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14 在平面直角坐标系中，将点$(m,n)$先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是$(-4,3)$，则$m=$
-2
，$n=$2
。答案
14.-2 2
解析
【分析】
首先明确平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：横坐标满足“右加左减”，纵坐标满足“上加下减”。本题已知平移后的点坐标，要求原坐标，可正向根据平移规则列等式求解，也可逆推将最终点按平移反方向操作（先向下平移1个单位，再向右平移2个单位）得到原坐标，两种方法均能快速求出m和n的值。
【解析】
根据点的平移坐标变化规律：将点$(m,n)$向左平移2个单位长度，横坐标变为$m-2$；再向上平移1个单位长度，纵坐标变为$n+1$。
已知平移后所得点的坐标为$(-4,3)$，因此列方程：
$m - 2 = -4$，解得$m = -4 + 2 = -2$；
$n + 1 = 3$，解得$n = 3 - 1 = 2$。
【答案】
$-2$；$2$
【知识点】
点的平移规律；坐标运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查点平移时横、纵坐标的变化规则，无论是正向列方程还是反向逆推，只要熟练掌握“左减右加、上加下减”的规律就能正确解题，是巩固平移知识点的典型习题。
【难度系数】
0.9
首先明确平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：横坐标满足“右加左减”，纵坐标满足“上加下减”。本题已知平移后的点坐标，要求原坐标，可正向根据平移规则列等式求解，也可逆推将最终点按平移反方向操作（先向下平移1个单位，再向右平移2个单位）得到原坐标，两种方法均能快速求出m和n的值。
【解析】
根据点的平移坐标变化规律：将点$(m,n)$向左平移2个单位长度，横坐标变为$m-2$；再向上平移1个单位长度，纵坐标变为$n+1$。
已知平移后所得点的坐标为$(-4,3)$，因此列方程：
$m - 2 = -4$，解得$m = -4 + 2 = -2$；
$n + 1 = 3$，解得$n = 3 - 1 = 2$。
【答案】
$-2$；$2$
【知识点】
点的平移规律；坐标运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查点平移时横、纵坐标的变化规则，无论是正向列方程还是反向逆推，只要熟练掌握“左减右加、上加下减”的规律就能正确解题，是巩固平移知识点的典型习题。
【难度系数】
0.9
15 如图，把$\mathrm{Rt}△ ABC$放在平面直角坐标系内，其中$∠ CAB=90°$，$BC=5$，点$A$，$C$的坐标分别为$(1,0)$，$(1,4)$。
(1)求出点$B$的坐标；
(2)将$\mathrm{Rt}△ ABC$沿$x$轴向左平移，当点$C$落在直线$y=2x+9$上时，求线段$BC$扫过的面积。
(1)求出点$B$的坐标；
(2)将$\mathrm{Rt}△ ABC$沿$x$轴向左平移，当点$C$落在直线$y=2x+9$上时，求线段$BC$扫过的面积。
答案
15.解:(1)
∵点 A(1,0),C(1,4),∠CAB=90°,
∴OA=1,AC=4,
∴AB=√(BC²-AC²)=√(5²-4²)=3,
∴点 B 的坐标为(4,0).
(2)如图,设△ABC 平移后到△A'B'C'的位置,且点 C'在直线 y=2x+9 上,设 C'(m,4),
将点 C'(m,4)代入 y=2x+9,得 4=2m+9,解得 m=-5/2,
∴点 C'的坐标为(-5/2,4),CC'=7/2.
易知线段 BC 扫过的区域是四边形 BCC'B',由平移的性质知四边形 BCC'B'是平行四边形,
∴线段 BC 扫过的面积为7/2×4=14.
解析
【分析】
(1) 先根据点A、C的坐标确定AC的长度，结合∠CAB=90°可知AB为水平线段，再利用勾股定理求出AB的长度，结合点A的坐标即可推出点B的坐标；
(2) 沿x轴平移时，点的纵坐标不变，因此平移后点C的对应点纵坐标仍为4，代入直线解析式可求出对应点的横坐标，进而得到平移的水平距离；线段BC扫过的图形是平行四边形，平行四边形的底为平移距离，高为AC的长度，根据平行四边形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知点A(1,0)，C(1,4)，∠CAB=90°，
∴AC的长度为$4-0=4$，且AB在x轴上，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
点A的横坐标为1，因此点B的横坐标为$1+3=4$，纵坐标为0，
即点B的坐标为$(4,0)$。
(2) 将$\mathrm{Rt}△ABC$沿x轴向左平移时，点C的纵坐标保持不变，设平移后点C的对应点为$C'(m,4)$，
将$C'(m,4)$代入$y=2x+9$得：
$4=2m+9$，解得$m=-\frac{5}{2}$，
即$C'(-\frac{5}{2},4)$，
∴平移的水平距离$CC'=1-(-\frac{5}{2})=\frac{7}{2}$，
由平移的性质可知，线段BC扫过的区域是平行四边形$BCC'B'$，该平行四边形的底为$\frac{7}{2}$，高为AC的长度4，
因此扫过的面积为：$\frac{7}{2}×4=14$。
【答案】
(1) 点B的坐标为$\boldsymbol{(4,0)}$；
(2) 线段BC扫过的面积为$\boldsymbol{14}$。
【知识点】
勾股定理；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质
【点评】
本题属于基础综合题，考查了直角坐标系中坐标的计算、勾股定理的应用、一次函数解析式的应用以及平移的相关性质，解题的关键是明确平移时点的坐标变化规律，准确判断平移后线段扫过的图形形状。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据点A、C的坐标确定AC的长度，结合∠CAB=90°可知AB为水平线段，再利用勾股定理求出AB的长度，结合点A的坐标即可推出点B的坐标；
(2) 沿x轴平移时，点的纵坐标不变，因此平移后点C的对应点纵坐标仍为4，代入直线解析式可求出对应点的横坐标，进而得到平移的水平距离；线段BC扫过的图形是平行四边形，平行四边形的底为平移距离，高为AC的长度，根据平行四边形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知点A(1,0)，C(1,4)，∠CAB=90°，
∴AC的长度为$4-0=4$，且AB在x轴上，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
点A的横坐标为1，因此点B的横坐标为$1+3=4$，纵坐标为0，
即点B的坐标为$(4,0)$。
(2) 将$\mathrm{Rt}△ABC$沿x轴向左平移时，点C的纵坐标保持不变，设平移后点C的对应点为$C'(m,4)$，
将$C'(m,4)$代入$y=2x+9$得：
$4=2m+9$，解得$m=-\frac{5}{2}$，
即$C'(-\frac{5}{2},4)$，
∴平移的水平距离$CC'=1-(-\frac{5}{2})=\frac{7}{2}$，
由平移的性质可知，线段BC扫过的区域是平行四边形$BCC'B'$，该平行四边形的底为$\frac{7}{2}$，高为AC的长度4，
因此扫过的面积为：$\frac{7}{2}×4=14$。
【答案】
(1) 点B的坐标为$\boldsymbol{(4,0)}$；
(2) 线段BC扫过的面积为$\boldsymbol{14}$。
【知识点】
勾股定理；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质
【点评】
本题属于基础综合题，考查了直角坐标系中坐标的计算、勾股定理的应用、一次函数解析式的应用以及平移的相关性质，解题的关键是明确平移时点的坐标变化规律，准确判断平移后线段扫过的图形形状。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1 下面图形不能通过旋转变换得到的是 （
A.
1 下面图形不能通过旋转变换得到的是 （
C
）A.
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先明确旋转变换的核心特征：图形绕某个旋转中心转动一定角度（小于360°）后，能够与自身完全重合，且旋转前后图形的形状、大小不发生改变。接下来逐个判断四个选项的图形是否符合该特征，找到无法通过旋转与自身重合的图形即可。
【解析】
根据旋转变换的性质逐一分析选项：
1. 选项A：图形绕中心旋转60°后可与自身重合，能够通过旋转变换得到；
2. 选项B：图形绕中心旋转45°后可与自身重合，能够通过旋转变换得到；
3. 选项C：该图形是轴对称图形，绕中心旋转任意小于360°的角度都无法与自身重合，不能通过旋转变换得到；
4. 选项D：图形绕中心旋转60°后可与自身重合，能够通过旋转变换得到。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转变换的性质，旋转对称图形，轴对称图形
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，主要考查对旋转变换特征的理解，解题的关键是区分旋转变换和轴对称变换的差异，掌握旋转后图形绕中心转动一定角度可与自身重合的特点。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确旋转变换的核心特征：图形绕某个旋转中心转动一定角度（小于360°）后，能够与自身完全重合，且旋转前后图形的形状、大小不发生改变。接下来逐个判断四个选项的图形是否符合该特征，找到无法通过旋转与自身重合的图形即可。
【解析】
根据旋转变换的性质逐一分析选项：
1. 选项A：图形绕中心旋转60°后可与自身重合，能够通过旋转变换得到；
2. 选项B：图形绕中心旋转45°后可与自身重合，能够通过旋转变换得到；
3. 选项C：该图形是轴对称图形，绕中心旋转任意小于360°的角度都无法与自身重合，不能通过旋转变换得到；
4. 选项D：图形绕中心旋转60°后可与自身重合，能够通过旋转变换得到。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转变换的性质，旋转对称图形，轴对称图形
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，主要考查对旋转变换特征的理解，解题的关键是区分旋转变换和轴对称变换的差异，掌握旋转后图形绕中心转动一定角度可与自身重合的特点。
【难度系数】
0.8
2 一个图形无论经过平移变换，还是旋转变换，下列说法都正确的是 （
①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等。
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
B
）①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等。
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆平移、旋转变换的相关性质，再逐一验证4个说法是否同时满足两种变换的特征：首先明确平移和旋转都属于全等变换，变换前后图形全等，再重点区分两种变换对应线段的位置关系差异，排除错误说法，最终选出正确选项。
【解析】
我们分别分析每个说法：
1. 分析①：平移变换中对应线段平行（或共线），但旋转变换时，对应线段通常相交（比如将直角三角形绕直角顶点旋转90°，两条直角边的对应线段互相垂直，不平行），因此①不是两种变换都满足的性质，说法错误；
2. 分析②：平移和旋转都不会改变线段的长度，因此对应线段相等，说法正确；
3. 分析③：平移和旋转都属于全等变换，变换前后图形全等，因此图形的形状和大小都不会发生变化，说法正确；
4. 分析④：全等图形对应角相等，因此两种变换后对应角都相等，说法正确。
综上，②③④说法正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质、旋转的性质、全等变换的特征
【点评】
本题重点考查平移与旋转性质的异同点，解题的核心是明确两种变换都是全等变换，仅对应线段的位置关系存在差异，不要混淆两类变换的性质即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平移、旋转变换的相关性质，再逐一验证4个说法是否同时满足两种变换的特征：首先明确平移和旋转都属于全等变换，变换前后图形全等，再重点区分两种变换对应线段的位置关系差异，排除错误说法，最终选出正确选项。
【解析】
我们分别分析每个说法：
1. 分析①：平移变换中对应线段平行（或共线），但旋转变换时，对应线段通常相交（比如将直角三角形绕直角顶点旋转90°，两条直角边的对应线段互相垂直，不平行），因此①不是两种变换都满足的性质，说法错误；
2. 分析②：平移和旋转都不会改变线段的长度，因此对应线段相等，说法正确；
3. 分析③：平移和旋转都属于全等变换，变换前后图形全等，因此图形的形状和大小都不会发生变化，说法正确；
4. 分析④：全等图形对应角相等，因此两种变换后对应角都相等，说法正确。
综上，②③④说法正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质、旋转的性质、全等变换的特征
【点评】
本题重点考查平移与旋转性质的异同点，解题的核心是明确两种变换都是全等变换，仅对应线段的位置关系存在差异，不要混淆两类变换的性质即可正确解答。
【难度系数】
0.8
3 如图,在正方形网格中,△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N',则旋转中心可能是
（
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
（第3题图）
（第4题图）
（
B
）A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
（第3题图）
（第4题图）
答案
3.B
解析
【分析】要确定旋转中心，需结合旋转的性质思考：旋转前后，旋转中心到每一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点。解题时先找到两组对应点，分别作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，再对照选项判断即可。
【解析】根据旋转的性质可知，旋转中心到各对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。
首先确定△MPN和△M'P'N'的对应点：M与M'是对应点，P与P'是对应点，N与N'是对应点。
分别连接MM'、PP'，作出这两条线段的垂直平分线，可发现两条垂直平分线的交点为点B。
验证可得：点B到M、M'的距离相等，到P、P'的距离相等，到N、N'的距离也相等，符合旋转中心的特征。
因此旋转中心可能是点B。
【答案】B
【知识点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】本题是旋转相关的基础题型，解题核心是掌握旋转中心的特征：到所有对应点的距离相等，通过作对应点连线的垂直平分线即可快速找到旋转中心。
【难度系数】0.7
【解析】根据旋转的性质可知，旋转中心到各对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。
首先确定△MPN和△M'P'N'的对应点：M与M'是对应点，P与P'是对应点，N与N'是对应点。
分别连接MM'、PP'，作出这两条线段的垂直平分线，可发现两条垂直平分线的交点为点B。
验证可得：点B到M、M'的距离相等，到P、P'的距离相等，到N、N'的距离也相等，符合旋转中心的特征。
因此旋转中心可能是点B。
【答案】B
【知识点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】本题是旋转相关的基础题型，解题核心是掌握旋转中心的特征：到所有对应点的距离相等，通过作对应点连线的垂直平分线即可快速找到旋转中心。
【难度系数】0.7
4 如图,线段AB绕点O逆时针旋转$90°$得到线段$A'B'$,则$A(3,-7)$的对应点$A'$的坐标是 (
A.$(3,7)$
B.$(7,3)$
C.$(3,-7)$
D.$(7,-3)$
B
)A.$(3,7)$
B.$(7,3)$
C.$(3,-7)$
D.$(7,-3)$
答案
4.B
解析
【分析】
要解决点绕原点逆时针旋转90°后的坐标问题，我们可以结合旋转的性质思考：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。我们可以通过构造直角三角形证明全等，推导对应边的长度，再结合点所在象限确定坐标符号；也可以直接运用点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律快速求解。
【解析】
方法一：构造全等三角形求解
过点A作AC⊥x轴于点C，过点A'作A'D⊥y轴于点D，可得∠ACO=∠A'DO=90°。
由旋转的性质可知：OA=OA'，∠AOA'=90°，因此∠AOC + ∠A'OC = 90°。
又因为∠A'OD + ∠A'OC = 90°，所以∠AOC=∠A'OD。
在△AOC和△A'OD中：
$\{\begin{array}{l}∠ ACO=∠ A'DO\\ ∠ AOC=∠ A'OD\\ OA=OA'\end{array} $
所以△AOC≌△A'OD（AAS）。
已知A(3,-7)，则OC=3，AC=7，因此A'D=OC=3，OD=AC=7。
又因为A'在第一象限，横、纵坐标均为正，所以A'的坐标为(7,3)。
方法二：运用坐标旋转规律求解
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$。
将A(3,-7)代入规律，其中$x=3$，$y=-7$，可得对应点A'的横坐标为$-y=-(-7)=7$，纵坐标为$x=3$，即$A'(7,3)$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是平面直角坐标系与旋转结合的基础题型，既可以通过构造全等三角形逐步推导坐标，也可以直接运用旋转的坐标变化规律快速得到答案，掌握旋转的核心性质和相关坐标变化规律是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决点绕原点逆时针旋转90°后的坐标问题，我们可以结合旋转的性质思考：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。我们可以通过构造直角三角形证明全等，推导对应边的长度，再结合点所在象限确定坐标符号；也可以直接运用点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律快速求解。
【解析】
方法一：构造全等三角形求解
过点A作AC⊥x轴于点C，过点A'作A'D⊥y轴于点D，可得∠ACO=∠A'DO=90°。
由旋转的性质可知：OA=OA'，∠AOA'=90°，因此∠AOC + ∠A'OC = 90°。
又因为∠A'OD + ∠A'OC = 90°，所以∠AOC=∠A'OD。
在△AOC和△A'OD中：
$\{\begin{array}{l}∠ ACO=∠ A'DO\\ ∠ AOC=∠ A'OD\\ OA=OA'\end{array} $
所以△AOC≌△A'OD（AAS）。
已知A(3,-7)，则OC=3，AC=7，因此A'D=OC=3，OD=AC=7。
又因为A'在第一象限，横、纵坐标均为正，所以A'的坐标为(7,3)。
方法二：运用坐标旋转规律求解
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$。
将A(3,-7)代入规律，其中$x=3$，$y=-7$，可得对应点A'的横坐标为$-y=-(-7)=7$，纵坐标为$x=3$，即$A'(7,3)$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是平面直角坐标系与旋转结合的基础题型，既可以通过构造全等三角形逐步推导坐标，也可以直接运用旋转的坐标变化规律快速得到答案，掌握旋转的核心性质和相关坐标变化规律是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
