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1. 我国民间建筑装饰图案中蕴含着丰富的数学之美。下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
2. 如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F。若AD=3，CE=5，则BF的长为()
A.3
B.5
C.8
D.11
A.3
B.5
C.8
D.11
答案
D
解析
∵△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，∴AD=BE=CF=3。∵CE=5，∴BF=BE+EC+CF=3+5+3=11。
3. 如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠CBA=120°。将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CE的长为()
A.6√3
B.9
C.9√3
D.18
A.6√3
B.9
C.9√3
D.18
答案
D
解析
在△ABC中，AB=BC=6，∠CBA=120°，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2·AB·BC·cos∠CBA=6²+6²-2×6×6×cos120°=72+36=108，∴AC=6√3。
△ABC绕点A顺时针旋转120°得△ADE，∴AE=AC=6√3，∠CAE=120°（旋转角），DE=BC=6。
在△ACE中，由余弦定理得CE²=AC²+AE²-2·AC·AE·cos∠CAE=(6√3)²+(6√3)²-2×6√3×6√3×cos120°=216+108=324，∴CE=18。
△ABC绕点A顺时针旋转120°得△ADE，∴AE=AC=6√3，∠CAE=120°（旋转角），DE=BC=6。
在△ACE中，由余弦定理得CE²=AC²+AE²-2·AC·AE·cos∠CAE=(6√3)²+(6√3)²-2×6√3×6√3×cos120°=216+108=324，∴CE=18。
4. 如图，这个图标可以看作是一个平行四边形通过旋转得到的，每次旋转的角度为。
答案
72°
解析
该图标是由一个平行四边形通过旋转得到的。图标共有5个相同的平行四边形，且绕中心点均匀分布。旋转的总角度为360°，因此每次旋转的角度为360°除以5，即72°。
5. 提升题已知大正方形的边长为8cm，小正方形的边长为4cm，起始状态如图。大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为4cm²时，小正方形平移的距离为cm。
答案
1或11
解析
设小正方形平移的距离为 $ x \, \mathrm{cm} $。
当小正方形向右平移进入大正方形时，重叠部分为矩形，宽为小正方形边长 $ 4 \, \mathrm{cm} $，长为 $ x \, \mathrm{cm} $。由重叠面积 $ 4 \, \mathrm{cm}^2 $，得 $ 4x = 4 $，解得 $ x = 1 $。
当小正方形向右平移移出大正方形时，重叠部分长为 $ 8 + 4 - x = 12 - x \, \mathrm{cm} $。由重叠面积 $ 4 \, \mathrm{cm}^2 $，得 $ 4(12 - x) = 4 $，解得 $ x = 11 $。
当小正方形向右平移进入大正方形时，重叠部分为矩形，宽为小正方形边长 $ 4 \, \mathrm{cm} $，长为 $ x \, \mathrm{cm} $。由重叠面积 $ 4 \, \mathrm{cm}^2 $，得 $ 4x = 4 $，解得 $ x = 1 $。
当小正方形向右平移移出大正方形时，重叠部分长为 $ 8 + 4 - x = 12 - x \, \mathrm{cm} $。由重叠面积 $ 4 \, \mathrm{cm}^2 $，得 $ 4(12 - x) = 4 $，解得 $ x = 11 $。
6. 已知：如图，△ABC由△EDC绕点C旋转得到，B，C，E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B。
求证：△ABC是等腰三角形。
求证：△ABC是等腰三角形。
答案
证明：
∵△ABC由△EDC绕点C旋转得到，
∴△ABC≌△EDC（旋转性质），
∴∠ECD=∠ACB，∠E=∠B，DC=AC（全等三角形对应角、对应边相等）。
∵B，C，E三点共线，
∴∠ACE是△ABC的外角（平角定义），
∴∠ACE=∠A+∠B（三角形外角等于不相邻两内角和）。
又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE（角的组成），且∠DCE=∠ACB（已证），∠ACD=∠B（已知），
∴∠ACE=∠B+∠ACB。
∴∠A+∠B=∠B+∠ACB（等量代换），
∴∠A=∠ACB（等式性质）。
∴AB=BC（等角对等边），
即△ABC是等腰三角形。
∵△ABC由△EDC绕点C旋转得到，
∴△ABC≌△EDC（旋转性质），
∴∠ECD=∠ACB，∠E=∠B，DC=AC（全等三角形对应角、对应边相等）。
∵B，C，E三点共线，
∴∠ACE是△ABC的外角（平角定义），
∴∠ACE=∠A+∠B（三角形外角等于不相邻两内角和）。
又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE（角的组成），且∠DCE=∠ACB（已证），∠ACD=∠B（已知），
∴∠ACE=∠B+∠ACB。
∴∠A+∠B=∠B+∠ACB（等量代换），
∴∠A=∠ACB（等式性质）。
∴AB=BC（等角对等边），
即△ABC是等腰三角形。
7. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B+∠C=90°，将AB，DC分别平移到EF和EG的位置。
（1）求∠FEG的度数。
（2）若EF=6，EG=8，BC=14，求四边形ABCD的周长。
（1）求∠FEG的度数。
（2）若EF=6，EG=8，BC=14，求四边形ABCD的周长。
答案
（1）∵AB平移到EF，∴EF//AB，EF=AB，∠B=∠EFG（两直线平行，同位角相等）。
∵DC平移到EG，∴EG//DC，EG=DC，∠C=∠EGF（两直线平行，同位角相等）。
∵∠B+∠C=90°，∴∠EFG+∠EGF=90°。
在△EFG中，∠FEG=180°-(∠EFG+∠EGF)=180°-90°=90°。
（2）由平移性质，AB=EF=6，DC=EG=8。
在Rt△EFG中，FG=√(EF²+EG²)=√(6²+8²)=10。
∵AD//BC，平移后AE=BF，DE=CG，∴AD=AE+DE=BF+CG。
∵BC=BF+FG+CG=14，∴BF+CG=BC-FG=14-10=4，即AD=4。
四边形ABCD周长=AB+BC+CD+AD=6+14+8+4=32。
（1）90°；（2）32。
∵DC平移到EG，∴EG//DC，EG=DC，∠C=∠EGF（两直线平行，同位角相等）。
∵∠B+∠C=90°，∴∠EFG+∠EGF=90°。
在△EFG中，∠FEG=180°-(∠EFG+∠EGF)=180°-90°=90°。
（2）由平移性质，AB=EF=6，DC=EG=8。
在Rt△EFG中，FG=√(EF²+EG²)=√(6²+8²)=10。
∵AD//BC，平移后AE=BF，DE=CG，∴AD=AE+DE=BF+CG。
∵BC=BF+FG+CG=14，∴BF+CG=BC-FG=14-10=4，即AD=4。
四边形ABCD周长=AB+BC+CD+AD=6+14+8+4=32。
（1）90°；（2）32。
