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6. 写出一个平方差公式，使其中含有字母 $m$，$n$ 和数字 $4$.
$ (4m - n)(4m + n)=16m^{2}-n^{2} $（答案不唯一）
.答案
6. $ (4m - n)(4m + n)=16m^{2}-n^{2} $（答案不唯一）
解析
【分析】
首先回忆平方差公式的基本形式：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，其中$a$、$b$可以是单项式或多项式。题目要求式子中含有字母$m$、$n$和数字$4$，我们可以将$4$与$m$组合作为公式中的$a$，$n$作为$b$，代入平方差公式即可得到符合要求的式子，且答案不唯一，只要满足平方差公式结构且包含指定元素即可。
【解析】
平方差公式的一般形式为：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。
我们令$a=4m$，$b=n$，将其代入公式可得：
$(4m - n)(4m + n)=(4m)^2 - n^2=16m^2 - n^2$，该式子含有字母$m$、$n$和数字$4$，符合题目要求。（也可构造其他形式，如$(2m+2n)(2m-2n)=4m^2-4n^2$等，答案不唯一）
【答案】
$(4m - n)(4m + n)=16m^{2}-n^{2}$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构的理解与灵活应用，解题关键是明确平方差公式的形式，根据题目要求合理构造出包含指定字母和数字的式子，这类题目答案不唯一，只要符合公式结构和题目条件即可，能有效检验学生对公式的掌握程度。
【难度系数】
0.8
首先回忆平方差公式的基本形式：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，其中$a$、$b$可以是单项式或多项式。题目要求式子中含有字母$m$、$n$和数字$4$，我们可以将$4$与$m$组合作为公式中的$a$，$n$作为$b$，代入平方差公式即可得到符合要求的式子，且答案不唯一，只要满足平方差公式结构且包含指定元素即可。
【解析】
平方差公式的一般形式为：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。
我们令$a=4m$，$b=n$，将其代入公式可得：
$(4m - n)(4m + n)=(4m)^2 - n^2=16m^2 - n^2$，该式子含有字母$m$、$n$和数字$4$，符合题目要求。（也可构造其他形式，如$(2m+2n)(2m-2n)=4m^2-4n^2$等，答案不唯一）
【答案】
$(4m - n)(4m + n)=16m^{2}-n^{2}$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构的理解与灵活应用，解题关键是明确平方差公式的形式，根据题目要求合理构造出包含指定字母和数字的式子，这类题目答案不唯一，只要符合公式结构和题目条件即可，能有效检验学生对公式的掌握程度。
【难度系数】
0.8
7. 两个正方形的边长之和为 $5$，边长之差为 $2$，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是
10
.答案
7. 10
解析
【分析】
首先明确解题目标：求较大正方形与较小正方形的面积差。已知两个正方形的边长之和与边长之差，根据正方形面积公式，面积差为大边长的平方减小边长的平方，即$a^2 - b^2$。此时可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，无需单独求解边长，直接代入已知的边长和与边长差即可快速得到结果；若未想到平方差公式，也可通过解方程组求出边长后再计算面积差，但平方差公式的应用能大幅简化运算。
【解析】
设较大正方形的边长为$a$，较小正方形的边长为$b$。
根据题意可知：
$\begin{cases}a + b = 5 \\ a - b = 2\end{cases}$
较大正方形面积减去较小正方形面积的差为：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将$a+b=5$，$a-b=2$代入上式得：
$5×2=10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，正方形面积公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的实际应用，利用该公式可跳过求解边长的繁琐步骤，直接计算面积差，既简化了运算过程，又提升了解题效率，同时也检验了对正方形面积公式的掌握程度。
【难度系数】
0.8
首先明确解题目标：求较大正方形与较小正方形的面积差。已知两个正方形的边长之和与边长之差，根据正方形面积公式，面积差为大边长的平方减小边长的平方，即$a^2 - b^2$。此时可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，无需单独求解边长，直接代入已知的边长和与边长差即可快速得到结果；若未想到平方差公式，也可通过解方程组求出边长后再计算面积差，但平方差公式的应用能大幅简化运算。
【解析】
设较大正方形的边长为$a$，较小正方形的边长为$b$。
根据题意可知：
$\begin{cases}a + b = 5 \\ a - b = 2\end{cases}$
较大正方形面积减去较小正方形面积的差为：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将$a+b=5$，$a-b=2$代入上式得：
$5×2=10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，正方形面积公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的实际应用，利用该公式可跳过求解边长的繁琐步骤，直接计算面积差，既简化了运算过程，又提升了解题效率，同时也检验了对正方形面积公式的掌握程度。
【难度系数】
0.8
8. 计算：
(1) $(-2x)^{2} - (-2x + 3)(-2x - 3)$；
(2) $(3 + a)(3 - a) + a^{2}$；
(3) $(x + 2y)(x^{2} + 4y^{2})(x - 2y)$；
(4) $(y + 2)(y - 2) - (y - 1)(y + 5)$.
(1) $(-2x)^{2} - (-2x + 3)(-2x - 3)$；
(2) $(3 + a)(3 - a) + a^{2}$；
(3) $(x + 2y)(x^{2} + 4y^{2})(x - 2y)$；
(4) $(y + 2)(y - 2) - (y - 1)(y + 5)$.
答案
8. (1)9 (2)9 (3)$ x^{4}-16y^{4} $ (4)$ -4y + 1 $
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，核心是运用平方差公式和多项式乘多项式法则简化计算，解题思路如下：
(1) 先计算乘方运算$(-2x)^2$，再识别出$(-2x+3)(-2x-3)$符合平方差公式形式，利用公式计算后，去括号合并同类项得到结果；
(2) 先对$(3+a)(3-a)$运用平方差公式计算，再合并同类项即可消去含$a^2$的项；
(3) 利用乘法交换律，先将$(x+2y)$与$(x-2y)$结合，用平方差公式计算得到$x^2-4y^2$，再将该结果与$(x^2+4y^2)$再次运用平方差公式计算；
(4) 分别用平方差公式计算$(y+2)(y-2)$，用多项式乘多项式法则展开$(y-1)(y+5)$，之后去括号、合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=4x^2 - [(-2x)^2 - 3^2]$
$=4x^2 - (4x^2 - 9)$
$=4x^2 - 4x^2 + 9$
$=9$
(2) 原式$=3^2 - a^2 + a^2$
$=9 - a^2 + a^2$
$=9$
(3) 原式$=(x+2y)(x-2y)(x^2+4y^2)$
$=(x^2 - (2y)^2)(x^2+4y^2)$
$=(x^2 - 4y^2)(x^2+4y^2)$
$=x^4 - (4y^2)^2$
$=x^4 - 16y^4$
(4) 原式$=(y^2 - 4) - (y^2 + 5y - y - 5)$
$=y^2 - 4 - y^2 - 4y + 5$
$=-4y + 1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{x^4 - 16y^4}$；(4) $\boldsymbol{-4y + 1}$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，多项式乘多项式
【点评】
本题重点考查整式运算的法则与公式应用，熟练掌握平方差公式可大幅简化计算过程，同时需严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的混合运算，核心是运用平方差公式和多项式乘多项式法则简化计算，解题思路如下：
(1) 先计算乘方运算$(-2x)^2$，再识别出$(-2x+3)(-2x-3)$符合平方差公式形式，利用公式计算后，去括号合并同类项得到结果；
(2) 先对$(3+a)(3-a)$运用平方差公式计算，再合并同类项即可消去含$a^2$的项；
(3) 利用乘法交换律，先将$(x+2y)$与$(x-2y)$结合，用平方差公式计算得到$x^2-4y^2$，再将该结果与$(x^2+4y^2)$再次运用平方差公式计算；
(4) 分别用平方差公式计算$(y+2)(y-2)$，用多项式乘多项式法则展开$(y-1)(y+5)$，之后去括号、合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=4x^2 - [(-2x)^2 - 3^2]$
$=4x^2 - (4x^2 - 9)$
$=4x^2 - 4x^2 + 9$
$=9$
(2) 原式$=3^2 - a^2 + a^2$
$=9 - a^2 + a^2$
$=9$
(3) 原式$=(x+2y)(x-2y)(x^2+4y^2)$
$=(x^2 - (2y)^2)(x^2+4y^2)$
$=(x^2 - 4y^2)(x^2+4y^2)$
$=x^4 - (4y^2)^2$
$=x^4 - 16y^4$
(4) 原式$=(y^2 - 4) - (y^2 + 5y - y - 5)$
$=y^2 - 4 - y^2 - 4y + 5$
$=-4y + 1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{x^4 - 16y^4}$；(4) $\boldsymbol{-4y + 1}$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，多项式乘多项式
【点评】
本题重点考查整式运算的法则与公式应用，熟练掌握平方差公式可大幅简化计算过程，同时需严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，避免出错。
【难度系数】
0.7
9. 先化简，再求值：$(2 + x)(2 - x) + (x - 1)(x + 5)$，其中 $x = \frac{3}{2}$.
答案
9. 解：原式$ = 4 - x^{2}+x^{2}+4x - 5 = 4x - 1 $
把$ x = \frac{3}{2} $代入上式，得
$ 4×\frac{3}{2}-1 = 6 - 1 = 5 $
把$ x = \frac{3}{2} $代入上式，得
$ 4×\frac{3}{2}-1 = 6 - 1 = 5 $
解析
【分析】
这道题是整式的化简求值题，解题思路分为三步：首先利用平方差公式计算$(2 + x)(2 - x)$，利用多项式乘多项式法则计算$(x - 1)(x + 5)$；然后将展开后的式子合并同类项，得到最简整式；最后把$x = \frac{3}{2}$代入最简整式，计算出最终结果。先化简再求值能简化计算过程，避免直接代入的复杂运算。
【解析】
解：原式$=(4 - x^2) + (x^2 + 5x - x - 5)$
$=4 - x^2 + x^2 + 4x - 5$
$=4x - 1$
把$x = \frac{3}{2}$代入$4x - 1$，得：
$4×\frac{3}{2} - 1 = 6 - 1 = 5$
【答案】
5
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题主要考查整式的运算与代数式求值，需要熟练掌握平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和多项式乘多项式的法则，合并同类项时要注意同类项的系数运算，代入求值时需注意分数乘法的计算准确性，整体难度较低，是对整式基础运算的考查。
【难度系数】
0.8
这道题是整式的化简求值题，解题思路分为三步：首先利用平方差公式计算$(2 + x)(2 - x)$，利用多项式乘多项式法则计算$(x - 1)(x + 5)$；然后将展开后的式子合并同类项，得到最简整式；最后把$x = \frac{3}{2}$代入最简整式，计算出最终结果。先化简再求值能简化计算过程，避免直接代入的复杂运算。
【解析】
解：原式$=(4 - x^2) + (x^2 + 5x - x - 5)$
$=4 - x^2 + x^2 + 4x - 5$
$=4x - 1$
把$x = \frac{3}{2}$代入$4x - 1$，得：
$4×\frac{3}{2} - 1 = 6 - 1 = 5$
【答案】
5
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题主要考查整式的运算与代数式求值，需要熟练掌握平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和多项式乘多项式的法则，合并同类项时要注意同类项的系数运算，代入求值时需注意分数乘法的计算准确性，整体难度较低，是对整式基础运算的考查。
【难度系数】
0.8
10. 已知 $x^{2} - y^{2} = 2$，求 $(x + y)^{2}(x - y)^{2}$的值.
答案
10. 解：$ (x + y)^{2}(x - y)^{2} $
$ = [(x + y)(x - y)]^{2} $
$ = (x^{2}-y^{2})^{2} $
因为$ x^{2}-y^{2}=2 $，所以原式$ = 2^{2}=4 $。
$ = [(x + y)(x - y)]^{2} $
$ = (x^{2}-y^{2})^{2} $
因为$ x^{2}-y^{2}=2 $，所以原式$ = 2^{2}=4 $。
解析
【分析】
首先观察所求式子的结构，发现可以利用积的乘方的逆运算将式子变形，即$a^n b^n=(ab)^n$，把$(x + y)^2(x - y)^2$转化为$[(x + y)(x - y)]^2$；接着，$(x + y)(x - y)$符合平方差公式的形式，计算后得到$x^2 - y^2$，而题目中已经给出$x^2 - y^2 = 2$，最后将这个值代入变形后的式子即可求出结果。
【解析】
$\begin{aligned}(x + y)^{2}(x - y)^{2}&=[(x + y)(x - y)]^{2}\\&=(x^{2}-y^{2})^{2}\\\end{aligned}$
因为$x^{2}-y^{2}=2$，所以原式$=2^{2}=4$。
【答案】
4
【知识点】
积的乘方逆运算、平方差公式
【点评】
本题主要考查积的乘方逆运算和平方差公式的灵活运用，解题关键是通过公式变形将所求式子转化为与已知条件相关的形式，进而代入计算，属于基础题型，有助于巩固对整式乘法公式的理解与应用。
【难度系数】
0.8
首先观察所求式子的结构，发现可以利用积的乘方的逆运算将式子变形，即$a^n b^n=(ab)^n$，把$(x + y)^2(x - y)^2$转化为$[(x + y)(x - y)]^2$；接着，$(x + y)(x - y)$符合平方差公式的形式，计算后得到$x^2 - y^2$，而题目中已经给出$x^2 - y^2 = 2$，最后将这个值代入变形后的式子即可求出结果。
【解析】
$\begin{aligned}(x + y)^{2}(x - y)^{2}&=[(x + y)(x - y)]^{2}\\&=(x^{2}-y^{2})^{2}\\\end{aligned}$
因为$x^{2}-y^{2}=2$，所以原式$=2^{2}=4$。
【答案】
4
【知识点】
积的乘方逆运算、平方差公式
【点评】
本题主要考查积的乘方逆运算和平方差公式的灵活运用，解题关键是通过公式变形将所求式子转化为与已知条件相关的形式，进而代入计算，属于基础题型，有助于巩固对整式乘法公式的理解与应用。
【难度系数】
0.8
1. 如图所示，有一个狡猾的地主，把一块边长为 $a$ 米的正方形土地租给马老汉栽种.过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少 $5$ 米，另一边增加 $5$ 米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了.同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏？请说明理由.
答案
1. 解：马老汉吃亏了
因为$ a^{2}-(a + 5)(a - 5) $
$ = a^{2}-(a^{2}-25) $
$ = 25 $
所以与原来相比，马老汉的土地面积减少了25平方米。
即马老汉吃亏了。
因为$ a^{2}-(a + 5)(a - 5) $
$ = a^{2}-(a^{2}-25) $
$ = 25 $
所以与原来相比，马老汉的土地面积减少了25平方米。
即马老汉吃亏了。
解析
【分析】
要判断马老汉是否吃亏，需分别计算原来正方形土地的面积和调整后长方形土地的面积，再通过作差比较两者大小。首先，原来的土地是边长为$a$的正方形，面积为边长的平方；调整后的土地是长为$(a+5)$米、宽为$(a-5)$米的长方形，先根据长方形面积公式表示出面积，再利用平方差公式化简，最后计算面积差，若差值为正，说明原来的面积更大，马老汉吃亏了。
【解析】
马老汉吃亏了，理由如下：
1. 计算原来正方形土地的面积：
原来的土地是边长为$a$米的正方形，根据正方形面积公式，面积$S_1 = a^2$平方米。
2. 计算调整后长方形土地的面积：
调整后土地的长为$(a+5)$米，宽为$(a-5)$米，根据长方形面积公式，面积$S_2=(a+5)(a-5)$。
利用平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$化简得：$S_2 = a^2 - 25$平方米。
3. 计算面积差：
$S_1 - S_2 = a^2 - (a^2 - 25) = a^2 - a^2 + 25 = 25$平方米。
由此可知，调整后的土地面积比原来少了25平方米，所以马老汉吃亏了。
【答案】
马老汉吃亏了，因为调整后的土地面积比原来减少了25平方米。
【知识点】
正方形面积公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题结合实际问题考查了平方差公式的应用，解决此类面积变化问题时，要通过计算面积差判断实际变化，不要被“一边增加、一边减少相同长度”的表面现象迷惑，需通过严谨计算得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断马老汉是否吃亏，需分别计算原来正方形土地的面积和调整后长方形土地的面积，再通过作差比较两者大小。首先，原来的土地是边长为$a$的正方形，面积为边长的平方；调整后的土地是长为$(a+5)$米、宽为$(a-5)$米的长方形，先根据长方形面积公式表示出面积，再利用平方差公式化简，最后计算面积差，若差值为正，说明原来的面积更大，马老汉吃亏了。
【解析】
马老汉吃亏了，理由如下：
1. 计算原来正方形土地的面积：
原来的土地是边长为$a$米的正方形，根据正方形面积公式，面积$S_1 = a^2$平方米。
2. 计算调整后长方形土地的面积：
调整后土地的长为$(a+5)$米，宽为$(a-5)$米，根据长方形面积公式，面积$S_2=(a+5)(a-5)$。
利用平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$化简得：$S_2 = a^2 - 25$平方米。
3. 计算面积差：
$S_1 - S_2 = a^2 - (a^2 - 25) = a^2 - a^2 + 25 = 25$平方米。
由此可知，调整后的土地面积比原来少了25平方米，所以马老汉吃亏了。
【答案】
马老汉吃亏了，因为调整后的土地面积比原来减少了25平方米。
【知识点】
正方形面积公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题结合实际问题考查了平方差公式的应用，解决此类面积变化问题时，要通过计算面积差判断实际变化，不要被“一边增加、一边减少相同长度”的表面现象迷惑，需通过严谨计算得出结论。
【难度系数】
0.8
2. 解方程：$x(x + 2) + (2x + 1)(2x - 1) = 5(x^{2} + 3)$.
答案
2. 解：$ x^{2}+2x + 4x^{2}-1 = 5x^{2}+15 $
$ 2x = 16 $
$ x = 8 $
$ 2x = 16 $
$ x = 8 $
解析
【分析】
要解这个方程，首先需要利用整式的乘法法则和平方差公式将方程两边的式子展开，然后合并同类项，把方程化简为一元一次方程，最后通过移项、系数化为1求出x的值。具体思路如下：
1. 先对左边的两项分别展开：$x(x+2)$用单项式乘多项式法则展开，$(2x+1)(2x-1)$用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开；
2. 对右边的$5(x^2+3)$用单项式乘多项式法则展开；
3. 将左边的同类项合并，再把方程两边的同类项移到一起，消去二次项，得到一元一次方程；
4. 解这个一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：
$x(x + 2) + (2x + 1)(2x - 1) = 5(x^{2} + 3)$
展开式子得：$x^{2}+2x + 4x^{2}-1 = 5x^{2}+15$
合并同类项并移项：$5x^2 - 5x^2 + 2x = 15 + 1$
化简得：$2x = 16$
系数化为1：$x = 8$
【答案】
$x=8$
【知识点】
整式的乘法运算，平方差公式，一元一次方程解法
【点评】
本题主要考查整式乘法运算与一元一次方程的求解，重点在于正确运用乘法公式和运算法则展开式子，合并同类项时要注意同类项的识别，移项过程中要注意符号变化，整体计算难度不大，只要细心运算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要解这个方程，首先需要利用整式的乘法法则和平方差公式将方程两边的式子展开，然后合并同类项，把方程化简为一元一次方程，最后通过移项、系数化为1求出x的值。具体思路如下：
1. 先对左边的两项分别展开：$x(x+2)$用单项式乘多项式法则展开，$(2x+1)(2x-1)$用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开；
2. 对右边的$5(x^2+3)$用单项式乘多项式法则展开；
3. 将左边的同类项合并，再把方程两边的同类项移到一起，消去二次项，得到一元一次方程；
4. 解这个一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：
$x(x + 2) + (2x + 1)(2x - 1) = 5(x^{2} + 3)$
展开式子得：$x^{2}+2x + 4x^{2}-1 = 5x^{2}+15$
合并同类项并移项：$5x^2 - 5x^2 + 2x = 15 + 1$
化简得：$2x = 16$
系数化为1：$x = 8$
【答案】
$x=8$
【知识点】
整式的乘法运算，平方差公式，一元一次方程解法
【点评】
本题主要考查整式乘法运算与一元一次方程的求解，重点在于正确运用乘法公式和运算法则展开式子，合并同类项时要注意同类项的识别，移项过程中要注意符号变化，整体计算难度不大，只要细心运算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
