三、解答题
12 如图，在$□ ABCD$中，BD是对角线，过A，C两点分别作$AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，E，F是垂足，试猜想AE与CF的关系，并证明。

12.解:$AE// CF,AE=CF$.证明如下:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC,\therefore ∠ ADE=∠ CBF.\because AE⊥ BD,CF⊥ BD$，
$\therefore ∠ AED=∠ CFB=90^{\circ },\therefore △ AED≌ △ CFB(\mathrm{AAS}),AE// CF,\therefore AE// CF,AE=CF.$

【分析】
探究两条线段的关系需从位置关系和数量关系两方面考虑：首先观察图形，AE、CF都垂直于BD，可初步猜想二者位置关系为平行；结合平行四边形的特征，猜想二者数量关系为相等。接下来验证猜想：①位置关系可直接由“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得证；②数量关系可通过证明线段所在的三角形全等推导，先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到△AED和△CFB的对应角、对应边相等条件，再用AAS判定两个三角形全等，即可得到对应边AE=CF。
【解析】
解：猜想AE与CF的关系为$AE// CF$且$AE=CF$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$，
∴ $∠ADE=∠CBF$（两直线平行，内错角相等），
∵ $AE⊥BD$，$CF⊥BD$，
∴ $∠AED=∠CFB=90°$，且$AE// CF$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
在$△ AED$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}∠AED=∠CFB \\∠ADE=∠CBF \\AD=BC\end{cases}$
∴ $△ AED≌△ CFB$（AAS），
∴ $AE=CF$，
综上可得$AE// CF$且$AE=CF$。
【答案】
$AE// CF$，$AE=CF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题，重点考查平行四边形性质与全等三角形的综合应用，解题的核心是明确线段关系的探究维度，结合图形特征找到全等三角形的对应判定条件。
【难度系数】
0.8

13 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$为$AB$边上一点,连接$CD$,$E$为$CD$的中点,过点$C$作$CF// BD$,交$BE$的延长线于点$F$,连接$DF$交$AC$于点$G$.
(1)判断四边形$DBCF$的形状,并说明理由;
(2)若$∠ A=30°$,$AC=4\sqrt{3}$,$CF=6$,求$AD$的长.

13.解:(1)四边形 $DBCF$ 是平行四边形. 理由如下:$\because E$ 为 $CD$ 的中点，
$\therefore CE=DE.\because CF// BD,\therefore ∠ CFE=∠ DBE,∠ FCE=∠ BDE.$ 在$△ CEF$ 和$△ DEB$ 中，
$\begin{cases}∠ CFE=∠ DBE,\\∠ FCE=∠ BDE,\therefore △ CEF≌ △ DEB(\mathrm{AAS}),\therefore CF=DB.\mathrm{又}\because CF// DB,\\CE=DE,\end{cases}$
$\therefore$ 四边形 $DBCF$ 是平行四边形.
(2)由(1)知四边形 $DBCF$ 是平行四边形,$\therefore CF=BD=6.$
$\because ∠ ACB=90^{\circ },∠ A=30^{\circ },\therefore AB=2BC.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中,$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$, 设 $BC=x$, 则$AB=2x,\therefore (4\sqrt {3})^{2}+x^{2}=(2x)^{2}$, 解得 $x=4$(负值已舍去)，
$\therefore AB=8,\therefore AD=AB-BD=8-6=2.$

【分析】
(1) 要判断四边形DBCF的形状，已知CF//BD，因此只需证明CF和BD相等即可判定其为平行四边形；结合E是CD中点的条件，可通过证明△CEF与△DEB全等来得到CF=BD。
(2) 由(1)的平行四边形结论可得BD=CF=6，要求AD的长，只需先求出AB的长度，再用AB减去BD即可；在Rt△ACB中，∠A=30°可知AB=2BC，结合AC的长度，利用勾股定理就能求出BC、AB的长度，进而算出AD。
【解析】
(1) 四边形$DBCF$是平行四边形，理由如下：
∵$E$为$CD$的中点，
∴$CE=DE$。
∵$CF// BD$，
∴$∠CFE=∠DBE$，$∠FCE=∠BDE$。
在$△CEF$和$△DEB$中：
$\begin{cases}∠CFE=∠DBE\\∠FCE=∠BDE\\CE=DE\end{cases}$
∴$△CEF≌△DEB(\mathrm{AAS})$，
∴$CF=DB$。
又
∵$CF// DB$，
∴四边形$DBCF$是平行四边形。
(2) 由(1)知四边形$DBCF$是平行四边形，
∴$CF=BD=6$。
∵$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，
∴$AB=2BC$。
设$BC=x$，则$AB=2x$，在$\mathrm{Rt}△ACB$中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AC=4\sqrt{3}$得：
$(4\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$
解得$x=4$（负值已舍去），
∴$AB=2x=8$，
∴$AD=AB-BD=8-6=2$。
【答案】
(1) 四边形$DBCF$是平行四边形；(2) $AD=2$
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题为几何基础综合题，核心考查几何常见的证明与计算逻辑，先通过三角形全等得到边相等，结合平行关系判定平行四边形，再利用直角三角形的边长性质求解线段，解题思路连贯，覆盖的都是几何核心基础考点。
【难度系数】
0.7

14 如图所示，在$□ ABCD$中，EF过对角线AC，BD的交点O.
(1)若$AB=4$，$BC=7$，$OE=3$，则四边形EFCD的周长为.
(2)【拓展设问1】若四边形EFCD的面积为4，则$□ ABCD$的面积为.
(3)【拓展设问2】若$△ DOE$的面积为3，$△ COF$的面积为2，则$□ ABCD$的面积为.

14.(1)17 (2)8 (3)20

【分析】
解决本题首先要利用平行四边形的性质：对角线互相平分、对边相等、是中心对称图形（对角线交点是对称中心），由此可证过中心的直线EF与对边相交形成的△AOE和△COF全等，得到对应边相等、对应面积相等，再结合周长、面积的计算方法逐个求解：
(1) 求四边形EFCD的周长时，将边通过全等转化，把FC换成AE，可得DE+FC=AD，EF=2OE，再加上CD的长度即可求出周长；
(2) 过中心对称点的直线将中心对称图形分成面积相等的两部分，因此平行四边形面积是四边形EFCD面积的2倍；
(3) 先由全等得到△AOE的面积等于△COF的面积，求出△AOD的面积，再利用平行四边形对角线将其分成4个面积相等的三角形，即可求出总面积。
【解析】
解：在$□ ABCD$中，O是对角线AC、BD的交点，
∴$OA=OC$，$AD// BC$，$AB=CD$，$AD=BC$，平行四边形是中心对称图形，O为对称中心，
$∠ OAE=∠ OCF$，又$∠ AOE=∠ COF$，
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$，$AE=CF$，$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
(1) 已知$AB=4$，$BC=7$，$OE=3$，
四边形EFCD的周长$=EF + FC + CD + DE$
$= 2OE + AE + DE + AB$
$= 2×3 + AD + AB$
$= 6 + 7 + 4 = 17$。
(2)
∵EF过对称中心O，
∴四边形EFCD的面积是$□ ABCD$面积的一半，
∵$S_{四边形EFCD}=4$，
∴$S_{□ ABCD}=2×4=8$。
(3)
∵$S_{△ COF}=2$，
∴$S_{△ AOE}=2$，又$S_{△ DOE}=3$，
∴$S_{△ AOD}=S_{△ AOE} + S_{△ DOE}=2+3=5$，
∵平行四边形的对角线互相平分，对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，
∴$S_{□ ABCD}=4× S_{△ AOD}=4×5=20$。
【答案】
(1)17；(2)8；(3)20
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；中心对称的性质
【点评】
本题围绕平行四边形的性质展开考查，解题的核心是抓住平行四边形对角线交点为对称中心这一特点，通过全等三角形实现边和面积的转化，是平行四边形部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7

15 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD=12 cm,BC=15 cm,点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动,到点D即停止.点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动,到点B即停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示:AP= cm,DP= cm,BQ= cm,CQ= cm.
(2)当t为何值时,四边形APQB是平行四边形?
(3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?

15.解:(1)$t\quad (12-t)\quad (15-2t)\quad 2t$
(2)根据题意,得 $AP=t\ \mathrm{cm},CQ=2t\ \mathrm{cm},PD=(12-t)\mathrm{cm},BQ=(15-2t)\mathrm{cm}.$
$\because AD// BC,\therefore$ 当 $AP=BQ$ 时, 四边形 $APQB$ 是平行四边形，
$\therefore t=15-2t$, 解得 $t=5,\therefore$ 当 $t=5$ 时, 四边形 $APQB$ 是平行四边形.
(3)$\because AD// BC$, 即 $PD// CQ$，
$\therefore$ 当 $PD=QC$ 时, 四边形 $PDCQ$ 是平行四边形，
即 $12-t=2t$, 解得 $t=4$，
$\therefore$ 当 $t=4$ 时, 四边形 $PDCQ$ 是平行四边形.

【分析】
(1) 根据行程公式“路程=速度×时间”可直接得出AP、CQ的长度，再用对应线段的总长度减去已运动的长度即可得到DP、BQ的长度；(2) 已知AD//BC，要判定四边形APQB是平行四边形，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，只需满足AP=BQ，列方程求解即可；(3) 同理，PD与CQ互相平行，要判定四边形PDCQ是平行四边形，只需满足PD=CQ，列方程求解即可，注意验证解是否符合动点的运动范围。
【解析】
(1) 点P运动速度为1 cm/s，运动时间为t s，因此$AP=1× t=t\ \mathrm{cm}$；AD总长为12 cm，因此$DP=AD-AP=(12-t)\ \mathrm{cm}$；点Q运动速度为2 cm/s，运动时间为t s，因此$CQ=2× t=2t\ \mathrm{cm}$；BC总长为15 cm，因此$BQ=BC-CQ=(15-2t)\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because AD// BC$，即$AP// BQ$
$\therefore$ 当$AP=BQ$时，四边形APQB是平行四边形
列方程得：$t=15-2t$
解得$t=5$，此时$AP=5\ \mathrm{cm}＜12\ \mathrm{cm}$，$BQ=5\ \mathrm{cm}＜15\ \mathrm{cm}$，符合运动要求。
(3) $\because AD// BC$，即$PD// CQ$
$\therefore$ 当$PD=CQ$时，四边形PDCQ是平行四边形
列方程得：$12-t=2t$
解得$t=4$，此时$PD=8\ \mathrm{cm}＞0$，$CQ=8\ \mathrm{cm}＜15\ \mathrm{cm}$，符合运动要求。
【答案】
(1) $t$；$12-t$；$15-2t$；$2t$
(2) $t=5$
(3) $t=4$
【知识点】
列代数式；平行四边形的判定；一元一次方程的应用
【点评】
本题是动点问题与平行四边形判定结合的基础题型，解题核心是将几何中对边相等的关系转化为代数方程求解，解题时要注意结合动点的运动范围验证解的合理性。
【难度系数】
0.7