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1. 如图，$∠AOB = 35^{\circ}$，$P$为$∠AOB$内一定点，$M$，$N$分别是射线$OA$，$OB$上一点。当$△ PMN$的周长最小时，$∠MPN$的度数为()
A.$145^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
A.$145^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案
C
解析
作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，分别交OA、OB于点M、N，此时△PMN周长最小。连接OP₁、OP₂、OP，由对称性质得OP₁=OP=OP₂，∠P₁OA=∠POA，∠P₂OB=∠POB，故∠P₁OP₂=2∠AOB=70°。在△OP₁P₂中，∠OP₁P₂=∠OP₂P₁=(180°-70°)/2=55°。因PM=P₁M，PN=P₂N，故∠P₁=∠MPP₁，∠P₂=∠NPP₂。在四边形OCPD（C、D为PP₁、PP₂与OA、OB交点）中，∠CPD=360°-90°-90°-35°=145°，即∠P₁PP₂=145°。则∠MPN=∠P₁PP₂-(∠P₁+∠P₂)=145°-35°=110°。
2. 如图，在长方形$ABCD$中，$AB = 3$，$AD = 6$，点$E$在边$AD$上，点$F$在边$BC$上，且$AE = CF$。连接$CE$，$DF$，则$CE + DF$的最小值为()
A.$3\sqrt{2}$
B.$9$
C.$6$
D.$6\sqrt{2}$
A.$3\sqrt{2}$
B.$9$
C.$6$
D.$6\sqrt{2}$
答案
D
解析
以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立坐标系，得A(0,0),B(0,3),C(6,3),D(6,0)。设AE=CF=x，则E(x,0),F(6-x,3)。
CE=√[(6-x)²+3²]，DF=√[x²+3²]，即求√(x²+9)+√[(6-x)²+9]的最小值。
此式表示x轴上点P(x,0)到M(0,3)、N(6,3)的距离之和。作M关于x轴对称点M'(0,-3)，则PM+PN=PM'+PN≥M'N。
M'N=√[(6-0)²+(3+3)²]=√72=6√2，故CE+DF最小值为6√2。
CE=√[(6-x)²+3²]，DF=√[x²+3²]，即求√(x²+9)+√[(6-x)²+9]的最小值。
此式表示x轴上点P(x,0)到M(0,3)、N(6,3)的距离之和。作M关于x轴对称点M'(0,-3)，则PM+PN=PM'+PN≥M'N。
M'N=√[(6-0)²+(3+3)²]=√72=6√2，故CE+DF最小值为6√2。
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ABC = 90^{\circ}$，$AB = 8$，$BC = 6$，$AD$是$∠BAC$的平分线，$E$，$F$分别是线段$AD$和$AB$上的动点，则$BE + EF$的最小值是。
答案
$\frac{24}{5}$
解析
在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90^{\circ}$，$AB=8$，$BC=6$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$AD$是$∠BAC$的平分线，作$F$关于$AD$的对称点$F'$，由角平分线对称性知$F'$在$AC$上，且$EF=EF'$，则$BE+EF=BE+EF'$。
当$B$、$E$、$F'$共线时，$BE+EF'=BF'$最小，此时$BF'$为$B$到$AC$的垂线段（垂线段最短）。
由面积法，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·BG$（$BG$为$B$到$AC$的距离），即$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10×BG$，解得$BG=\frac{24}{5}$。
故$BE+EF$的最小值为$\frac{24}{5}$。
$AD$是$∠BAC$的平分线，作$F$关于$AD$的对称点$F'$，由角平分线对称性知$F'$在$AC$上，且$EF=EF'$，则$BE+EF=BE+EF'$。
当$B$、$E$、$F'$共线时，$BE+EF'=BF'$最小，此时$BF'$为$B$到$AC$的垂线段（垂线段最短）。
由面积法，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·BG$（$BG$为$B$到$AC$的距离），即$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10×BG$，解得$BG=\frac{24}{5}$。
故$BE+EF$的最小值为$\frac{24}{5}$。
4. 提升题 数学研究小组发现了求线段最值问题的解决策略：可以对两条线段做某种变换(平移、轴对称、旋转等)，最终转化为“两点之间线段最短问题”来解决。
(1)如图①，已知等边三角形$ABC$，$AB = 2$，$D$，$E$分别是$BC$，$AC$的中点，$F$是$AD$边上的动点。连接$EF$，$CF$，则$EF + CF$的最小值为。
(2)如图②，已知矩形$ABCD$，$AB = 6$，$BC = 3$。$E$是$BC$上的点，且$CE = 1$，$F$，$G$是$CD$上的动点，且$FG = 1$，连接$AG$。求$EF + AG$的最小值。
(3)如图③，已知正方形$ABCD$，$AB = 2$，$E$是$AC$上的动点，$F$是$BC$上的动点，且$AE = CF$。连接$AF$，$DE$，求$AF + DE$的最小值。
(1)如图①，已知等边三角形$ABC$，$AB = 2$，$D$，$E$分别是$BC$，$AC$的中点，$F$是$AD$边上的动点。连接$EF$，$CF$，则$EF + CF$的最小值为。
(2)如图②，已知矩形$ABCD$，$AB = 6$，$BC = 3$。$E$是$BC$上的点，且$CE = 1$，$F$，$G$是$CD$上的动点，且$FG = 1$，连接$AG$。求$EF + AG$的最小值。
(3)如图③，已知正方形$ABCD$，$AB = 2$，$E$是$AC$上的动点，$F$是$BC$上的动点，且$AE = CF$。连接$AF$，$DE$，求$AF + DE$的最小值。
答案
(1) 作点C关于AD的对称点B，连接BE交AD于F，此时EF+CF=BE。在等边△ABC中，AB=2，E为AC中点，AE=1，∠BAE=60°。由余弦定理得BE²=AB²+AE²-2·AB·AE·cos60°=4+1-2×2×1×1/2=3，故BE=√3。答案：√3。
(2)
如图②，在AB上截取AA'=1，作点E关于CD的对称点E'，连接A'E'，则A'E'的长就是EF+AG的最小值。
A'E'=√A'B²+E'B²=√5²+4²=√41
(3)
如图③，将CD绕着点C逆时针旋转135°得到线段CG，连接AG，与BC的交点就是点F的位置，此时线段AG就是AF+DE的最小值。
AG=√AC²+CG²=√(2√2)²+2²=2√3
故AF+DE的最小值为2√3
答案：2√3。
(1)√3 (2)√41 (3)2√3
