6 (2025·四川攀枝花)已知平面直角坐标系$xOy$，点$A$在该坐标系中的坐标为$(-1,2)$，现将直角坐标系$xOy$绕点$O$按逆时针方向旋转$90°$到$x'Oy'$的位置，则点$A$在新坐标系$x'Oy'$中的坐标为（）

A.$(-1,2)$
B.$(2,1)$
C.$(2,-1)$
D.$(-2,-1)$

6.B

【分析】
本题的核心是区分坐标系旋转与点旋转的关系，我们可以将复杂的坐标系旋转转化为更熟悉的点旋转问题求解：将坐标系绕原点O逆时针旋转90°，等价于保持坐标系不动，把点A绕原点O顺时针旋转90°，旋转后点的坐标就是点A在新坐标系中的坐标。接下来回忆点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，代入原坐标计算即可，也可以通过画图直观验证结果。
【解析】
将坐标系绕O逆时针旋转90°，等价于点A绕O顺时针旋转90°。
点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律为：若点原坐标为$(x,y)$，旋转后坐标为$(y,-x)$。
已知点A原坐标为$(-1,2)$，即$x=-1$，$y=2$，代入变换规律得：
新横坐标为$y=2$，新纵坐标为$-x=-(-1)=1$，因此点A在新坐标系中的坐标为$(2,1)$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题易错点是混淆坐标系旋转和点旋转的方向，只要明确二者旋转方向相反，牢记旋转90°的坐标变换规律即可快速解题，也可通过画图标点的方法直观得到结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.7

7 (2025·河北)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点.若只将正方形EFGH平移，使其内部(不含边界)有且只有A,B,C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为 ()

A.$(\dfrac{7}{5},\dfrac{11}{5})$
B.$(\dfrac{8}{5},\dfrac{23}{10})$
C.$(\dfrac{3}{2},2)$
D.$(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$

（第7题图）
（第8题图）

7.A

【分析】
首先确定原正方形EFGH的顶点坐标和目标整点A、B、C的坐标，平移不改变图形的形状和大小，仅改变位置，因此我们只需根据每个选项给出的平移后E点坐标，确定平移后正方形的位置，判断其内部（不含边界）是否仅包含A、B、C三个整点即可，可通过排除法快速排除错误选项，再验证剩余选项。
【解析】
第一步：确定各点原坐标
原正方形EFGH顶点：$E(1,2)$、$F(-1,1)$、$G(0,-1)$、$H(2,0)$；
正方形OABC的整点：$A(1,0)$、$B(1,1)$、$C(0,1)$。
第二步：逐一分析选项
平移后正方形覆盖范围内可能的整点x在-1到3之间，y在-1到3之间，我们需要保证除A、B、C外其余整点均不在内部（不含边界）：
1. 选项C：平移后$E(\dfrac{3}{2},2)$，纵坐标和原E点相同，平移后正方形边界包含$y=2$，且整点$(2,0)$落入内部，不符合要求，排除；
2. 选项D：平移后$E(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$，平移后正方形向右、向上偏移，整点$(2,1)$会落入内部，不符合要求，排除；
3. 选项B：平移后$E(\dfrac{8}{5},\dfrac{23}{10})$，平移量更大，整点$(2,1)$位于内部，不符合要求，排除；
4. 选项A：平移后$E(\dfrac{7}{5},\dfrac{11}{5})$，平移后正方形的四条边围成的区域内，仅$A(1,0)$、$B(1,1)$、$C(0,1)$三个整点在内部，其余所有整点要么在边界上，要么在正方形外，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
点的平移，正方形的性质，整点判断
【点评】
本题结合平移性质和平面直角坐标系的整点概念考查，解题核心是抓住平移不改变图形形状大小的特点，通过平移后图形的位置判断整点是否在内部，用排除法可有效提高解题效率。
【难度系数】
0.6

8 (2025·四川凉山)如图,将周长为20的$△ ABC$沿$BC$方向平移2个单位长度得$△ DEF$,连接$AD$,则四边形$ABFD$的周长为.

8.24

【分析】
解题时首先回忆平移的性质：图形平移后，对应线段相等，对应点连接的线段长度等于平移距离。第一步先拆解四边形ABFD的周长组成，即AB+BF+FD+DA；第二步将各边和已知条件建立关联：BF可拆分为BC+CF，FD是AC平移后的对应线段故FD=AC，AD、CF均为对应点的连线，长度等于平移距离2；第三步结合△ABC周长为20（即AB+BC+AC=20），将四边形周长的表达式通过等量代换转化为已知量的和，整体代入即可算出结果。
【解析】
解：
∵△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF
∴AD=CF=2，AC=DF
∵△ABC的周长为20
∴AB+BC+AC=20
四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD
又
∵BF=BC+CF
∴周长=AB+BC+CF+DF+AD
将AC=DF、AD=CF=2、AB+BC+AC=20代入上式得：
周长=(AB+BC+AC)+CF+AD=20+2+2=24
【答案】
24
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，核心是利用平移得到相等线段，通过整体代换的思想将未知周长转化为已知条件的组合求解，解题思路清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8

9 (2025·江苏淮安)点$P(-1,1)$沿$y$轴向上平移4个单位长度后点的坐标是。

9.(-1,5)

【分析】
解决这道题首先要明确平面直角坐标系中点的平移规律：当点沿y轴方向平移时，横坐标保持不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则，即向上平移时纵坐标加平移的单位长度，向下平移时纵坐标减平移的单位长度。本题中点P沿y轴向上平移，所以只需固定横坐标，将原纵坐标加上平移的4个单位即可得到新坐标。
【解析】
根据点沿y轴平移的坐标变化规律：沿y轴平移时横坐标不变，纵坐标向上平移加、向下平移减。
已知原点点P的坐标为$(-1,1)$，向上平移4个单位长度：
横坐标保持为$-1$不变，
纵坐标变为$1+4=5$，
因此平移后点的坐标为$(-1,5)$。
【答案】
$(-1,5)$
【知识点】
点的平移规律，平面直角坐标系坐标表示
【点评】
本题是基础类考题，核心考察点在坐标系中平移的坐标变化规律，牢记“左减右加横变，上加下减纵变”的平移口诀即可快速作答，是坐标系相关知识的基础考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

【费马点问题】给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,且A,B,C围成的三角形各内角都小于120°,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置.
【问题解决】(1)常见的解决方法,分两种情况讨论,请补充以下推理过程:

如图1,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP'.
∵△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,
∴PC=P'C,∠PCP'=60°,∴△PCP'为三角形,∴PP'=PC.
∵△APC≌△A'P'C,∴P'A'=PA,∴PA+PB+PC=A'P'+PB+PP'.
由几何公理:可得A'P'+PB+PP'≥A'B,
∴当B,P,P',A在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值.
如图2,PA+PB+PC的最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”,且有∠APC=∠BPC=∠APB=°.
(2)如图3,在△ABC中,三个内角均小于120°,且∠ABC=60°,AB=5,BC=3,若P为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值.
【方法应用】(3)如图4,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知AC=4 km,BC=2√3 km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆.已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为1万元/km,1万元/km,√2万元/km,则总的铺设成本最少是多少万元?

解:(1)等边 两点之间线段最短 120
(2)将△APB 绕点 B 逆时针旋转 60°得到△A'P'B,连接 PP',过点 A'作 A'D⊥BC 交 CB 的延长线于点 D,如图 1.易知当 C,P,P',A'四点在同一条直线上时,PA+PB+PC 取最小值,最小值为 A'C 的长度,此时 P 为△ABC 的“费马点”.
∵∠ABA'=∠ABC=60°,A'B=AB=5,
∴∠A'BD=60°.
∵A'D⊥CD,
∴∠BA'D=30°,
∴BD=1/2 A'B=5/2,
∴CD=CB+BD=11/2,A'D=√(A'B²-BD²)=5√3/2,
∴A'C=√(A'D²+CD²)=7,即 PA+PB+PC 的值为 7.

(3)根据题意可得,总的铺设成本为(PA+PB+√2 PC)万元,
∴当PA+PB+√2 PC 最小时,总铺设成本最低.将△APC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△A'P'C,连接 PP',如图 2,
∴PC=P'C,∠PCP'=90°,AC=A'C=4 km,A'P'=AP,
∴PP'²=PC²+P'C²=√2 PC,易知当 B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PP'取最小值,即 PA+PB+√2 PC 取最小值,其最小值为 A'B 的长.过点 A'作 A'D⊥BC 交 BC 的延长线于点 D.
∵∠ACB=60°,∠ACA'=90°,
∴∠A'CD=30°,
∴A'D=1/2 A'C=2 km,
∴CD=√(A'C²-A'D²)=2√3 km,
∴BD=BC+CD=4√3 km,
∴A'B=√(A'D²+BD²)=2√13 km,
即 PA+PB+√2 PC 的最小值为 2√13 km,
∴总的铺设成本最少是 2√13 万元.

【分析】
本题围绕费马点的定义及应用展开，解题思路如下：
(1) 第一小问根据旋转的性质可得对应边相等、旋转角为60°，即可判定△PCP'的形状；线段和的最小值依据两点之间线段最短的公理推导；当四点共线时，结合等边三角形的内角为60°，即可推出费马点处三个角的度数。
(2) 第二小问求费马点到三顶点距离之和，类比题干的旋转方法，将含PA的三角形绕点B旋转60°，把PA、PB、PC转化为共线时的线段A'C，再通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算A'C的长度即可。
(3) 第三小问是带系数的线段和最值问题，因系数为√2，联想到等腰直角三角形斜边是直角边的√2倍，故将△APC绕点C旋转90°，把√2PC转化为等腰直角三角形的斜边PP'，同样当四点共线时线段和最小，构造直角三角形用勾股定理求出最小值即可。
【解析】
(1)
∵PC=P'C，∠PCP'=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
∴△PCP'为等边三角形；
根据两点之间线段最短，可得折线B-P-P'-A'的长度≥线段A'B的长度；
当B、P、P'、A'共线时，∠P'PC=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°，同理可得∠APC=∠APB=120°。
(2) 将△APB绕点B逆时针旋转60°得到△A'P'B，连接PP'，过点A'作A'D⊥BC交CB的延长线于点D，如图1。
由旋转性质得：△APB≌△A'P'B，∠ABA'=60°，A'B=AB=5，PA=P'A'，PB=P'B，
∴△PBP'为等边三角形，
∴PP'=PB，
∴PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC，根据两点之间线段最短，当C、P、P'、A'四点共线时，和最小，最小值为A'C的长度。
∵∠ABC=60°，∠ABA'=60°，
∴∠A'BD=180°-60°-60°=60°，
在Rt△A'BD中，∠BA'D=90°-60°=30°，
∴BD=½A'B=½×5=5/2，
由勾股定理得A'D=√(A'B²-BD²)=√(5²-(5/2)²)=5√3/2，
∵BC=3，
∴CD=BC+BD=3+5/2=11/2，
在Rt△A'DC中，A'C=√(A'D²+CD²)=√((5√3/2)²+(11/2)²)=7，即PA+PB+PC的值为7。
(3) 由题意得总铺设成本为(PA+PB+√2PC)万元，要使成本最低，需PA+PB+√2PC最小。
将△APC绕点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，连接PP'，如图2，
由旋转性质得：△APC≌△A'P'C，∠PCP'=90°，PC=P'C，AC=A'C=4km，A'P'=PA，
∴△PCP'为等腰直角三角形，
∴PP'=√(PC²+P'C²)=√2 PC，
∴PA+PB+√2PC=A'P'+PB+PP'，根据两点之间线段最短，当B、P、P'、A'四点共线时，和最小，最小值为A'B的长度。
过点A'作A'D⊥BC交BC的延长线于点D，
∵∠ACB=60°，∠ACA'=90°，
∴∠A'CD=180°-60°-90°=30°，
在Rt△A'CD中，A'D=½A'C=½×4=2km，
由勾股定理得CD=√(A'C²-A'D²)=√(4²-2²)=2√3 km，
∵BC=2√3 km，
∴BD=BC+CD=2√3+2√3=4√3 km，
在Rt△A'BD中，A'B=√(A'D²+BD²)=√(2²+(4√3)²)=2√13 km，
即PA+PB+√2PC的最小值为2√13 km，故总铺设成本最少为2√13万元。
【答案】
(1) 等边；两点之间线段最短；120
(2) PA+PB+PC的值为7

(3) 总的铺设成本最少是2√13万元

【知识点】
旋转的性质；等边三角形判定与性质；勾股定理
【点评】
本题以费马点为探究背景，将线段和最值问题通过旋转构造特殊三角形转化为两点之间线段最短的问题，同时结合勾股定理求解线段长度，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握旋转的性质和特殊三角形的边角关系，能根据线段的系数特征选择合适的旋转角度是解题的关键。
【难度系数】
0.5