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三、解答题
12 如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)点 B 关于原点 O 中心对称的点的坐标为 (
(2)将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁,并写出点 A₁ 的坐标;
(3)若点 P 为 y 轴上一动点,求 PA+PC 的最小值.
12 如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)点 B 关于原点 O 中心对称的点的坐标为 (
-4
,-1
);(2)将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁,并写出点 A₁ 的坐标;
(3)若点 P 为 y 轴上一动点,求 PA+PC 的最小值.
答案
12.解:(1)-4 -1
(2)如图,△A₁B₁C₁即为所求,点 A₁ 的坐标为(1,-1).
(3)如图,作点 A 关于 y 轴的对称点 A',连接 CA'交 y 轴于点 P,
此时 PA+PC 的值最小,即为 A'C 的长.
∵A'C=√(2²+4²)=2√5,
∴PA+PC 的最小值为 2√5.
解析
【分析】
(1) 关于原点中心对称的点的坐标规律是横、纵坐标均互为相反数，直接套用规律即可求出点B对称点的坐标；
(2) 先明确绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则：点(x,y)旋转后对应点坐标为(y,-x)，分别计算A、B、C三点旋转后的坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁，直接读出A₁坐标；
(3) 本题属于“将军饮马”最短路径问题，y轴是定点A、C所在平面的对称轴，作点A关于y轴的对称点A'，根据对称性质可知PA=PA'，则PA+PC=PA'+PC，根据两点之间线段最短，当A'、P、C三点共线时，PA'+PC最小，即最小值为A'C的长度，最后用勾股定理计算A'C长度即可。
【解析】
(1) 关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数，已知B(4,1)，因此其对称点坐标为(-4,-1)。
(2) 绕原点顺时针旋转90°时，点(x,y)的对应点坐标为(y,-x)：
A(1,1)旋转后对应点A₁的坐标为(1,-1)；
B(4,1)旋转后对应点B₁的坐标为(1,-4)；
C(3,3)旋转后对应点C₁的坐标为(3,-3)；
依次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(3) 作点A关于y轴的对称点A'，则A'坐标为(-1,1)，根据轴对称的性质，PA=PA'，因此PA+PC=PA'+PC。根据两点之间线段最短，当A'、P、C三点共线时，PA'+PC取得最小值，最小值为线段A'C的长度。
由勾股定理得：$A'C = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，即PA+PC的最小值为$2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) -4，-1
(2)，点A₁的坐标为(1,-1)
(3) $2\sqrt{5}$
【知识点】
中心对称的坐标特征；图形的旋转变换；最短路径问题
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的坐标变换与几何最值问题，基础变换部分需牢记坐标变化规则，最值问题要熟练掌握“将军饮马”模型的应用方法，整体侧重对基础知识和基本几何模型的运用能力考查。
【难度系数】
0.7
(1) 关于原点中心对称的点的坐标规律是横、纵坐标均互为相反数，直接套用规律即可求出点B对称点的坐标；
(2) 先明确绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则：点(x,y)旋转后对应点坐标为(y,-x)，分别计算A、B、C三点旋转后的坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁，直接读出A₁坐标；
(3) 本题属于“将军饮马”最短路径问题，y轴是定点A、C所在平面的对称轴，作点A关于y轴的对称点A'，根据对称性质可知PA=PA'，则PA+PC=PA'+PC，根据两点之间线段最短，当A'、P、C三点共线时，PA'+PC最小，即最小值为A'C的长度，最后用勾股定理计算A'C长度即可。
【解析】
(1) 关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数，已知B(4,1)，因此其对称点坐标为(-4,-1)。
(2) 绕原点顺时针旋转90°时，点(x,y)的对应点坐标为(y,-x)：
A(1,1)旋转后对应点A₁的坐标为(1,-1)；
B(4,1)旋转后对应点B₁的坐标为(1,-4)；
C(3,3)旋转后对应点C₁的坐标为(3,-3)；
依次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(3) 作点A关于y轴的对称点A'，则A'坐标为(-1,1)，根据轴对称的性质，PA=PA'，因此PA+PC=PA'+PC。根据两点之间线段最短，当A'、P、C三点共线时，PA'+PC取得最小值，最小值为线段A'C的长度。
由勾股定理得：$A'C = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，即PA+PC的最小值为$2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) -4，-1
(2)
，点A₁的坐标为(1,-1)(3) $2\sqrt{5}$
【知识点】
中心对称的坐标特征；图形的旋转变换；最短路径问题
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的坐标变换与几何最值问题，基础变换部分需牢记坐标变化规则，最值问题要熟练掌握“将军饮马”模型的应用方法，整体侧重对基础知识和基本几何模型的运用能力考查。
【难度系数】
0.7
13 如图，将$△ ACD$绕点A顺时针旋转$60°$得到$△ ABE$，点B落在CD的延长线上.求证：
(1)$△ ABC$为等边三角形；
(2)$BD+BE=AB$.
(1)$△ ABC$为等边三角形；
(2)$BD+BE=AB$.
答案
13.证明:(1)
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∴△ABC 为等边三角形.
(2)
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，
∴BE=CD.
∵BC=BD+DC,
∴BC=BD+BE.
∵在等边三角形 ABC 中,BC=AB,
∴BD+BE=AB.
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∴△ABC 为等边三角形.
(2)
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，
∴BE=CD.
∵BC=BD+DC,
∴BC=BD+BE.
∵在等边三角形 ABC 中,BC=AB,
∴BD+BE=AB.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC为等边三角形，可利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理。已知△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，根据旋转的性质可得旋转前后对应边AB=AC，旋转角∠BAC=60°，满足等边三角形的判定条件，即可得证。
(2) 要证明BD+BE=AB，首先由旋转的性质可得对应边BE=CD，因此BD+BE可转化为BD+CD，也就是线段BC的长度；再结合(1)中已证的等边三角形三边相等的性质，AB=BC，通过等量代换即可推出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形。
(2) 证明：
∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴BE=CD。
∵BC=BD+DC，
∴BC=BD+BE。
∵在等边三角形ABC中，BC=AB，
∴BD+BE=AB。
【答案】
证明：(1)
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∴△ABC 为等边三角形。
(2)
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，
∴BE=CD。
∵BC=BD+DC,
∴BC=BD+BE。
∵在等边三角形 ABC 中,BC=AB,
∴BD+BE=AB。
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查旋转的性质与等边三角形的相关知识，解题关键是找准旋转前后的对应边、对应角，结合等边三角形的判定和性质，通过等量代换即可完成推导，有助于巩固图形变换的相关知识和几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ABC为等边三角形，可利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理。已知△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，根据旋转的性质可得旋转前后对应边AB=AC，旋转角∠BAC=60°，满足等边三角形的判定条件，即可得证。
(2) 要证明BD+BE=AB，首先由旋转的性质可得对应边BE=CD，因此BD+BE可转化为BD+CD，也就是线段BC的长度；再结合(1)中已证的等边三角形三边相等的性质，AB=BC，通过等量代换即可推出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形。
(2) 证明：
∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴BE=CD。
∵BC=BD+DC，
∴BC=BD+BE。
∵在等边三角形ABC中，BC=AB，
∴BD+BE=AB。
【答案】
证明：(1)
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∴△ABC 为等边三角形。
(2)
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，
∴BE=CD。
∵BC=BD+DC,
∴BC=BD+BE。
∵在等边三角形 ABC 中,BC=AB,
∴BD+BE=AB。
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查旋转的性质与等边三角形的相关知识，解题关键是找准旋转前后的对应边、对应角，结合等边三角形的判定和性质，通过等量代换即可完成推导，有助于巩固图形变换的相关知识和几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
14 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，点$E,F$在$AB$边上，$∠ ECF=45°$.若$AE=10$，$EF=15$，则$BF$的长为
$5\sqrt{5}$
. 答案
14.$5\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题属于等腰直角三角形中的半角模型问题，解题核心是通过旋转构造全等三角形，将分散的三条线段AE、EF、BF集中到同一个直角三角形中，再利用勾股定理求解。首先将△ACE绕点C顺时针旋转90°，使CA与CB重合得到△BCG，先证明△FBG为直角三角形，再证明△ECF和△GCF全等得到FG=EF，最后在直角三角形中用勾股定理计算BF的长度即可。
【解析】
将△ACE绕点C顺时针旋转90°，使CA与CB重合，得到△BCG，连接FG：
1. 由旋转的性质可知△ACE≌△BCG，因此$AE=BG=10$，$CE=CG$，$∠ A=∠ CBG$，$∠ ACE=∠ BCG$。
2. 已知$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，因此$∠ A=∠ CBA=45°$，可得$∠ CBG=∠ A=45°$，故$∠ FBG=∠ CBA+∠ CBG=45°+45°=90°$，即$△ FBG$是直角三角形。
3. 已知$∠ ECF=45°$，因此$∠ ACE+∠ BCF=∠ ACB-∠ ECF=90°-45°=45°$，结合$∠ ACE=∠ BCG$，可得$∠ BCG+∠ BCF=45°$，即$∠ FCG=45°=∠ ECF$。
4. 在$△ ECF$和$△ GCF$中：
$\begin{cases} CE=CG \\ ∠ ECF=∠ GCF \\ CF=CF \end{cases}$
因此$△ ECF≌△ GCF(\mathrm{SAS})$，故$FG=EF=15$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ FBG$中，由勾股定理得$FG^2=BF^2+BG^2$，代入数值：
$15^2=BF^2+10^2$
解得$BF^2=225-100=125$，由于线段长度为正，因此$BF=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$。
【答案】
$5\sqrt{5}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是等腰直角三角形半角模型的典型应用，通过旋转构造全等三角形是常用的解题技巧，能够将分散的线段转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理即可快速求解，是几何中非常重要的解题思路。
【难度系数】
0.6
本题属于等腰直角三角形中的半角模型问题，解题核心是通过旋转构造全等三角形，将分散的三条线段AE、EF、BF集中到同一个直角三角形中，再利用勾股定理求解。首先将△ACE绕点C顺时针旋转90°，使CA与CB重合得到△BCG，先证明△FBG为直角三角形，再证明△ECF和△GCF全等得到FG=EF，最后在直角三角形中用勾股定理计算BF的长度即可。
【解析】
将△ACE绕点C顺时针旋转90°，使CA与CB重合，得到△BCG，连接FG：
1. 由旋转的性质可知△ACE≌△BCG，因此$AE=BG=10$，$CE=CG$，$∠ A=∠ CBG$，$∠ ACE=∠ BCG$。
2. 已知$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，因此$∠ A=∠ CBA=45°$，可得$∠ CBG=∠ A=45°$，故$∠ FBG=∠ CBA+∠ CBG=45°+45°=90°$，即$△ FBG$是直角三角形。
3. 已知$∠ ECF=45°$，因此$∠ ACE+∠ BCF=∠ ACB-∠ ECF=90°-45°=45°$，结合$∠ ACE=∠ BCG$，可得$∠ BCG+∠ BCF=45°$，即$∠ FCG=45°=∠ ECF$。
4. 在$△ ECF$和$△ GCF$中：
$\begin{cases} CE=CG \\ ∠ ECF=∠ GCF \\ CF=CF \end{cases}$
因此$△ ECF≌△ GCF(\mathrm{SAS})$，故$FG=EF=15$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ FBG$中，由勾股定理得$FG^2=BF^2+BG^2$，代入数值：
$15^2=BF^2+10^2$
解得$BF^2=225-100=125$，由于线段长度为正，因此$BF=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$。
【答案】
$5\sqrt{5}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是等腰直角三角形半角模型的典型应用，通过旋转构造全等三角形是常用的解题技巧，能够将分散的线段转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理即可快速求解，是几何中非常重要的解题思路。
【难度系数】
0.6
