1 - 4x^2y^2$不符，故③错误。
④ 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a + \frac{1}{a})^2$展开应为：
$a^2 + 2× a×\frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$，
与原式一致，故④正确。
综上，只有④正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题主要考查平方差公式和完全平方公式的应用，解题关键是牢记公式的结构特征，避免出现漏乘中间项、系数计算错误等常见问题，需仔细核对每一项的展开结果。
【难度系数】
0.6
8. 一个正方形的边长为$a\ cm$，若边长增加$6\ cm$，则新正方形的面积增加了(
A.$36\ cm^2$
B.$12a\ cm^2$
C.$(36 + 12a)\ cm^2$
D.以上都不对
C
)A.$36\ cm^2$
B.$12a\ cm^2$
C.$(36 + 12a)\ cm^2$
D.以上都不对
答案
8. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要围绕正方形面积公式展开思考，步骤如下：
1. 先回忆正方形面积公式：面积=边长的平方，据此分别计算原正方形和新正方形的面积；
2. 用新正方形的面积减去原正方形的面积，得到面积增加的部分；
3. 对差值进行化简，就能得到最终结果，注意不要漏算完全平方展开后的中间项。
【解析】
原正方形的边长为$a\ cm$，根据正方形面积公式，原面积为：
$S_原 = a^2\ cm^2$
边长增加$6\ cm$后，新正方形边长为$(a+6)\ cm$，新面积为：
$S_新 = (a+6)^2\ cm^2$
根据完全平方公式展开：$(a+6)^2 = a^2 + 12a + 36$
则面积增加的部分为：
$S_新 - S_原 = (a^2 + 12a + 36) - a^2 = (36 + 12a)\ cm^2$
【答案】
C
【知识点】
正方形面积公式；完全平方公式
【点评】
本题属于基础几何与整式运算结合的题目，易错点是忽略完全平方展开后的中间项，错选A或B选项。解题时需完整展开完全平方公式，再通过作差化简得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要围绕正方形面积公式展开思考，步骤如下：
1. 先回忆正方形面积公式：面积=边长的平方，据此分别计算原正方形和新正方形的面积；
2. 用新正方形的面积减去原正方形的面积，得到面积增加的部分；
3. 对差值进行化简，就能得到最终结果，注意不要漏算完全平方展开后的中间项。
【解析】
原正方形的边长为$a\ cm$，根据正方形面积公式，原面积为：
$S_原 = a^2\ cm^2$
边长增加$6\ cm$后，新正方形边长为$(a+6)\ cm$，新面积为：
$S_新 = (a+6)^2\ cm^2$
根据完全平方公式展开：$(a+6)^2 = a^2 + 12a + 36$
则面积增加的部分为：
$S_新 - S_原 = (a^2 + 12a + 36) - a^2 = (36 + 12a)\ cm^2$
【答案】
C
【知识点】
正方形面积公式；完全平方公式
【点评】
本题属于基础几何与整式运算结合的题目，易错点是忽略完全平方展开后的中间项，错选A或B选项。解题时需完整展开完全平方公式，再通过作差化简得到正确结果。
【难度系数】
0.8
9. 若一个多项式的平方的结果为$4a^2 + 12a + m^2$，则$m$等于(
A.9
B.3
C.$\pm 9$
D.$\pm 3$
D
)A.9
B.3
C.$\pm 9$
D.$\pm 3$
答案
9. D
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式的结构：$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$。题目给出的多项式平方结果为$4a^2 + 12a + m^2$，我们需要将其与完全平方公式对应起来。先把$4a^2$转化为$(2a)^2$，它对应公式里的$x^2$；中间项$12a$对应公式里的$\pm2xy$；$m^2$对应公式里的$y^2$。接下来通过中间项计算出$y$的绝对值，再结合平方的性质，确定$m$的正负两种取值。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$，对$4a^2 + 12a + m^2$进行推导：
1. 变形平方项：$4a^2=(2a)^2$，对应公式中的$x^2$，即$x=2a$；
2. 展开对应形式：假设该多项式为$(2a\pm m)$，则其平方展开为$(2a)^2\pm2×2a× m+m^2=4a^2\pm4am+m^2$；
3. 对比中间项求解：将展开式与$4a^2 + 12a + m^2$对比，中间项对应相等，可得$\pm4am=12a$；
4. 化简计算：两边同时除以$4a$（$a≠0$），得到$\pm m=3$，即$m=\pm3$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的逆用，解题关键是准确对应公式的各项结构，容易因忽略$m$的正负性而错选B，需牢记完全平方公式中中间项的两种符号情况。
【难度系数】
0.7
首先回忆完全平方公式的结构：$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$。题目给出的多项式平方结果为$4a^2 + 12a + m^2$，我们需要将其与完全平方公式对应起来。先把$4a^2$转化为$(2a)^2$，它对应公式里的$x^2$；中间项$12a$对应公式里的$\pm2xy$；$m^2$对应公式里的$y^2$。接下来通过中间项计算出$y$的绝对值，再结合平方的性质，确定$m$的正负两种取值。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$，对$4a^2 + 12a + m^2$进行推导：
1. 变形平方项：$4a^2=(2a)^2$，对应公式中的$x^2$，即$x=2a$；
2. 展开对应形式：假设该多项式为$(2a\pm m)$，则其平方展开为$(2a)^2\pm2×2a× m+m^2=4a^2\pm4am+m^2$；
3. 对比中间项求解：将展开式与$4a^2 + 12a + m^2$对比，中间项对应相等，可得$\pm4am=12a$；
4. 化简计算：两边同时除以$4a$（$a≠0$），得到$\pm m=3$，即$m=\pm3$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的逆用，解题关键是准确对应公式的各项结构，容易因忽略$m$的正负性而错选B，需牢记完全平方公式中中间项的两种符号情况。
【难度系数】
0.7
10. $(5x - 4y)(-5x + 4y)$运算的结果是(
A.$-25x^2 - 16y^2$
B.$-25x^2 + 40xy - 16y^2$
C.$25x^2 - 16y^2$
D.$25x^2 - 40xy + 16y^2$
B
)A.$-25x^2 - 16y^2$
B.$-25x^2 + 40xy - 16y^2$
C.$25x^2 - 16y^2$
D.$25x^2 - 40xy + 16y^2$
答案
10. B
解析
【分析】
首先观察原式的结构，发现两个因式$(5x - 4y)$和$(-5x + 4y)$可通过变形转化为完全平方的相反数形式：将第二个因式提取负号，得到$-(5x - 4y)(5x - 4y)$。接下来利用完全平方公式展开，最后处理符号得到结果，需注意区分平方差公式与完全平方公式的适用条件，避免符号错误。
【解析】
$\begin{aligned}&(5x - 4y)(-5x + 4y)\\=&(5x - 4y)[-(5x - 4y)]\\=&-(5x - 4y)^2\\=&-( (5x)^2 - 2×5x×4y + (4y)^2 )\\=&-(25x^2 - 40xy + 16y^2)\\=&-25x^2 + 40xy - 16y^2\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、多项式乘法
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，解题关键是通过变形将原式转化为可利用公式的形式，需特别注意去括号时的符号变化，避免因混淆平方差公式和完全平方公式而出现错误。
【难度系数】
0.6
首先观察原式的结构，发现两个因式$(5x - 4y)$和$(-5x + 4y)$可通过变形转化为完全平方的相反数形式：将第二个因式提取负号，得到$-(5x - 4y)(5x - 4y)$。接下来利用完全平方公式展开，最后处理符号得到结果，需注意区分平方差公式与完全平方公式的适用条件，避免符号错误。
【解析】
$\begin{aligned}&(5x - 4y)(-5x + 4y)\\=&(5x - 4y)[-(5x - 4y)]\\=&-(5x - 4y)^2\\=&-( (5x)^2 - 2×5x×4y + (4y)^2 )\\=&-(25x^2 - 40xy + 16y^2)\\=&-25x^2 + 40xy - 16y^2\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、多项式乘法
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，解题关键是通过变形将原式转化为可利用公式的形式，需特别注意去括号时的符号变化，避免因混淆平方差公式和完全平方公式而出现错误。
【难度系数】
0.6
11. 如果$(\frac{1}{x} - x)^2 = 6$，则$x^2 + \frac{1}{x^2}$等于(
A.8
B.36
C.38
D.4
A
)A.8
B.36
C.38
D.4
答案
11. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从完全平方公式入手。已知条件是$(\frac{1}{x} - x)^2 = 6$，而要求的$x^2 + \frac{1}{x^2}$可通过对完全平方公式展开变形得到。首先回忆完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$\frac{1}{x}$看作$a$，$x$看作$b$，展开已知等式后会出现包含$x^2 + \frac{1}{x^2}$的式子，再通过移项计算就能得到结果。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对已知等式$(\frac{1}{x} - x)^2 = 6$展开：
$\begin{aligned}(\frac{1}{x} - x)^2&=(\frac{1}{x})^2 - 2×\frac{1}{x}× x + x^2\\&=\frac{1}{x^2} - 2 + x^2\end{aligned}$
因为$(\frac{1}{x} - x)^2 = 6$，所以：
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 6$
移项可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 + 2 = 8$
【答案】
A
【知识点】
完全平方差公式、代数式变形
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，属于基础题型。解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过对已知等式的简单变形，就能快速求出目标代数式的值，有助于巩固对公式的理解和运用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以从完全平方公式入手。已知条件是$(\frac{1}{x} - x)^2 = 6$，而要求的$x^2 + \frac{1}{x^2}$可通过对完全平方公式展开变形得到。首先回忆完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$\frac{1}{x}$看作$a$，$x$看作$b$，展开已知等式后会出现包含$x^2 + \frac{1}{x^2}$的式子，再通过移项计算就能得到结果。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对已知等式$(\frac{1}{x} - x)^2 = 6$展开：
$\begin{aligned}(\frac{1}{x} - x)^2&=(\frac{1}{x})^2 - 2×\frac{1}{x}× x + x^2\\&=\frac{1}{x^2} - 2 + x^2\end{aligned}$
因为$(\frac{1}{x} - x)^2 = 6$，所以：
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 6$
移项可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 + 2 = 8$
【答案】
A
【知识点】
完全平方差公式、代数式变形
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，属于基础题型。解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过对已知等式的简单变形，就能快速求出目标代数式的值，有助于巩固对公式的理解和运用。
【难度系数】
0.8
12. (1)已知$a + b = 3$，$ab = 2$，求$a^2 + b^2$.
(2)若已知$a + b = 10$，$a^2 + b^2 = 4$，$ab$的值呢？
(2)若已知$a + b = 10$，$a^2 + b^2 = 4$，$ab$的值呢？
答案
12. (1)解:将$ a+b=3 $两边平方得
$ (a+b)^{2}=9 $
即$ a^{2}+2ab+b^{2}=9 $
因为$ ab=2 $
所以$ a^{2}+b^{2}=5 $
(2)解:将$ a+b=10 $两边同时平方得
$ (a+b)^{2}=10^{2} $
即$ a^{2}+2ab+b^{2}=100 $
因为$ a^{2}+b^{2}=4 $
所以$ 2ab=100-4=96 $
所以$ ab=48 $
$ (a+b)^{2}=9 $
即$ a^{2}+2ab+b^{2}=9 $
因为$ ab=2 $
所以$ a^{2}+b^{2}=5 $
(2)解:将$ a+b=10 $两边同时平方得
$ (a+b)^{2}=10^{2} $
即$ a^{2}+2ab+b^{2}=100 $
因为$ a^{2}+b^{2}=4 $
所以$ 2ab=100-4=96 $
所以$ ab=48 $
解析
【分析】
这两道题均为完全平方公式的应用题型，解题核心是借助完全平方公式的变形进行整体代入计算。
对于(1)，回忆完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，要计算$a^2+b^2$，可将公式变形为$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，再把已知的$a+b=3$和$ab=2$代入变形后的式子即可求解。
对于(2)，同样依据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将其变形为$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，把已知的$a+b=10$和$a^2+b^2=4$代入该式就能算出$ab$的值。
【解析】
(1)解：将$a+b=3$两边平方得：
$(a+b)^2=9$
展开得：$a^2+2ab+b^2=9$
因为$ab=2$，代入上式得：
$a^2+b^2=9-2×2=5$
(2)解：将$a+b=10$两边平方得：
$(a+b)^2=10^2=100$
展开得：$a^2+2ab+b^2=100$
因为$a^2+b^2=4$，代入上式得：
$2ab=100-4=96$
所以$ab=96÷2=48$
【答案】
(1)$\boldsymbol{5}$；(2)$\boldsymbol{48}$
【知识点】
完全平方公式变形
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，关键在于掌握公式的多种变形形式，运用整体代入思想简化运算，是代数基础运算中的常见题型，能帮助强化对公式的理解与运算能力。
【难度系数】
0.8
这两道题均为完全平方公式的应用题型，解题核心是借助完全平方公式的变形进行整体代入计算。
对于(1)，回忆完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，要计算$a^2+b^2$，可将公式变形为$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，再把已知的$a+b=3$和$ab=2$代入变形后的式子即可求解。
对于(2)，同样依据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将其变形为$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，把已知的$a+b=10$和$a^2+b^2=4$代入该式就能算出$ab$的值。
【解析】
(1)解：将$a+b=3$两边平方得：
$(a+b)^2=9$
展开得：$a^2+2ab+b^2=9$
因为$ab=2$，代入上式得：
$a^2+b^2=9-2×2=5$
(2)解：将$a+b=10$两边平方得：
$(a+b)^2=10^2=100$
展开得：$a^2+2ab+b^2=100$
因为$a^2+b^2=4$，代入上式得：
$2ab=100-4=96$
所以$ab=96÷2=48$
【答案】
(1)$\boldsymbol{5}$；(2)$\boldsymbol{48}$
【知识点】
完全平方公式变形
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，关键在于掌握公式的多种变形形式，运用整体代入思想简化运算，是代数基础运算中的常见题型，能帮助强化对公式的理解与运算能力。
【难度系数】
0.8
如图1，一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1：
方法2：
(3)观察图2，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：$(m + n)^2$，$(m - n)^2$，$mn$.
(4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若$a + b = 7$，$ab = 5$，则$(a - b)^2 =$
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1：
方法2：
(3)观察图2，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：$(m + n)^2$，$(m - n)^2$，$mn$.
(4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若$a + b = 7$，$ab = 5$，则$(a - b)^2 =$
29
.答案
1. 解:(1)由图 2,阴影部分的边长就是长方形的长与宽的差,即$ (m-n) $.
(2)(3)略
(4)$ (a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab $
因为$ a+b=7,ab=5 $,
所以$ (a+b)^{2}-4ab=29 $
即$ (a-b)^{2}=29 $
(2)(3)略
(4)$ (a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab $
因为$ a+b=7,ab=5 $,
所以$ (a+b)^{2}-4ab=29 $
即$ (a-b)^{2}=29 $
解析
【分析】
1. 问题(1)：观察图2的阴影正方形，结合图1中长为$m$、宽为$n$的小长方形，阴影正方形的边长是小长方形长与宽的差，由此可确定边长。
2. 问题(2)：求阴影面积有两种思路，一是直接利用正方形面积公式，根据(1)的边长计算；二是用“整体减部分”，即大正方形面积减去四个小长方形的总面积。
3. 问题(3)：因为两种方法表示的是同一阴影部分的面积，所以二者相等，进而得到三个代数式的等量关系。
4. 问题(4)：直接套用(3)的等量关系，代入已知的$a+b$和$ab$的值，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察图2可知，阴影部分正方形的边长为小长方形的长减去宽，即$\boldsymbol{m - n}$。
(2) 方法1：根据正方形面积公式，阴影部分面积为边长的平方，即$\boldsymbol{(m - n)^2}$；
方法2：大正方形的边长为$m + n$，面积为$(m + n)^2$，四个小长方形的总面积为$4mn$，因此阴影部分面积为大正方形面积减去四个小长方形的面积，即$\boldsymbol{(m + n)^2 - 4mn}$。
(3) 由于两种方法计算的是同一阴影部分的面积，因此可得等量关系：$\boldsymbol{(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn}$。
(4) 根据(3)中的等量关系，可得$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，
将$a + b = 7$，$ab = 5$代入得：
$(a - b)^2 = 7^2 - 4×5 = 49 - 20 = 29$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m - n}$
(2) 方法1：$\boldsymbol{(m - n)^2}$；方法2：$\boldsymbol{(m + n)^2 - 4mn}$
(3) $\boldsymbol{(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn}$
(4) $\boldsymbol{29}$
【知识点】
完全平方公式变形；图形面积割补法
【点评】
本题通过图形拼接将代数公式与几何面积结合，体现了数形结合思想，既考查了图形面积的计算方法，又加深了对完全平方公式变形的理解，需要学生具备观察图形和灵活运用公式的能力。
【难度系数】
0.6
1. 问题(1)：观察图2的阴影正方形，结合图1中长为$m$、宽为$n$的小长方形，阴影正方形的边长是小长方形长与宽的差，由此可确定边长。
2. 问题(2)：求阴影面积有两种思路，一是直接利用正方形面积公式，根据(1)的边长计算；二是用“整体减部分”，即大正方形面积减去四个小长方形的总面积。
3. 问题(3)：因为两种方法表示的是同一阴影部分的面积，所以二者相等，进而得到三个代数式的等量关系。
4. 问题(4)：直接套用(3)的等量关系，代入已知的$a+b$和$ab$的值，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察图2可知，阴影部分正方形的边长为小长方形的长减去宽，即$\boldsymbol{m - n}$。
(2) 方法1：根据正方形面积公式，阴影部分面积为边长的平方，即$\boldsymbol{(m - n)^2}$；
方法2：大正方形的边长为$m + n$，面积为$(m + n)^2$，四个小长方形的总面积为$4mn$，因此阴影部分面积为大正方形面积减去四个小长方形的面积，即$\boldsymbol{(m + n)^2 - 4mn}$。
(3) 由于两种方法计算的是同一阴影部分的面积，因此可得等量关系：$\boldsymbol{(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn}$。
(4) 根据(3)中的等量关系，可得$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，
将$a + b = 7$，$ab = 5$代入得：
$(a - b)^2 = 7^2 - 4×5 = 49 - 20 = 29$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m - n}$
(2) 方法1：$\boldsymbol{(m - n)^2}$；方法2：$\boldsymbol{(m + n)^2 - 4mn}$
(3) $\boldsymbol{(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn}$
(4) $\boldsymbol{29}$
【知识点】
完全平方公式变形；图形面积割补法
【点评】
本题通过图形拼接将代数公式与几何面积结合，体现了数形结合思想，既考查了图形面积的计算方法，又加深了对完全平方公式变形的理解，需要学生具备观察图形和灵活运用公式的能力。
【难度系数】
0.6
