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5 下列图形中，$△ A'B'C'$与$△ ABC$ 成中心对称的是 （
B
）答案
5.B
解析
【分析】
要判断两个三角形是否成中心对称，首先明确中心对称的核心特征：两个图形绕某一点旋转180°后能够完全重合，且所有对应点的连线都经过这个点，该点平分每一条对应点连线。解题时先逐一分析各选项对应的图形变换类型，排除不符合中心对称特征的选项即可得到答案：
1. 选项A中两个三角形对应点连线都交于点O，但旋转角度小于180°，属于普通旋转变换，不是中心对称；
2. 选项B中对应点连线都交于O，且对应点在O的两侧，到O的距离相等，旋转180°可重合，符合中心对称特征；
3. 选项C中两个图形沿中间直线对折即可重合，属于轴对称变换；
4. 选项D中对应点连线互相平行，属于平移变换。
【解析】
根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称。
选项A：△A'B'C'是△ABC绕点O旋转小于180°的角度得到的，旋转180°后无法与△ABC重合，不是中心对称；
选项B：△ABC和△A'B'C'的对应点A与A'、B与B'、C与C'的连线都经过点O，且OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'，将△ABC绕O旋转180°后可完全与△A'B'C'重合，符合中心对称定义；
选项C：两个图形沿中间竖直直线对折后重合，属于轴对称，不是中心对称；
选项D：两个图形的对应点连线互相平行且相等，是平移得到的，不属于中心对称。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的判定；图形变换的区分
【点评】
本题主要考查不同图形变换的辨析，解题关键是熟练掌握中心对称、轴对称、平移、旋转的核心特征，避免各类变换概念混淆。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否成中心对称，首先明确中心对称的核心特征：两个图形绕某一点旋转180°后能够完全重合，且所有对应点的连线都经过这个点，该点平分每一条对应点连线。解题时先逐一分析各选项对应的图形变换类型，排除不符合中心对称特征的选项即可得到答案：
1. 选项A中两个三角形对应点连线都交于点O，但旋转角度小于180°，属于普通旋转变换，不是中心对称；
2. 选项B中对应点连线都交于O，且对应点在O的两侧，到O的距离相等，旋转180°可重合，符合中心对称特征；
3. 选项C中两个图形沿中间直线对折即可重合，属于轴对称变换；
4. 选项D中对应点连线互相平行，属于平移变换。
【解析】
根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称。
选项A：△A'B'C'是△ABC绕点O旋转小于180°的角度得到的，旋转180°后无法与△ABC重合，不是中心对称；
选项B：△ABC和△A'B'C'的对应点A与A'、B与B'、C与C'的连线都经过点O，且OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'，将△ABC绕O旋转180°后可完全与△A'B'C'重合，符合中心对称定义；
选项C：两个图形沿中间竖直直线对折后重合，属于轴对称，不是中心对称；
选项D：两个图形的对应点连线互相平行且相等，是平移得到的，不属于中心对称。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的判定；图形变换的区分
【点评】
本题主要考查不同图形变换的辨析，解题关键是熟练掌握中心对称、轴对称、平移、旋转的核心特征，避免各类变换概念混淆。
【难度系数】
0.8
6 在平面直角坐标系内,点$(3,-4)$关于原点对称的点的坐标是 （
A.$(-3,4)$
B.$(3,-4)$
C.$(4,-3)$
D.$(-4,3)$
A
）A.$(-3,4)$
B.$(3,-4)$
C.$(4,-3)$
D.$(-4,3)$
答案
6.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆关于原点对称的点的坐标变化规律：平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数。接下来只需要分别求出已知点横、纵坐标的相反数，就能得到对称点的坐标，再匹配选项即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知原点点坐标为$(3,-4)$，
横坐标3的相反数是$-3$，
纵坐标$-4$的相反数是$4$，
因此点$(3,-4)$关于原点对称的点的坐标是$(-3,4)$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征，相反数的概念
【点评】本题属于基础常考题，核心考察对原点对称的坐标变化规律的识记与应用，熟练掌握规律即可快速得出答案，计算量小，得分率高。
【难度系数】0.9
要解决这道题，首先需要回忆关于原点对称的点的坐标变化规律：平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数。接下来只需要分别求出已知点横、纵坐标的相反数，就能得到对称点的坐标，再匹配选项即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知原点点坐标为$(3,-4)$，
横坐标3的相反数是$-3$，
纵坐标$-4$的相反数是$4$，
因此点$(3,-4)$关于原点对称的点的坐标是$(-3,4)$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征，相反数的概念
【点评】本题属于基础常考题，核心考察对原点对称的坐标变化规律的识记与应用，熟练掌握规律即可快速得出答案，计算量小，得分率高。
【难度系数】0.9
7 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转$90°$后得到$△ AB'C'$(点B的对应点是点$B'$,点C的对应点是点$C'$),连接$CC'$.若$∠ CC'B'=32°$,则$∠ BCA$的度数为 (
A.$13°$
B.$28°$
C.$32°$
D.$45°$
(第7题图)
(第8题图)
A
)A.$13°$
B.$28°$
C.$32°$
D.$45°$
(第7题图)
(第8题图)
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先运用旋转的性质，得到对应边相等、旋转角为90°，可判定△ACC'是等腰直角三角形，求出∠AC'C的度数；再结合已知∠CC'B'的度数，通过角的和差计算出∠B'C'A的度数；最后根据旋转前后对应角相等，即可得到∠BCA的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，
∴AC=AC'，∠CAC'=90°，∠BCA=∠B'C'A，
∴△ACC'为等腰直角三角形，
∴∠AC'C=45°，
又
∵∠CC'B'=32°，
∴∠B'C'A=∠AC'C - ∠CC'B'=45°-32°=13°，
∴∠BCA=∠B'C'A=13°。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的核心是抓住旋转前后图形的对应边、对应角相等的特点，结合等腰直角三角形的角度特征求解，是几何部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先运用旋转的性质，得到对应边相等、旋转角为90°，可判定△ACC'是等腰直角三角形，求出∠AC'C的度数；再结合已知∠CC'B'的度数，通过角的和差计算出∠B'C'A的度数；最后根据旋转前后对应角相等，即可得到∠BCA的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，
∴AC=AC'，∠CAC'=90°，∠BCA=∠B'C'A，
∴△ACC'为等腰直角三角形，
∴∠AC'C=45°，
又
∵∠CC'B'=32°，
∴∠B'C'A=∠AC'C - ∠CC'B'=45°-32°=13°，
∴∠BCA=∠B'C'A=13°。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的核心是抓住旋转前后图形的对应边、对应角相等的特点，结合等腰直角三角形的角度特征求解，是几何部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
8 如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,将$△ ABC$绕点$B$按逆时针方向旋转$30°$后得到$△ A_1BC_1$,则阴影部分的面积为（
A.32
B.24
C.$16\sqrt{3}$
D.16
D
）A.32
B.24
C.$16\sqrt{3}$
D.16
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边长度相等，对应旋转角相等。观察图形可得阴影部分面积=S△A₁BC₁ + S△ABA₁ - S△ABC，由于△ABC和△A₁BC₁全等，面积相等，因此可将阴影部分面积转化为求△ABA₁的面积。已知AB=A₁B=8，旋转角∠ABA₁=30°，过A作A₁B边上的高，利用含30°角的直角三角形的性质求出高，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A₁BC₁
∴△ABC≌△A₁BC₁，AB=A₁B=8，∠ABA₁=30°
∴S△ABC = S△A₁BC₁
∴S阴影 = S△A₁BC₁ + S△ABA₁ - S△ABC = S△ABA₁
过点A作AH⊥A₁B，垂足为H
在Rt△ABH中，∠ABH=30°，AB=8
∴AH = $\frac{1}{2}$AB = 4
∴S△ABA₁ = $\frac{1}{2}$×A₁B×AH = $\frac{1}{2}$×8×4 = 16
即阴影部分的面积为16。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；三角形面积计算；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的全等性质完成面积的转化，将不规则的阴影面积转化为规则的等腰三角形面积求解，需要熟练掌握旋转的性质和特殊直角三角形的性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边长度相等，对应旋转角相等。观察图形可得阴影部分面积=S△A₁BC₁ + S△ABA₁ - S△ABC，由于△ABC和△A₁BC₁全等，面积相等，因此可将阴影部分面积转化为求△ABA₁的面积。已知AB=A₁B=8，旋转角∠ABA₁=30°，过A作A₁B边上的高，利用含30°角的直角三角形的性质求出高，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A₁BC₁
∴△ABC≌△A₁BC₁，AB=A₁B=8，∠ABA₁=30°
∴S△ABC = S△A₁BC₁
∴S阴影 = S△A₁BC₁ + S△ABA₁ - S△ABC = S△ABA₁
过点A作AH⊥A₁B，垂足为H
在Rt△ABH中，∠ABH=30°，AB=8
∴AH = $\frac{1}{2}$AB = 4
∴S△ABA₁ = $\frac{1}{2}$×A₁B×AH = $\frac{1}{2}$×8×4 = 16
即阴影部分的面积为16。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；三角形面积计算；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的全等性质完成面积的转化，将不规则的阴影面积转化为规则的等腰三角形面积求解，需要熟练掌握旋转的性质和特殊直角三角形的性质。
【难度系数】
0.7
9 在平面直角坐标系中，若点$P(2,1)$与点$Q(-2,m)$关于原点对称，则$m$的值是
-1
。答案
9.-1
解析
【分析】
解决本题首先需要回忆关于原点对称的点的坐标性质：若平面直角坐标系中两个点关于原点对称，则这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。本题已知点P和点Q关于原点对称，我们可以先验证横坐标已经满足互为相反数的特征，再根据纵坐标互为相反数的规律直接求出m的值。
【解析】
∵点$P(2,1)$与点$Q(-2,m)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
可得m是1的相反数，
∴$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标性质
【点评】
本题是基础类题目，核心考查原点对称的点的坐标规律，只要熟记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决本题首先需要回忆关于原点对称的点的坐标性质：若平面直角坐标系中两个点关于原点对称，则这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。本题已知点P和点Q关于原点对称，我们可以先验证横坐标已经满足互为相反数的特征，再根据纵坐标互为相反数的规律直接求出m的值。
【解析】
∵点$P(2,1)$与点$Q(-2,m)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
可得m是1的相反数，
∴$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标性质
【点评】
本题是基础类题目，核心考查原点对称的点的坐标规律，只要熟记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
10 如图，长方形ABCD的长是14 cm，动点P从点A出发，沿边AD以每秒3 cm的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边BC以每秒1.5 cm的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，则两点出发
（第10题图）
（第11题图）
$\frac{28}{9}$
秒时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称。（第10题图）
（第11题图）
答案
10.$\frac{28}{9}$
解析
【分析】要解决这道题，首先回忆中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应线段长度相等。观察图形可知，当线段PQ将长方形分成的两个图形成中心对称时，线段AP和线段CQ是对应边，二者长度相等。我们可以设运动时间为t秒，用含t的式子分别表示出AP和CQ的长度，再根据等量关系列方程求解即可。
【解析】解：设两点出发t秒时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称。
由题意得长方形的长AD=BC=14cm，t秒后：
点P的运动路程AP=3t cm，点Q的运动路程BQ=1.5t cm，因此CQ=BC - BQ=(14 - 1.5t) cm。
根据成中心对称的两个图形对应边相等，可得AP=CQ，列方程：
$3t = 14 - 1.5t$
移项得：$3t + 1.5t = 14$
合并同类项得：$4.5t = 14$
解得：$t = \frac{28}{9}$
【答案】$\frac{28}{9}$
【知识点】中心对称的性质；一元一次方程的应用；长方形的性质
【点评】本题属于动点结合几何性质的基础题，核心是利用中心对称的对应边相等找到等量关系，建立方程求解，需要掌握中心对称的基本性质和动点路程的表示方法。
【难度系数】0.7
【解析】解：设两点出发t秒时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称。
由题意得长方形的长AD=BC=14cm，t秒后：
点P的运动路程AP=3t cm，点Q的运动路程BQ=1.5t cm，因此CQ=BC - BQ=(14 - 1.5t) cm。
根据成中心对称的两个图形对应边相等，可得AP=CQ，列方程：
$3t = 14 - 1.5t$
移项得：$3t + 1.5t = 14$
合并同类项得：$4.5t = 14$
解得：$t = \frac{28}{9}$
【答案】$\frac{28}{9}$
【知识点】中心对称的性质；一元一次方程的应用；长方形的性质
【点评】本题属于动点结合几何性质的基础题，核心是利用中心对称的对应边相等找到等量关系，建立方程求解，需要掌握中心对称的基本性质和动点路程的表示方法。
【难度系数】0.7
11 如图,将边长都为2 cm 的正方形按图中所示方式摆放,点 $ A_1,A_2,···,A_n $ 均是正方形的对称中心,则2 026个这样的正方形重叠部分的面积和为
2 025
$ \mathrm{cm}^2 $.答案
11.2 025
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步先求单个重叠部分的面积，已知正方形边长为2cm，点$A_1、A_2···$均为正方形的对称中心，结合正方形的性质和全等三角形的知识，可推出两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的$\frac{1}{4}$；第二步找重叠部分的数量规律，观察可知$n$个正方形摆放时，重叠部分的总个数为$n-1$个，最后将$n=2026$代入计算即可得到总面积。
【解析】
1. 计算单个正方形的面积：
已知正方形边长为2cm，因此单个正方形的面积为 $ S = 2×2 = 4\ \mathrm{cm^2} $。
2. 计算单个重叠部分的面积：
由于点是正方形的对称中心，连接正方形中心与它的两个相邻顶点，可证明重叠部分两边的三角形全等，因此重叠部分的面积始终等于正方形面积的$\frac{1}{4}$，即单个重叠部分面积为 $ S_1 = 4×\frac{1}{4} = 1\ \mathrm{cm^2} $。
3. 计算重叠部分的总个数：
观察图形可知，2个正方形有1个重叠部分，3个正方形有2个重叠部分，以此类推，$k$个正方形的重叠部分总个数为$k-1$个。当有2026个正方形时，重叠部分总个数为$2026-1=2025$个。
4. 计算重叠部分的总面积：
总面积为 $ 2025×1 = 2025\ \mathrm{cm^2} $。
【答案】
2025
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的应用，规律探究
【点评】
本题属于图形规律类题型，解题的核心是先推导单个重叠部分的固定面积，再准确找到重叠个数与正方形总数的数量关系，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步先求单个重叠部分的面积，已知正方形边长为2cm，点$A_1、A_2···$均为正方形的对称中心，结合正方形的性质和全等三角形的知识，可推出两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的$\frac{1}{4}$；第二步找重叠部分的数量规律，观察可知$n$个正方形摆放时，重叠部分的总个数为$n-1$个，最后将$n=2026$代入计算即可得到总面积。
【解析】
1. 计算单个正方形的面积：
已知正方形边长为2cm，因此单个正方形的面积为 $ S = 2×2 = 4\ \mathrm{cm^2} $。
2. 计算单个重叠部分的面积：
由于点是正方形的对称中心，连接正方形中心与它的两个相邻顶点，可证明重叠部分两边的三角形全等，因此重叠部分的面积始终等于正方形面积的$\frac{1}{4}$，即单个重叠部分面积为 $ S_1 = 4×\frac{1}{4} = 1\ \mathrm{cm^2} $。
3. 计算重叠部分的总个数：
观察图形可知，2个正方形有1个重叠部分，3个正方形有2个重叠部分，以此类推，$k$个正方形的重叠部分总个数为$k-1$个。当有2026个正方形时，重叠部分总个数为$2026-1=2025$个。
4. 计算重叠部分的总面积：
总面积为 $ 2025×1 = 2025\ \mathrm{cm^2} $。
【答案】
2025
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的应用，规律探究
【点评】
本题属于图形规律类题型，解题的核心是先推导单个重叠部分的固定面积，再准确找到重叠个数与正方形总数的数量关系，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
