1. $(x + 3)(-x - 3)$等于()

A.$-x^{2}-6x - 9$
B.$-x^{2}-6x + 9$
C.$x^{2}+6x + 9$
D.$-x^{2}+6x - 9$

1. A

【分析】
首先观察式子结构，发现$(-x - 3)$可提取负号变形为$-(x + 3)$，原式就转化为$-(x + 3)^2$的形式，接下来利用完全平方公式展开并处理符号即可得到结果。思考时优先通过式子变形简化计算，避免直接多项式相乘时容易出现的符号错误。
【解析】
$\begin{aligned}(x + 3)(-x - 3)&=(x + 3)×[-(x + 3)]\\&=-(x + 3)^2\\&=-(x^2 + 6x + 9)\\&=-x^2 - 6x - 9\end{aligned}$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查整式乘法的变形技巧与完全平方公式的应用，通过观察式子特征合理变形能简化计算流程，解题过程中需注意符号的正确处理，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8

2. 若$(x - 3)^{2}+(y + 5)^{2}=0$，则$x^{2}-y^{2}$的值是()

A.$8$
B.$-8$
C.$16$
D.$-16$

2. D

【分析】
首先，我们要明确平方数的非负性：任何实数的平方都大于等于0。题目中两个平方数的和为0，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质，我们可以分别求出x和y的值，再将其代入代数式$x^2 - y^2$中计算出结果。
【解析】
因为任何实数的平方都具有非负性，即$(x - 3)^2 ≥ 0$，$(y + 5)^2 ≥ 0$，又因为$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 0$，所以：
1. 令$x - 3 = 0$，解得$x = 3$；
2. 令$y + 5 = 0$，解得$y = -5$；
3. 将$x = 3$，$y = -5$代入$x^2 - y^2$：
$x^2 - y^2 = 3^2 - (-5)^2 = 9 - 25 = -16$。
【答案】
D
【知识点】
平方数的非负性、代数式求值
【点评】
本题考查平方数非负性的应用及代数式求值，解题关键是利用非负数的性质求出x、y的值，计算过程中需注意负数平方的符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

3. 如果$x^{2}+ax + 1$是一个完全平方式，那么$a$的值是()

A.$2$
B.$-2$
C.$\pm 2$
D.$\pm 1$

3. C

【分析】
要解决这道题，首先需明确完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$(x+m)^2=x^2+2mx+m^2$和$(x-m)^2=x^2-2mx+m^2$。我们可以将题目中的$x^2+ax+1$与这两种形式对比，先通过常数项确定$m$的值，再根据一次项系数和$m$的关系求出$a$，注意要兼顾两种形式，避免漏解。
【解析】
根据完全平方式的定义，形如$x^2\pm2mx+m^2$的式子为完全平方式。
观察$x^2+ax+1$，其常数项为$1$，对应完全平方式中的$m^2$，因此：
$m^2=1$，解得$m=\pm1$。
当$m=1$时，一次项系数$a=2m=2×1=2$；
当$m=-1$时，一次项系数$a=2m=2×(-1)=-2$；
综上，$a$的值为$\pm2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的特征
【点评】
本题考查完全平方式的概念，核心是牢记完全平方式的两种形式，容易出错的点是忽略负的一次项系数情况，解题时需全面思考，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4. 计算：$101^{2}=$.

4. 10201

【分析】
要计算$101^2$，我们可以借助完全平方公式简化计算，避免直接硬算的繁琐。观察到101可拆分为$100+1$，而完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$恰好适用于这种两个数和的平方运算，分步计算会更清晰准确。
【解析】
$\begin{aligned}101^2&=(100+1)^2\\&=100^2 + 2×100×1 + 1^2\\&=10000 + 200 + 1\\&=10201\end{aligned}$
【答案】
10201
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，将101拆分为$100+1$后，利用公式能快速准确得出结果，相比直接计算提升了效率，也强化了简便计算方法的掌握。
【难度系数】
0.9

5. 计算：$198^{2}=$.

5. 39204

【分析】
观察到198接近整百数200，可将198转化为200-2，然后利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$进行简便计算，避免直接计算三位数乘三位数的繁琐，降低出错率。具体思考步骤：首先确定凑整的方式，把198写成200减2；其次回忆完全平方公式的展开形式；最后代入公式逐步计算得出结果。
【解析】
$\begin{aligned}198^2&=(200-2)^2\\&=200^2 - 2×200×2 + 2^2\\&=40000 - 800 + 4\\&=39200 + 4\\&=39204\end{aligned}$
【答案】
39204
【知识点】
完全平方公式、简便计算
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用，通过将接近整百的数转化为整百数与较小数的差，利用公式简化运算过程，既提高了运算速度，又能减少计算错误，体现了转化思想在数学运算中的应用。
【难度系数】
0.7

6. 已知：$x + y = 4$，$xy = 2$，则$x^{2}+y^{2}+3xy=$.

6. 18

【分析】
观察所求代数式$x^{2}+y^{2}+3xy$，可利用完全平方公式将其变形为含已知条件$x+y$和$xy$的形式。我们可以把$x^{2}+y^{2}+3xy$拆分为$(x^{2}+2xy+y^{2})+xy$，而$x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^2$，这样就将所求式子转化为$(x+y)^2+xy$，之后直接代入已知的$x+y=4$和$xy=2$就能计算出结果。
【解析】
1. 对所求代数式变形：
$x^{2}+y^{2}+3xy=(x^{2}+2xy+y^{2})+xy=(x+y)^2+xy$
2. 代入已知条件计算：
将$x+y=4$，$xy=2$代入上式，得：
原式$=4^2 + 2=16+2=18$
【答案】
18
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用及整体代入思想，通过对代数式的合理变形，将未知转化为已知，降低计算难度，只要熟练掌握完全平方公式的结构特征，就能轻松求解。
【难度系数】
0.8

7. 计算：
(1) $(3x + 4y)^{2}-(3x - 4y)^{2}$；
(2) $(a - 2b)^{2}-(a + 2b)^{2}$.

7. (1) $48xy$ (2) $-8ab$

【分析】
这两道题均为两个完全平方式的差，有两种解题思路：一是利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$简化计算，二是先分别展开两个完全平方式，再通过整式加减合并同类项得到结果。优先选择平方差公式更简便，解题时可将两个完全平方式的底数看作整体，代入平方差公式快速运算；若选择展开计算，需注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 方法一：利用平方差公式计算
$\begin{aligned}&(3x + 4y)^{2}-(3x - 4y)^{2}\\=&[(3x+4y)-(3x-4y)][(3x+4y)+(3x-4y)]\\=&(3x+4y-3x+4y)(3x+4y+3x-4y)\\=&8y×6x\\=&48xy\end{aligned}$
方法二：展开完全平方后计算
$\begin{aligned}&(3x + 4y)^{2}-(3x - 4y)^{2}\\=&(9x^2+24xy+16y^2)-(9x^2-24xy+16y^2)\\=&9x^2+24xy+16y^2-9x^2+24xy-16y^2\\=&48xy\end{aligned}$
(2) 方法一：利用平方差公式计算
$\begin{aligned}&(a - 2b)^{2}-(a + 2b)^{2}\\=&[(a-2b)-(a+2b)][(a-2b)+(a+2b)]\\=&(a-2b-a-2b)(a-2b+a+2b)\\=&(-4b)×2a\\=&-8ab\end{aligned}$
方法二：展开完全平方后计算
$\begin{aligned}&(a - 2b)^{2}-(a + 2b)^{2}\\=&(a^2-4ab+4b^2)-(a^2+4ab+4b^2)\\=&a^2-4ab+4b^2-a^2-4ab-4b^2\\=&-8ab\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{48xy}$；(2) $\boldsymbol{-8ab}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式加减
【点评】
本题主要考查整式乘法公式的应用，灵活选用平方差公式可简化运算，避免展开完全平方的繁琐步骤；解题时需注重整体思想的运用，同时注意去括号时的符号变化，确保计算准确。
【难度系数】
0.8

8. 运用完全平方公式计算：
(1) $2001^{2}$；
(2) $1.999^{2}$；
(3) $(50\frac{1}{50})^{2}$；
(4) $(-99\frac{1}{2})^{2}$.

8. (1) $4004001$ (2) $3.996001$ (3) $2502\frac{1}{2500}$ (4) $9900\frac{1}{4}$

【分析】
本题考查完全平方公式的简便运算，解题思路是观察每个数的特征，将其转化为一个整数（或整十、整百数）与一个较小数的和或差的形式，再利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开计算，这样可以避免直接计算大数的平方，简化运算步骤，提高计算准确率。具体来说：
1. 对于$2001^2$，2001接近2000，可写成$2000+1$；
2. 对于$1.999^2$，1.999接近2，可写成$2-0.001$；
3. 对于$(50\frac{1}{50})^2$，可直接写成$50+\frac{1}{50}$；
4. 对于$(-99\frac{1}{2})^2$，根据平方的非负性，先转化为$(99\frac{1}{2})^2$，再写成$100-\frac{1}{2}$。
【解析】
(1) $2001^2=(2000+1)^2$
$=2000^2+2×2000×1+1^2$
$=4000000+4000+1$
$=4004001$
(2) $1.999^2=(2-0.001)^2$
$=2^2-2×2×0.001+0.001^2$
$=4-0.004+0.000001$
$=3.996001$
(3) $(50\frac{1}{50})^2=(50+\frac{1}{50})^2$
$=50^2+2×50×\frac{1}{50}+(\frac{1}{50})^2$
$=2500+2+\frac{1}{2500}$
$=2502\frac{1}{2500}$
(4) $(-99\frac{1}{2})^2=(99\frac{1}{2})^2=(100-\frac{1}{2})^2$
$=100^2-2×100×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2$
$=10000-100+\frac{1}{4}$
$=9900\frac{1}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4004001}$；(2) $\boldsymbol{3.996001}$；(3) $\boldsymbol{2502\frac{1}{2500}}$；(4) $\boldsymbol{9900\frac{1}{4}}$
【知识点】
完全平方公式、简便运算
【点评】
本题通过将特殊数字转化为整数与小数字的和差形式，灵活运用完全平方公式进行简便计算，既降低了计算难度，又锻炼了学生对公式的灵活应用能力和数感，是完全平方公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

9. 已知：$(a + b)^{2}=8$，$(a - b)^{2}=3$，求$a^{2}+b^{2}$及$ab$的值.

9. 解：因为 $(a + b)^2 = 8$
$a^2 + b^2 + 2ab = 8$
又因为 $(a - b)^2 = 3$
$a^2 + b^2 - 2ab = 3$
$\begin{cases}a^2 + b^2 + 2ab = 8 & ①\\a^2 + b^2 - 2ab = 3 & ②\end{cases}$
① - ②得
$4ab = 5$
$ab = \frac{5}{4}$
所以 $a^2 + b^2 = 8 - 2×\frac{5}{4} = \frac{11}{2}$

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用完全平方公式将已知的两个等式展开，得到关于$a^2 + b^2$和$ab$的二元一次方程组，再通过加减消元法分别求出这两个代数式的值。具体思路如下：首先回忆完全平方公式$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$，把$(a + b)^2=8$和$(a - b)^2=3$分别展开，得到两个包含$a^2 + b^2$与$ab$的等式；然后观察这两个等式，将它们相减可消去$a^2 + b^2$项求出$ab$，再将$ab$的值代入展开式即可求出$a^2 + b^2$。
【解析】
解：因为$(a + b)^2 = 8$，根据完全平方公式展开得：
$a^2 + b^2 + 2ab = 8$ ①
又因为$(a - b)^2 = 3$，根据完全平方公式展开得：
$a^2 + b^2 - 2ab = 3$ ②
① - ②得：
$(a^2 + b^2 + 2ab) - (a^2 + b^2 - 2ab) = 8 - 3$
$4ab = 5$
解得$ab = \frac{5}{4}$
将$ab = \frac{5}{4}$代入①式得：
$a^2 + b^2 + 2×\frac{5}{4} = 8$
$a^2 + b^2 + \frac{5}{2} = 8$
解得$a^2 + b^2 = 8 - \frac{5}{2} = \frac{11}{2}$
【答案】
$a^2 + b^2 = \frac{11}{2}$，$ab = \frac{5}{4}$
【知识点】
完全平方公式、加减消元法
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用以及二元一次方程组的加减消元解法，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过构造方程组求解代数式的值，属于基础题型，有助于巩固整式运算的相关知识。
【难度系数】
0.7

1. 算式$99903^{2}+88805^{2}+77707^{2}$的值的十位上的数字为()

A.$1$
B.$2$
C.$6$
D.$8$

1. D

【分析】
要确定算式结果的十位数字，无需计算完整的平方值。因为一个数的平方的后两位仅由该数的最后两位决定，所以我们可以分别计算每个数最后两位的平方，再将这三个平方数的后两位相加，最后观察和的十位数字即可。
【解析】
步骤1：提取每个数的最后两位，计算其平方的后两位：
$99903$的最后两位是$03$，$3^2 = 9$，即平方后两位为$09$；
$88805$的最后两位是$05$，$5^2 = 25$，即平方后两位为$25$；
$77707$的最后两位是$07$，$7^2 = 49$，即平方后两位为$49$。
步骤2：将三个平方数的后两位相加：
$09 + 25 + 49 = 83$
步骤3：观察和的十位数字，$83$的十位数字是$8$，因此原式结果的十位数字为$8$。
【答案】
D
【知识点】
平方数尾数特征，尾数计算
【点评】
本题巧妙利用平方数的尾数特征简化运算，避免了大数平方的复杂计算。解题关键在于理解“一个数的平方的后两位仅由该数的最后两位决定”这一规律，培养学生的简化运算思维。
【难度系数】
0.6

2. 如图，从边长为$(a + 1)\mathrm{cm}$的正方形纸片中剪去一个边长为$(a - 1)\mathrm{cm}$的正方形($a$大于$1$)剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形面积是()


A.$2\mathrm{cm}^{2}$
B.$2a\mathrm{cm}^{2}$
C.$4a\mathrm{cm}^{2}$
D.$(a^{2}-1)\mathrm{cm}^{2}$

2. C

【分析】
本题的解题关键是理解图形剪拼前后面积不变，因此长方形的面积等于原大正方形的面积减去剪去的小正方形的面积。首先回忆正方形的面积公式，分别计算两个正方形的面积，再通过作差计算出剩余部分的面积，也就是长方形的面积；也可以利用平方差公式简化计算过程，快速得到结果。
【解析】
方法一：利用正方形面积公式计算
1. 计算边长为$(a+1)\mathrm{cm}$的大正方形面积：
$S_{\mathrm{大}}=(a+1)^2=a^2+2a+1\ \mathrm{cm}^2$
2. 计算边长为$(a-1)\mathrm{cm}$的小正方形面积：
$S_{\mathrm{小}}=(a-1)^2=a^2-2a+1\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算长方形的面积（即剩余部分面积）：
$S=S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{小}}=(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)=a^2+2a+1-a^2+2a-1=4a\ \mathrm{cm}^2$
方法二：利用平方差公式简化计算
$S=(a+1)^2-(a-1)^2=[(a+1)+(a-1)][(a+1)-(a-1)]=(2a)×2=4a\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算，平方差公式，图形剪拼面积不变性
【点评】
本题考查图形剪拼的性质及整式的运算，解题核心是抓住“剪拼前后图形面积不变”这一关键点，既可以通过展开完全平方公式计算面积差，也可以利用平方差公式简化运算，两种方法都能高效得到结果，有助于巩固整式运算和图形面积的相关知识。
【难度系数】
0.8