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15 如图，已知$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$为$BC$边上一点，连接$AD$。将$△ ACD$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到$△ ABF$，点$E$在线段$BD$上，连接$AE$，$FE$，且$∠ EAD=45°$，试判断$DC$，$BE$，$DE$的关系。
答案
15.解:
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABF，
∴AD=AF,CD=BF,∠ABF=∠C,∠DAF=90°.
∵∠EAD=45°,
∴∠EAF=∠DAF-∠EAD=90°-45°=45°,
∴∠EAD=∠EAF.
在△EAD 和△EAF 中,$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠EAD=∠EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△EAD≌△EAF(SAS),
∴EF=ED.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=45°=∠ABF.
∴∠FBE=90°,
∴BE²+BF²=EF².
∵CD=BF,EF=ED,
∴BE²+CD²=DE².
∵将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABF，
∴AD=AF,CD=BF,∠ABF=∠C,∠DAF=90°.
∵∠EAD=45°,
∴∠EAF=∠DAF-∠EAD=90°-45°=45°,
∴∠EAD=∠EAF.
在△EAD 和△EAF 中,$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠EAD=∠EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△EAD≌△EAF(SAS),
∴EF=ED.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=45°=∠ABF.
∴∠FBE=90°,
∴BE²+BF²=EF².
∵CD=BF,EF=ED,
∴BE²+CD²=DE².
解析
【分析】
遇到涉及旋转的线段关系探究题，首先从旋转的性质入手：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等。首先由△ACD旋转得到△ABF，可得到相等的边和角以及90°的旋转角，结合已知∠EAD=45°，可推出∠EAF=45°，即可证明△EAD和△EAF全等，将DE转化为EF。再结合等腰直角三角形的底角为45°，推导得出∠FBE为直角，最后在直角三角形中利用勾股定理，将线段等量替换即可得到DC、BE、DE的关系。
【解析】
解：
∵将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴AD=AF，CD=BF，∠ABF=∠C，∠DAF=90°。
∵∠EAD=45°，
∴∠EAF=∠DAF - ∠EAD=90°-45°=45°，
∴∠EAD=∠EAF。
在△EAD和△EAF中，
$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠EAD=∠EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△EAD≌△EAF(SAS)，
∴EF=ED。
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠ABF=∠C=45°，
∴∠FBE=∠ABF+∠ABC=45°+45°=90°，
在Rt△FBE中，由勾股定理得$BE^2+BF^2=EF^2$，
∵CD=BF，EF=ED，
∴$BE^2+CD^2=DE^2$。
【答案】
$BE^2+CD^2=DE^2$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何线段关系探究的典型题，通过旋转变换实现线段和角的转移，结合全等三角形将待研究的线段转化到同一个直角三角形中，再利用勾股定理得到结论，解题的关键是挖掘旋转隐含的相等关系和角度关系。
【难度系数】
0.6
遇到涉及旋转的线段关系探究题，首先从旋转的性质入手：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等。首先由△ACD旋转得到△ABF，可得到相等的边和角以及90°的旋转角，结合已知∠EAD=45°，可推出∠EAF=45°，即可证明△EAD和△EAF全等，将DE转化为EF。再结合等腰直角三角形的底角为45°，推导得出∠FBE为直角，最后在直角三角形中利用勾股定理，将线段等量替换即可得到DC、BE、DE的关系。
【解析】
解：
∵将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴AD=AF，CD=BF，∠ABF=∠C，∠DAF=90°。
∵∠EAD=45°，
∴∠EAF=∠DAF - ∠EAD=90°-45°=45°，
∴∠EAD=∠EAF。
在△EAD和△EAF中，
$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠EAD=∠EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△EAD≌△EAF(SAS)，
∴EF=ED。
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠ABF=∠C=45°，
∴∠FBE=∠ABF+∠ABC=45°+45°=90°，
在Rt△FBE中，由勾股定理得$BE^2+BF^2=EF^2$，
∵CD=BF，EF=ED，
∴$BE^2+CD^2=DE^2$。
【答案】
$BE^2+CD^2=DE^2$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何线段关系探究的典型题，通过旋转变换实现线段和角的转移，结合全等三角形将待研究的线段转化到同一个直角三角形中，再利用勾股定理得到结论，解题的关键是挖掘旋转隐含的相等关系和角度关系。
【难度系数】
0.6
1（2025·江苏盐城）小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（
A.平移
B.轴对称
C.旋转
D.位似
A
）A.平移
B.轴对称
C.旋转
D.位似
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先要明确各类图形变换的核心特征，再结合安检传送带的运动特点对应判断：先回忆平移、轴对称、旋转、位似四种变换的定义，再分析背包随传送带运动时的状态，匹配对应变换的特征即可得出答案。
【解析】
首先明确四种图形变换的核心特点：
1. 平移：平面内一个图形的所有点沿同一方向移动相同距离，不改变图形的形状、大小和方向；
2. 轴对称：一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，核心是“折叠重合”；
3. 旋转：一个图形绕平面内某一定点转动一定的角度，核心是“绕定点转动”；
4. 位似：两个图形不仅相似，且对应顶点的连线相交于一点，核心是“相似+对应点连线共点”。
背包随安检传送带移动时，背包上所有点都沿传送带的运动方向移动相同距离，形状、大小、方向均未发生改变，符合平移的特征，其余变换的特征均不满足，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
平移的概念；图形变换的判别
【点评】
本题结合生活中的安检场景考查图形变换的识别，解题关键是准确掌握各类图形变换的核心特征，结合实际运动状态判断即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确各类图形变换的核心特征，再结合安检传送带的运动特点对应判断：先回忆平移、轴对称、旋转、位似四种变换的定义，再分析背包随传送带运动时的状态，匹配对应变换的特征即可得出答案。
【解析】
首先明确四种图形变换的核心特点：
1. 平移：平面内一个图形的所有点沿同一方向移动相同距离，不改变图形的形状、大小和方向；
2. 轴对称：一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，核心是“折叠重合”；
3. 旋转：一个图形绕平面内某一定点转动一定的角度，核心是“绕定点转动”；
4. 位似：两个图形不仅相似，且对应顶点的连线相交于一点，核心是“相似+对应点连线共点”。
背包随安检传送带移动时，背包上所有点都沿传送带的运动方向移动相同距离，形状、大小、方向均未发生改变，符合平移的特征，其余变换的特征均不满足，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
平移的概念；图形变换的判别
【点评】
本题结合生活中的安检场景考查图形变换的识别，解题关键是准确掌握各类图形变换的核心特征，结合实际运动状态判断即可。
【难度系数】
0.9
2 (2025·四川绵阳)下列图形,既是中心对称图形又是轴对称图形的是 (
C
) 答案
2.C
解析
【分析】
解题需先明确两个核心定义：1. 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的图形；2. 中心对称图形：在平面内，绕某一点旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。我们只需逐一判断四个选项是否同时满足这两个条件，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：图形沿过圆心的竖直线折叠可重合，属于轴对称图形；但绕圆心旋转180°后，箭头方向与原图形不一致，不属于中心对称图形，不符合要求。
选项B：图形沿过圆心的竖直线折叠可重合，属于轴对称图形；但绕圆心旋转180°后，汽车图案倒置，与原图形不一致，不属于中心对称图形，不符合要求。
选项C：图形沿斜杠所在直线、或过圆心与斜杠垂直的直线折叠，两侧都能重合，属于轴对称图形；绕圆心旋转180°后，图形与原图形完全一致，属于中心对称图形，符合要求。
选项D：图形找不到一条直线使折叠后两侧重合，不属于轴对称图形；绕圆心旋转180°后箭头方向与原图形不符，也不属于中心对称图形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别、中心对称图形识别
【点评】
本题是对中心对称、轴对称图形判定概念的基础考查，只要牢记两类图形的判定特征，结合图案特征逐一排查即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
解题需先明确两个核心定义：1. 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的图形；2. 中心对称图形：在平面内，绕某一点旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。我们只需逐一判断四个选项是否同时满足这两个条件，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：图形沿过圆心的竖直线折叠可重合，属于轴对称图形；但绕圆心旋转180°后，箭头方向与原图形不一致，不属于中心对称图形，不符合要求。
选项B：图形沿过圆心的竖直线折叠可重合，属于轴对称图形；但绕圆心旋转180°后，汽车图案倒置，与原图形不一致，不属于中心对称图形，不符合要求。
选项C：图形沿斜杠所在直线、或过圆心与斜杠垂直的直线折叠，两侧都能重合，属于轴对称图形；绕圆心旋转180°后，图形与原图形完全一致，属于中心对称图形，符合要求。
选项D：图形找不到一条直线使折叠后两侧重合，不属于轴对称图形；绕圆心旋转180°后箭头方向与原图形不符，也不属于中心对称图形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别、中心对称图形识别
【点评】
本题是对中心对称、轴对称图形判定概念的基础考查，只要牢记两类图形的判定特征，结合图案特征逐一排查即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
3 (2025·北京)下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （
D
）答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再结合定义逐一判断每个选项是否同时满足两个条件。第一步先回忆两个概念：轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两侧可完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转180°后能与自身重合的图形；第二步逐个验证选项，排除仅满足一个条件或都不满足的选项，最终选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心定义：
1. 轴对称图形：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：平面内将图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
对各选项逐一分析：
选项A：半圆是轴对称图形（对称轴为过圆心且垂直于直径的直线），但绕中心旋转180°后圆弧方向与原图形相反，无法重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项B：等边三角形是轴对称图形（共3条对称轴），绕中心旋转180°后图形倒置，与原图形不重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项C：平行四边形是中心对称图形（对称中心为对角线交点），但不存在能让其折叠后两侧重合的直线，不是轴对称图形，不符合要求；
选项D：该图形为菱形（正方形属于特殊菱形），沿两条对角线、两组对边中点连线折叠均能重合，是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后可与原图形完全重合，是中心对称图形，同时满足两个条件。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形识别、中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念类题型，主要考察对常见平面图形对称性的判断，解题的关键是准确掌握两个对称图形的定义，遇到易混淆的图形可结合定义推演旋转或折叠后的形态进行验证，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再结合定义逐一判断每个选项是否同时满足两个条件。第一步先回忆两个概念：轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两侧可完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转180°后能与自身重合的图形；第二步逐个验证选项，排除仅满足一个条件或都不满足的选项，最终选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心定义：
1. 轴对称图形：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：平面内将图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
对各选项逐一分析：
选项A：半圆是轴对称图形（对称轴为过圆心且垂直于直径的直线），但绕中心旋转180°后圆弧方向与原图形相反，无法重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项B：等边三角形是轴对称图形（共3条对称轴），绕中心旋转180°后图形倒置，与原图形不重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项C：平行四边形是中心对称图形（对称中心为对角线交点），但不存在能让其折叠后两侧重合的直线，不是轴对称图形，不符合要求；
选项D：该图形为菱形（正方形属于特殊菱形），沿两条对角线、两组对边中点连线折叠均能重合，是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后可与原图形完全重合，是中心对称图形，同时满足两个条件。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形识别、中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念类题型，主要考察对常见平面图形对称性的判断，解题的关键是准确掌握两个对称图形的定义，遇到易混淆的图形可结合定义推演旋转或折叠后的形态进行验证，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
4 (2025·辽宁)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(2,-2),将线段AB平移得到线段CD,点A的对应点C的坐标为(3,5),则点B的对应点D的坐标为 (
A.(7,-2)
B.(2,3)
C.(2,-7)
D.(-3,-2)
B
)A.(7,-2)
B.(2,3)
C.(2,-7)
D.(-3,-2)
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先利用平移的核心性质：线段平移时，所有对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量完全相同。首先根据点A和它的对应点C的坐标，算出平移过程中横、纵坐标的变化规律，再将该规律应用到点B上，即可求出点D的坐标。
【解析】
第一步：计算平移的坐标变化量
已知点A的坐标为(3,0)，对应点C的坐标为(3,5)：
横坐标变化：$3-3=0$，即平移过程中横坐标不变；
纵坐标变化：$5-0=5$，即平移过程中纵坐标增加5。
第二步：求点B的对应点D的坐标
点B的坐标为(2,-2)，按照上述平移规律：
D点横坐标和B点相同，为2；
D点纵坐标为$-2+5=3$。
因此点D的坐标为(2,3)。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变化-平移
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平移前后坐标的变化规律，只要掌握对应点坐标变化量一致的特点，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
解题时先利用平移的核心性质：线段平移时，所有对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量完全相同。首先根据点A和它的对应点C的坐标，算出平移过程中横、纵坐标的变化规律，再将该规律应用到点B上，即可求出点D的坐标。
【解析】
第一步：计算平移的坐标变化量
已知点A的坐标为(3,0)，对应点C的坐标为(3,5)：
横坐标变化：$3-3=0$，即平移过程中横坐标不变；
纵坐标变化：$5-0=5$，即平移过程中纵坐标增加5。
第二步：求点B的对应点D的坐标
点B的坐标为(2,-2)，按照上述平移规律：
D点横坐标和B点相同，为2；
D点纵坐标为$-2+5=3$。
因此点D的坐标为(2,3)。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变化-平移
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平移前后坐标的变化规律，只要掌握对应点坐标变化量一致的特点，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
5 (2025·江苏南京)如图,在平面直角坐标系中,已知下列变换:①沿y轴翻折;②沿函数$y=x+2$的图象翻折;③绕原点按顺时针方向旋转$45°$;④绕点$(1,-1)$按顺时针方向旋转$90°$.其中,能使函数$y=2x+4$的图象经过一种变换后过点$P(2,2)$的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.B
解析
【分析】
要判断4种变换后直线$y=2x+4$是否经过点$P(2,2)$，可采用逆变换思路验证：若点$P$经对应变换的逆变换后得到的点在原直线$y=2x+4$上，则该变换满足条件，我们逐个分析4种变换即可。
【解析】
我们逐个验证4种变换：
1. 验证①沿$y$轴翻折：
沿$y$轴翻折的逆变换仍是沿$y$轴翻折，点$P(2,2)$沿$y$轴翻折后得到点$(-2,2)$，代入原直线$y=2x+4$，右边$=2×(-2)+4=0≠2$，点$(-2,2)$不在原直线上，故①不符合。
2. 验证②沿$y=x+2$翻折：
求$P(2,2)$关于直线$y=x+2$的对称点：设对称点为$(a,b)$，两点连线与$y=x+2$垂直（斜率乘积为$-1$），且中点在直线上，列方程：
$\begin{cases}\frac{b-2}{a-2}=-1\\\frac{b+2}{2}=\frac{a+2}{2}+2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=0\\b=4\end{cases}$，对称点为$(0,4)$，代入$y=2x+4$，右边$=2×0+4=4$，点$(0,4)$在原直线上，故②符合。
3. 验证③绕原点顺时针旋转$45°$：
逆变换为绕原点逆时针旋转$45°$，点$P(2,2)$逆时针转$45°$后坐标为$(0,2\sqrt{2})$，代入原直线$y=2x+4$，右边$=0+4=4≠2\sqrt{2}$，不在原直线上，故③不符合。
4. 验证④绕点$(1,-1)$顺时针旋转$90°$：
逆变换为绕$(1,-1)$逆时针旋转$90°$：先将点$P$平移，以$(1,-1)$为原点得坐标$(2-1,2+1)=(1,3)$，逆时针转$90°$得$(-3,1)$，平移回原坐标得$(-3+1,1-1)=(-2,0)$，代入$y=2x+4$，右边$=2×(-2)+4=0$，点$(-2,0)$在原直线上，故④符合。
综上，符合条件的变换有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象变换；图形的翻折；图形的旋转
【点评】
本题考查一次函数与图形变换的结合，解题关键是熟练掌握翻折、旋转的坐标变化规律，通过逆变换验证可以简化计算，避免直接求变换后解析式的复杂运算。
【难度系数】
0.6
要判断4种变换后直线$y=2x+4$是否经过点$P(2,2)$，可采用逆变换思路验证：若点$P$经对应变换的逆变换后得到的点在原直线$y=2x+4$上，则该变换满足条件，我们逐个分析4种变换即可。
【解析】
我们逐个验证4种变换：
1. 验证①沿$y$轴翻折：
沿$y$轴翻折的逆变换仍是沿$y$轴翻折，点$P(2,2)$沿$y$轴翻折后得到点$(-2,2)$，代入原直线$y=2x+4$，右边$=2×(-2)+4=0≠2$，点$(-2,2)$不在原直线上，故①不符合。
2. 验证②沿$y=x+2$翻折：
求$P(2,2)$关于直线$y=x+2$的对称点：设对称点为$(a,b)$，两点连线与$y=x+2$垂直（斜率乘积为$-1$），且中点在直线上，列方程：
$\begin{cases}\frac{b-2}{a-2}=-1\\\frac{b+2}{2}=\frac{a+2}{2}+2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=0\\b=4\end{cases}$，对称点为$(0,4)$，代入$y=2x+4$，右边$=2×0+4=4$，点$(0,4)$在原直线上，故②符合。
3. 验证③绕原点顺时针旋转$45°$：
逆变换为绕原点逆时针旋转$45°$，点$P(2,2)$逆时针转$45°$后坐标为$(0,2\sqrt{2})$，代入原直线$y=2x+4$，右边$=0+4=4≠2\sqrt{2}$，不在原直线上，故③不符合。
4. 验证④绕点$(1,-1)$顺时针旋转$90°$：
逆变换为绕$(1,-1)$逆时针旋转$90°$：先将点$P$平移，以$(1,-1)$为原点得坐标$(2-1,2+1)=(1,3)$，逆时针转$90°$得$(-3,1)$，平移回原坐标得$(-3+1,1-1)=(-2,0)$，代入$y=2x+4$，右边$=2×(-2)+4=0$，点$(-2,0)$在原直线上，故④符合。
综上，符合条件的变换有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象变换；图形的翻折；图形的旋转
【点评】
本题考查一次函数与图形变换的结合，解题关键是熟练掌握翻折、旋转的坐标变化规律，通过逆变换验证可以简化计算，避免直接求变换后解析式的复杂运算。
【难度系数】
0.6
