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3. 运用乘法公式计算：
(1) $(m + n + 2)(m + n - 2)$；
(2) $(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}$；
(3) $(2m - 3n)^{2}-(2m + 3n)^{2}$；
(4) $47^{2}-94×27 + 27^{2}$；
(5) $(2x - 1)(2x + 1)-2(x - 2)^{2}$；
(6) $(9 - a^{2})-(9 - a)(9 - a)+(9 + a)^{2}$.
(1) $(m + n + 2)(m + n - 2)$；
(2) $(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}$；
(3) $(2m - 3n)^{2}-(2m + 3n)^{2}$；
(4) $47^{2}-94×27 + 27^{2}$；
(5) $(2x - 1)(2x + 1)-2(x - 2)^{2}$；
(6) $(9 - a^{2})-(9 - a)(9 - a)+(9 + a)^{2}$.
答案
3. (1) $m^2 + n^2 + 2mn - 4$ (2) $x^4 - 2x^2 + 1$ (3) $-24mn$ (4) $400$ (5) $2x^2 + 8x - 9$ (6) $-a^2 + 36a + 9$
解析
【分析】
本题主要考查乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的灵活运用，解题时需根据式子的结构特征，选择合适的公式简化计算：
1. 对于(1)，可将$(m+n)$看作一个整体，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a²-b²$的形式，先利用平方差公式计算，再展开完全平方；
2. 对于(2)，利用积的乘方逆运算$[(a)(b)]²=a²b²$，将式子转化为$[(x+1)(x-1)]²$，先算括号内的平方差，再展开完全平方；
3. 对于(3)，式子是两个完全平方的差，可利用平方差公式的逆运算$a²-b²=(a-b)(a+b)$，代入计算后化简，比分别展开再相减更简便；
4. 对于(4)，观察到$94=2×47$，式子符合完全平方差公式$a²-2ab+b²=(a-b)²$的结构，直接套用公式计算；
5. 对于(5)，先分别利用平方差公式和完全平方公式计算两项，再去括号、合并同类项；
6. 对于(6)，先分别展开各项（注意$(9-a)(9-a)$是$(9-a)²$），再去括号、合并同类项，注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=[(m+n)+2][(m+n)-2]$
$=(m+n)^2 - 2^2$
$=m^2 + 2mn + n^2 - 4$
(2) 原式$=[(x+1)(x-1)]^2$
$=(x^2 - 1)^2$
$=x^4 - 2x^2 + 1$
(3) 原式$=[(2m-3n)-(2m+3n)][(2m-3n)+(2m+3n)]$
$=(2m-3n-2m-3n)(2m-3n+2m+3n)$
$=(-6n)(4m)$
$=-24mn$
(4) 原式$=47^2 - 2×47×27 + 27^2$
$=(47-27)^2$
$=20^2$
$=400$
(5) 原式$=(4x^2 - 1) - 2(x^2 - 4x + 4)$
$=4x^2 - 1 - 2x^2 + 8x - 8$
$=2x^2 + 8x - 9$
(6) 原式$=(9 - a^2) - (9 - a)^2 + (9 + a)^2$
$=9 - a^2 - (81 - 18a + a^2) + (81 + 18a + a^2)$
$=9 - a^2 - 81 + 18a - a^2 + 81 + 18a + a^2$
$=-a^2 + 36a + 9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{m^2 + n^2 + 2mn - 4}$；(2) $\boldsymbol{x^4 - 2x^2 + 1}$；(3) $\boldsymbol{-24mn}$；(4) $\boldsymbol{400}$；(5) $\boldsymbol{2x^2 + 8x - 9}$；(6) $\boldsymbol{-a^2 + 36a + 9}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算
【点评】
本题涵盖了平方差公式、完全平方公式的多种应用场景，包括整体代换、公式逆用、结构识别等，解题关键是准确把握式子特征，灵活选择公式简化计算，避免直接展开带来的繁琐运算，同时要注意去括号时的符号变化和同类项的合并。
【难度系数】
0.6
本题主要考查乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的灵活运用，解题时需根据式子的结构特征，选择合适的公式简化计算：
1. 对于(1)，可将$(m+n)$看作一个整体，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a²-b²$的形式，先利用平方差公式计算，再展开完全平方；
2. 对于(2)，利用积的乘方逆运算$[(a)(b)]²=a²b²$，将式子转化为$[(x+1)(x-1)]²$，先算括号内的平方差，再展开完全平方；
3. 对于(3)，式子是两个完全平方的差，可利用平方差公式的逆运算$a²-b²=(a-b)(a+b)$，代入计算后化简，比分别展开再相减更简便；
4. 对于(4)，观察到$94=2×47$，式子符合完全平方差公式$a²-2ab+b²=(a-b)²$的结构，直接套用公式计算；
5. 对于(5)，先分别利用平方差公式和完全平方公式计算两项，再去括号、合并同类项；
6. 对于(6)，先分别展开各项（注意$(9-a)(9-a)$是$(9-a)²$），再去括号、合并同类项，注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=[(m+n)+2][(m+n)-2]$
$=(m+n)^2 - 2^2$
$=m^2 + 2mn + n^2 - 4$
(2) 原式$=[(x+1)(x-1)]^2$
$=(x^2 - 1)^2$
$=x^4 - 2x^2 + 1$
(3) 原式$=[(2m-3n)-(2m+3n)][(2m-3n)+(2m+3n)]$
$=(2m-3n-2m-3n)(2m-3n+2m+3n)$
$=(-6n)(4m)$
$=-24mn$
(4) 原式$=47^2 - 2×47×27 + 27^2$
$=(47-27)^2$
$=20^2$
$=400$
(5) 原式$=(4x^2 - 1) - 2(x^2 - 4x + 4)$
$=4x^2 - 1 - 2x^2 + 8x - 8$
$=2x^2 + 8x - 9$
(6) 原式$=(9 - a^2) - (9 - a)^2 + (9 + a)^2$
$=9 - a^2 - (81 - 18a + a^2) + (81 + 18a + a^2)$
$=9 - a^2 - 81 + 18a - a^2 + 81 + 18a + a^2$
$=-a^2 + 36a + 9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{m^2 + n^2 + 2mn - 4}$；(2) $\boldsymbol{x^4 - 2x^2 + 1}$；(3) $\boldsymbol{-24mn}$；(4) $\boldsymbol{400}$；(5) $\boldsymbol{2x^2 + 8x - 9}$；(6) $\boldsymbol{-a^2 + 36a + 9}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算
【点评】
本题涵盖了平方差公式、完全平方公式的多种应用场景，包括整体代换、公式逆用、结构识别等，解题关键是准确把握式子特征，灵活选择公式简化计算，避免直接展开带来的繁琐运算，同时要注意去括号时的符号变化和同类项的合并。
【难度系数】
0.6
4. 已知$x^{2}-2(m + 1)xy + 16y^{2}$是一个完全平方式，求$m$的值.
答案
4. 解：因为 $x^2 - 2(m + 1)xy + 16y^2$ 是一个完全平方式
$(x \pm 4y)^2 = x^2 \pm 8xy + 16y^2$
所以 $-2(m + 1) = \pm 8$
$m + 1 = \pm 4$
$m = 3$ 或 $m = -5$
$(x \pm 4y)^2 = x^2 \pm 8xy + 16y^2$
所以 $-2(m + 1) = \pm 8$
$m + 1 = \pm 4$
$m = 3$ 或 $m = -5$
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。观察题目中的式子$x^{2}-2(m + 1)xy + 16y^{2}$，其中首项$x^2$对应公式中的$a^2$，即$a=x$；末项$16y^2=(4y)^2$对应公式中的$b^2$，即$b=4y$。根据完全平方式的特征，中间项应该等于$\pm2ab$，由此可建立关于$m$的方程，进而求解$m$的值，注意完全平方式有两种形式，不能遗漏其中一种情况。
【解析】
因为$x^2 - 2(m + 1)xy + 16y^2$是一个完全平方式，
而$(x \pm 4y)^2 = x^2 \pm 8xy + 16y^2$，
所以$-2(m + 1) = \pm 8$，
两边同时除以$-2$得：$m + 1 = \pm 4$，
当$m+1=4$时，$m=4-1=3$；
当$m+1=-4$时，$m=-4-1=-5$。
【答案】
$m=3$或$m=-5$
【知识点】
完全平方公式的应用
【点评】
本题考查完全平方公式的逆用，关键是牢记完全平方式的两种形式，注意不要忽略中间项的正负情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。观察题目中的式子$x^{2}-2(m + 1)xy + 16y^{2}$，其中首项$x^2$对应公式中的$a^2$，即$a=x$；末项$16y^2=(4y)^2$对应公式中的$b^2$，即$b=4y$。根据完全平方式的特征，中间项应该等于$\pm2ab$，由此可建立关于$m$的方程，进而求解$m$的值，注意完全平方式有两种形式，不能遗漏其中一种情况。
【解析】
因为$x^2 - 2(m + 1)xy + 16y^2$是一个完全平方式，
而$(x \pm 4y)^2 = x^2 \pm 8xy + 16y^2$，
所以$-2(m + 1) = \pm 8$，
两边同时除以$-2$得：$m + 1 = \pm 4$，
当$m+1=4$时，$m=4-1=3$；
当$m+1=-4$时，$m=-4-1=-5$。
【答案】
$m=3$或$m=-5$
【知识点】
完全平方公式的应用
【点评】
本题考查完全平方公式的逆用，关键是牢记完全平方式的两种形式，注意不要忽略中间项的正负情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5. 已知$x^{2}+y^{2}+4x - 6y + 13 = 0$，$x$，$y$都是有理数，求$x^{y}$的值.
答案
5. 解：因为 $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0$
$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) + 13 = 0$
$(x^2 + 4x + 2^2) + (y^2 - 6y + 3^2) = 0$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$
又因为 $(x + 2)^2 ≥ 0$，$(y - 3)^2 ≥ 0$
所以 $x = -2$，$y = 3$
则 $x^y = (-2)^3 = -8$
$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) + 13 = 0$
$(x^2 + 4x + 2^2) + (y^2 - 6y + 3^2) = 0$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$
又因为 $(x + 2)^2 ≥ 0$，$(y - 3)^2 ≥ 0$
所以 $x = -2$，$y = 3$
则 $x^y = (-2)^3 = -8$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先观察给定的方程$x^{2}+y^{2}+4x - 6y + 13 = 0$，它包含$x$、$y$的二次项和一次项，我们可以通过配方法将其转化为两个完全平方的和的形式。因为完全平方数具有非负性，即任何数的平方都大于等于0，当两个非负的数相加等于0时，这两个数必须都为0，由此就能求出$x$和$y$的值，最后将$x$、$y$代入$x^y$计算出结果。
【解析】
解：因为 $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0$
将含$x$的项和含$y$的项分别分组：
$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) + 13 = 0$
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对每组进行配方，把13拆分为$2^2+3^2$，可得：
$(x^2 + 4x + 2^2) + (y^2 - 6y + 3^2) = 0$
转化为完全平方形式：
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$
又因为任何有理数的平方都非负，即$(x + 2)^2 ≥ 0$，$(y - 3)^2 ≥ 0$，要使两个非负数的和为0，只能每个非负数都为0，所以：
$x + 2 = 0$，$y - 3 = 0$
解得$x = -2$，$y = 3$
则$x^y = (-2)^3 = -8$
【答案】
$-8$
【知识点】
配方法、非负数的性质、有理数乘方
【点评】
本题主要考查配方法的应用和非负数的性质，解题关键是熟练运用完全平方公式对原式进行配方，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的结论求出$x$、$y$的值，进而计算出目标式的值，需要学生熟练掌握完全平方公式和非负数的相关性质。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先观察给定的方程$x^{2}+y^{2}+4x - 6y + 13 = 0$，它包含$x$、$y$的二次项和一次项，我们可以通过配方法将其转化为两个完全平方的和的形式。因为完全平方数具有非负性，即任何数的平方都大于等于0，当两个非负的数相加等于0时，这两个数必须都为0，由此就能求出$x$和$y$的值，最后将$x$、$y$代入$x^y$计算出结果。
【解析】
解：因为 $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0$
将含$x$的项和含$y$的项分别分组：
$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) + 13 = 0$
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对每组进行配方，把13拆分为$2^2+3^2$，可得：
$(x^2 + 4x + 2^2) + (y^2 - 6y + 3^2) = 0$
转化为完全平方形式：
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$
又因为任何有理数的平方都非负，即$(x + 2)^2 ≥ 0$，$(y - 3)^2 ≥ 0$，要使两个非负数的和为0，只能每个非负数都为0，所以：
$x + 2 = 0$，$y - 3 = 0$
解得$x = -2$，$y = 3$
则$x^y = (-2)^3 = -8$
【答案】
$-8$
【知识点】
配方法、非负数的性质、有理数乘方
【点评】
本题主要考查配方法的应用和非负数的性质，解题关键是熟练运用完全平方公式对原式进行配方，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的结论求出$x$、$y$的值，进而计算出目标式的值，需要学生熟练掌握完全平方公式和非负数的相关性质。
【难度系数】
0.4
1. 说明：$(m - 9)^{2}-(m + 5)^{2}$是$28$的倍数，其中$m$为整数.（提示：只要将原式化简后各项均能被$28$整除即可）
答案
1. 解：根据平方差公式，$(m - 9)^2 - (m + 5)^2$ 可化为
$\begin{aligned}&[(m - 9) + (m + 5)][(m - 9) - (m + 5)]\\=&(2m - 4) · (-14)\\=&-28m + 56\\=&28(2 - m)\end{aligned}$
由于 $m$ 为整数
故 $28(2 - m)$ 是 $28$ 的倍数。
即 $(m - 9)^2 - (m + 5)^2$ 是 $28$ 的倍数。
$\begin{aligned}&[(m - 9) + (m + 5)][(m - 9) - (m + 5)]\\=&(2m - 4) · (-14)\\=&-28m + 56\\=&28(2 - m)\end{aligned}$
由于 $m$ 为整数
故 $28(2 - m)$ 是 $28$ 的倍数。
即 $(m - 9)^2 - (m + 5)^2$ 是 $28$ 的倍数。
解析
【分析】
要证明$(m - 9)^{2}-(m + 5)^{2}$是28的倍数，根据提示需将原式化简为含因数28的形式。观察原式是两个平方数的差，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，因此先利用平方差公式展开式子，再逐步化简，最后验证化简结果是否为28与整数的乘积（因m是整数，只要化简后式子中除28外的部分为整数，即可证明它是28的倍数）。
【解析】
解：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对原式化简：
$\begin{aligned}&(m - 9)^2 - (m + 5)^2\\=&[(m - 9) + (m + 5)][(m - 9) - (m + 5)]\\=&(2m - 4) × (-14)\\=&-28m + 56\\=&28(2 - m)\end{aligned}$
由于m为整数，所以$2 - m$是整数，那么$28(2 - m)$是28与整数的乘积，故$28(2 - m)$是28的倍数。
即$(m - 9)^{2}-(m + 5)^{2}$是28的倍数。
【答案】
$(m - 9)^{2}-(m + 5)^{2}$是28的倍数。
【知识点】
平方差公式应用、整数倍数判断
【点评】
本题考查平方差公式的运用及整数整除性质，解题关键是通过平方差公式将原式化简为28与整数的乘积形式，属于基础题型，能帮助巩固整式运算和倍数判断的相关知识。
【难度系数】
0.8
要证明$(m - 9)^{2}-(m + 5)^{2}$是28的倍数，根据提示需将原式化简为含因数28的形式。观察原式是两个平方数的差，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，因此先利用平方差公式展开式子，再逐步化简，最后验证化简结果是否为28与整数的乘积（因m是整数，只要化简后式子中除28外的部分为整数，即可证明它是28的倍数）。
【解析】
解：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对原式化简：
$\begin{aligned}&(m - 9)^2 - (m + 5)^2\\=&[(m - 9) + (m + 5)][(m - 9) - (m + 5)]\\=&(2m - 4) × (-14)\\=&-28m + 56\\=&28(2 - m)\end{aligned}$
由于m为整数，所以$2 - m$是整数，那么$28(2 - m)$是28与整数的乘积，故$28(2 - m)$是28的倍数。
即$(m - 9)^{2}-(m + 5)^{2}$是28的倍数。
【答案】
$(m - 9)^{2}-(m + 5)^{2}$是28的倍数。
【知识点】
平方差公式应用、整数倍数判断
【点评】
本题考查平方差公式的运用及整数整除性质，解题关键是通过平方差公式将原式化简为28与整数的乘积形式，属于基础题型，能帮助巩固整式运算和倍数判断的相关知识。
【难度系数】
0.8
2. 已知三角形$ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$且$a$，$b$，$c$满足等式$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a + b + c)^{2}$，请说明该三角形是什么三角形.
答案
2. 解：$3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2$ 变形得
$\begin{aligned}&3a^2 + 3b^2 + 3c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\\&2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0\\&a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0\\&(a^2 + b^2 - 2ab) + (a^2 + c^2 - 2ac) + (b^2 + c^2 - 2bc) = 0\\&(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0\end{aligned}$
所以 $a = b = c$
则 $△ ABC$ 为等边三角形。
$\begin{aligned}&3a^2 + 3b^2 + 3c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\\&2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0\\&a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0\\&(a^2 + b^2 - 2ab) + (a^2 + c^2 - 2ac) + (b^2 + c^2 - 2bc) = 0\\&(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0\end{aligned}$
所以 $a = b = c$
则 $△ ABC$ 为等边三角形。
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需从已知等式推导出三边的关系。首先将等式右边的完全平方展开，通过移项、合并同类项整理式子，再拆分项进行配方，转化为几个完全平方和的形式，最后利用平方数的非负性，得出每一个平方项都为0，进而得到三边相等，即可判断三角形为等边三角形。
【解析】
已知$3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2$，对等式进行变形：
$\begin{aligned}&3a^2 + 3b^2 + 3c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\\&2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0\\&a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0\\&(a^2 + b^2 - 2ab) + (a^2 + c^2 - 2ac) + (b^2 + c^2 - 2bc) = 0\\&(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0\end{aligned}$
因为平方数具有非负性，即$(a - b)^2≥0$，$(a - c)^2≥0$，$(b - c)^2≥0$，要使它们的和为0，则每一项都为0，所以$a - b=0$，$a - c=0$，$b - c=0$，即$a = b = c$。
因此，$△ ABC$为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$为等边三角形。
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用与非负数的性质，通过对等式的变形配方，将已知条件转化为三边的等量关系，进而判断三角形形状，要求学生具备较好的代数变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要判断三角形的形状，需从已知等式推导出三边的关系。首先将等式右边的完全平方展开，通过移项、合并同类项整理式子，再拆分项进行配方，转化为几个完全平方和的形式，最后利用平方数的非负性，得出每一个平方项都为0，进而得到三边相等，即可判断三角形为等边三角形。
【解析】
已知$3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2$，对等式进行变形：
$\begin{aligned}&3a^2 + 3b^2 + 3c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\\&2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0\\&a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0\\&(a^2 + b^2 - 2ab) + (a^2 + c^2 - 2ac) + (b^2 + c^2 - 2bc) = 0\\&(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0\end{aligned}$
因为平方数具有非负性，即$(a - b)^2≥0$，$(a - c)^2≥0$，$(b - c)^2≥0$，要使它们的和为0，则每一项都为0，所以$a - b=0$，$a - c=0$，$b - c=0$，即$a = b = c$。
因此，$△ ABC$为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$为等边三角形。
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用与非负数的性质，通过对等式的变形配方，将已知条件转化为三边的等量关系，进而判断三角形形状，要求学生具备较好的代数变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
