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5 如图,在$□ ABCD$中,$∠ DBC=45°,DE⊥ BC$于点$E,BF⊥ CD$于点$F,DE,BF$相交于点$H$,延长$BF$交$AD$的延长线于点$G$.下列结论:①$BD=\sqrt{2}BE$;②$∠ A=∠ BHE$;③$AB=BH$;④$△ BCF≌△ DCE$;⑤$DE+EC=AD$.其中正确的结论有 （
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
（第5题图）
（第6题图）
（第7题图）
B
）A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
（第5题图）
（第6题图）
（第7题图）
答案
5.B
解析
【分析】
解题时结合平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定，逐个验证5个结论是否成立：1.先判断△DBE的形状，验证结论①；2.利用同角的余角相等结合平行四边形对角相等的性质，验证结论②；3.证明△BEH≌△DEC，结合平行四边形对边相等的性质验证结论③；4.分析△BCF和△DCE的边、角条件，判断是否满足全等要求，验证结论④；5.通过线段等量代换结合平行四边形对边相等的性质，验证结论⑤。
【解析】
解：逐个分析各结论：
①
∵DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，可得BE=DE，由勾股定理得$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{2}BE$，故①正确；
②
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠HBE+∠BHE=90°，∠HBE+∠C=90°，则∠BHE=∠C。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，因此∠A=∠BHE，故②正确；
③在△BEH和△DEC中：$\{\begin{array}{l}∠BEH=∠DEC=90°\\ BE=DE\\ ∠BHE=∠C\end{array} $，
∴△BEH≌△DEC（ASA），得BH=CD。
∵平行四边形ABCD中AB=CD，
∴AB=BH，故③正确；
④△BCF和△DCE中，∠BFC=∠DEC=90°，∠C为公共角，仅能证明两三角形相似，平行四边形邻边BC和CD不一定相等，没有对应边相等的条件，无法证明全等，故④错误；
⑤
∵平行四边形ABCD中AD=BC，又BC=BE+EC，且等腰直角△BDE中BE=DE，
∴BC=DE+EC，即DE+EC=AD，故⑤正确。
综上，正确的结论为①②③⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为平行四边形综合题，需要熟练掌握特殊三角形的性质和全等三角形的判定方法，逐一验证结论，要注意平行四边形邻边不一定相等的特点，避免误判结论④。
【难度系数】
0.6
解题时结合平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定，逐个验证5个结论是否成立：1.先判断△DBE的形状，验证结论①；2.利用同角的余角相等结合平行四边形对角相等的性质，验证结论②；3.证明△BEH≌△DEC，结合平行四边形对边相等的性质验证结论③；4.分析△BCF和△DCE的边、角条件，判断是否满足全等要求，验证结论④；5.通过线段等量代换结合平行四边形对边相等的性质，验证结论⑤。
【解析】
解：逐个分析各结论：
①
∵DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，可得BE=DE，由勾股定理得$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{2}BE$，故①正确；
②
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠HBE+∠BHE=90°，∠HBE+∠C=90°，则∠BHE=∠C。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，因此∠A=∠BHE，故②正确；
③在△BEH和△DEC中：$\{\begin{array}{l}∠BEH=∠DEC=90°\\ BE=DE\\ ∠BHE=∠C\end{array} $，
∴△BEH≌△DEC（ASA），得BH=CD。
∵平行四边形ABCD中AB=CD，
∴AB=BH，故③正确；
④△BCF和△DCE中，∠BFC=∠DEC=90°，∠C为公共角，仅能证明两三角形相似，平行四边形邻边BC和CD不一定相等，没有对应边相等的条件，无法证明全等，故④错误；
⑤
∵平行四边形ABCD中AD=BC，又BC=BE+EC，且等腰直角△BDE中BE=DE，
∴BC=DE+EC，即DE+EC=AD，故⑤正确。
综上，正确的结论为①②③⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为平行四边形综合题，需要熟练掌握特殊三角形的性质和全等三角形的判定方法，逐一验证结论，要注意平行四边形邻边不一定相等的特点，避免误判结论④。
【难度系数】
0.6
6 如图，在$□ ABCD$中，$BF$平分$∠ ABC$交$AD$于点$F$，$CE$平分$∠ BCD$交$AD$于点$E$，$BC=5$，$EF=1$，则$AB$的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线定义和平行线的性质，推导出等腰三角形，得到AF=AB、DE=CD，再根据AB=CD得出AF=DE，最后结合AD的长度及EF的长度建立等量关系计算AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5，AB=CD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
又
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
同理，CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴CD=DE，
又
∵AB=CD，
∴AF=DE=AB，
观察线段AD的组成可知：AD=AF + DE - EF = 2AB - EF，
将AD=5，EF=1代入得：
$5 = 2AB - 1$，
解得$AB=3$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形性质与等腰三角形判定的综合题，解题关键是掌握“平行线+角平分线得等腰三角形”这一常用几何模型，结合线段的和差关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线定义和平行线的性质，推导出等腰三角形，得到AF=AB、DE=CD，再根据AB=CD得出AF=DE，最后结合AD的长度及EF的长度建立等量关系计算AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5，AB=CD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
又
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
同理，CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴CD=DE，
又
∵AB=CD，
∴AF=DE=AB，
观察线段AD的组成可知：AD=AF + DE - EF = 2AB - EF，
将AD=5，EF=1代入得：
$5 = 2AB - 1$，
解得$AB=3$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形性质与等腰三角形判定的综合题，解题关键是掌握“平行线+角平分线得等腰三角形”这一常用几何模型，结合线段的和差关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
7 如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q.若$S_{△ APD}=15\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ BQC}=25\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为（
A.$30\ \mathrm{cm}^2$
B.$35\ \mathrm{cm}^2$
C.$40\ \mathrm{cm}^2$
D.$45\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$30\ \mathrm{cm}^2$
B.$35\ \mathrm{cm}^2$
C.$40\ \mathrm{cm}^2$
D.$45\ \mathrm{cm}^2$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时可利用平行四边形中同底等高三角形面积相等的性质转化面积。首先作辅助线连接EF，先观察△ADE与△AFE：二者同底AE，高都等于平行四边形AB、CD边的间距，面积相等，两个三角形同时减去公共部分△APE的面积，可得△APD和△EPF面积相等；同理可推出△BQC和△EQF面积相等，阴影部分面积就是这两个三角形的面积和，直接相加即可得到结果。
【解析】
解：连接EF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴△ADE和△AFE同底AE，高均为平行线AB与CD之间的距离，
∴$S_{△ ADE}=S_{△ AFE}$，
等式两边同时减去公共部分$△ APE$的面积，得：
$S_{△ ADE}-S_{△ APE}=S_{△ AFE}-S_{△ APE}$，即$S_{△ APD}=S_{△ EPF}=15\ \mathrm{cm}^2$。
同理，△BCE和△BFE同底BE，高为平行线AB与CD之间的距离，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BFE}$，
等式两边同时减去公共部分$△ BQE$的面积，得：
$S_{△ BCE}-S_{△ BQE}=S_{△ BFE}-S_{△ BQE}$，即$S_{△ BQC}=S_{△ EQF}=25\ \mathrm{cm}^2$。
∴阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ EPF}+S_{△ EQF}=15+25=40\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；同底等高三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积转化类题型，解题关键是通过作辅助线EF，利用同底等高三角形面积相等的性质，将未知的阴影部分面积转化为已知的两个三角形面积之和，解题时要注意积累面积转化的常用技巧。
【难度系数】
0.65
解题时可利用平行四边形中同底等高三角形面积相等的性质转化面积。首先作辅助线连接EF，先观察△ADE与△AFE：二者同底AE，高都等于平行四边形AB、CD边的间距，面积相等，两个三角形同时减去公共部分△APE的面积，可得△APD和△EPF面积相等；同理可推出△BQC和△EQF面积相等，阴影部分面积就是这两个三角形的面积和，直接相加即可得到结果。
【解析】
解：连接EF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴△ADE和△AFE同底AE，高均为平行线AB与CD之间的距离，
∴$S_{△ ADE}=S_{△ AFE}$，
等式两边同时减去公共部分$△ APE$的面积，得：
$S_{△ ADE}-S_{△ APE}=S_{△ AFE}-S_{△ APE}$，即$S_{△ APD}=S_{△ EPF}=15\ \mathrm{cm}^2$。
同理，△BCE和△BFE同底BE，高为平行线AB与CD之间的距离，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BFE}$，
等式两边同时减去公共部分$△ BQE$的面积，得：
$S_{△ BCE}-S_{△ BQE}=S_{△ BFE}-S_{△ BQE}$，即$S_{△ BQC}=S_{△ EQF}=25\ \mathrm{cm}^2$。
∴阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ EPF}+S_{△ EQF}=15+25=40\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；同底等高三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积转化类题型，解题关键是通过作辅助线EF，利用同底等高三角形面积相等的性质，将未知的阴影部分面积转化为已知的两个三角形面积之和，解题时要注意积累面积转化的常用技巧。
【难度系数】
0.65
8 如图，将$□ ABCD$沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F.已知$∠ ABC=80°$，$∠ ACE=2∠ ECD$，$FC=a$，$FD=b$，则$□ ABCD$的周长为 （
A.$4a+4b$
B.$4a+2b$
C.$2a+b$
D.$2a+2b$
（第8题图）
（第11题图）
B
）A.$4a+4b$
B.$4a+2b$
C.$2a+b$
D.$2a+2b$
（第8题图）
（第11题图）
答案
8.B
解析
【分析】首先利用平行四边形的性质得到对边平行、对角相等，再结合翻折前后对应角相等，推导出∠DAC=∠ACE，得到AF=FC=a，进而得到AD的长度；再通过设未知角，结合三角形外角性质和内角和定理列方程求出∠ECD的度数，推导得出CD=FC=a，最后代入平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=80°，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，∠D=∠ABC=80°，
∴∠DAC=∠ACB。
由翻折的性质可知：∠ACB=∠ACE，
∴∠DAC=∠ACE，
∴AF=FC=a，
∴AD=AF+FD=a+b。
设∠ECD=x，则∠ACE=2∠ECD=2x，
∴∠ACB=∠ACE=2x，∠DAC=2x。
∵∠AFC是△DFC的外角，
∴∠AFC=∠D+∠FCD=80°+x。
在△AFC中，∠FAC=∠FCA=2x，由三角形内角和为180°得：
∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=180°-4x，
∴80°+x=180°-4x，
解得x=20°，即∠FCD=20°，
∴在△DFC中，∠DFC=180°-∠D-∠FCD=180°-80°-20°=80°，
∴∠DFC=∠D，
∴CD=FC=a。
∴平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=2[(a+b)+a]=4a+2b。
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】本题综合考查了平行四边形、翻折变换和等腰三角形的相关知识，解题关键是利用翻折的性质找到等角，结合等腰三角形的判定得到相等的线段，再通过角度计算推导出CD的长度，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】0.6
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=80°，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，∠D=∠ABC=80°，
∴∠DAC=∠ACB。
由翻折的性质可知：∠ACB=∠ACE，
∴∠DAC=∠ACE，
∴AF=FC=a，
∴AD=AF+FD=a+b。
设∠ECD=x，则∠ACE=2∠ECD=2x，
∴∠ACB=∠ACE=2x，∠DAC=2x。
∵∠AFC是△DFC的外角，
∴∠AFC=∠D+∠FCD=80°+x。
在△AFC中，∠FAC=∠FCA=2x，由三角形内角和为180°得：
∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=180°-4x，
∴80°+x=180°-4x，
解得x=20°，即∠FCD=20°，
∴在△DFC中，∠DFC=180°-∠D-∠FCD=180°-80°-20°=80°，
∴∠DFC=∠D，
∴CD=FC=a。
∴平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=2[(a+b)+a]=4a+2b。
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】本题综合考查了平行四边形、翻折变换和等腰三角形的相关知识，解题关键是利用翻折的性质找到等角，结合等腰三角形的判定得到相等的线段，再通过角度计算推导出CD的长度，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】0.6
9 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。如果AB//CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是
AB=CD(答案不唯一)
。（写出一种情况即可）答案
9.$AB=CD$(答案不唯一)
解析
【分析】
已知四边形ABCD中已有AB//CD的条件，要使四边形成为平行四边形，我们可以结合平行四边形的判定定理来匹配可添加的条件：若用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定规则，可添加AB=CD；若用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定规则，可添加AD//BC，还可结合对角线互相平分的判定规则添加对应条件，任选其一即可。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知AB//CD，若添加条件AB=CD，就满足上述判定规则，可直接得出四边形ABCD是平行四边形。此外添加AD//BC、OA=OC、OB=OD等符合判定逻辑的条件也可，任选一种即可。
【答案】
AB=CD（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，考查对平行四边形判定定理的灵活运用，只要结合已知条件添加符合判定逻辑的条件都正确，解题时优先选择最直观、最简单的条件填写即可。
【难度系数】
0.9
已知四边形ABCD中已有AB//CD的条件，要使四边形成为平行四边形，我们可以结合平行四边形的判定定理来匹配可添加的条件：若用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定规则，可添加AB=CD；若用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定规则，可添加AD//BC，还可结合对角线互相平分的判定规则添加对应条件，任选其一即可。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知AB//CD，若添加条件AB=CD，就满足上述判定规则，可直接得出四边形ABCD是平行四边形。此外添加AD//BC、OA=OC、OB=OD等符合判定逻辑的条件也可，任选一种即可。
【答案】
AB=CD（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，考查对平行四边形判定定理的灵活运用，只要结合已知条件添加符合判定逻辑的条件都正确，解题时优先选择最直观、最简单的条件填写即可。
【难度系数】
0.9
10 在$□ ABCD$中，$AD=BD$，$BE$是边$AD$上的高，$∠ EBD=40°$，则$∠ A$的度数为
65°或25°
。答案
10.$65°$或$25°$
解析
【分析】
本题需要分类讨论垂足E的位置：高BE的垂足可能在线段AD上，也可能在线段AD的延长线上。首先在Rt△BED中利用直角三角形两锐角互余求出∠BDE的度数，再结合AD=BD可知△ABD为等腰三角形，最后利用等腰三角形等边对等角、三角形内角和定理即可计算出∠A的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当垂足E在线段AD上时
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=40°，则∠EDB=90°-∠EBD=50°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
根据三角形内角和为180°，得：
∠A=(180°-∠ADB)÷2=(180°-50°)÷2=65°
情况2：当垂足E在线段AD的延长线上时
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=40°，则∠EDB=90°-∠EBD=50°
此时∠ADB=180°-∠EDB=130°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
根据三角形内角和为180°，得：
∠A=(180°-∠ADB)÷2=(180°-130°)÷2=25°
综上，∠A的度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
直角三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略垂足落在AD延长线上的情况，导致漏解，解题时要结合高的定义全面考虑所有可能的位置，分类讨论求解。
【难度系数】
0.6
本题需要分类讨论垂足E的位置：高BE的垂足可能在线段AD上，也可能在线段AD的延长线上。首先在Rt△BED中利用直角三角形两锐角互余求出∠BDE的度数，再结合AD=BD可知△ABD为等腰三角形，最后利用等腰三角形等边对等角、三角形内角和定理即可计算出∠A的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当垂足E在线段AD上时
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=40°，则∠EDB=90°-∠EBD=50°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
根据三角形内角和为180°，得：
∠A=(180°-∠ADB)÷2=(180°-50°)÷2=65°
情况2：当垂足E在线段AD的延长线上时
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=40°，则∠EDB=90°-∠EBD=50°
此时∠ADB=180°-∠EDB=130°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
根据三角形内角和为180°，得：
∠A=(180°-∠ADB)÷2=(180°-130°)÷2=25°
综上，∠A的度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
直角三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略垂足落在AD延长线上的情况，导致漏解，解题时要结合高的定义全面考虑所有可能的位置，分类讨论求解。
【难度系数】
0.6
11 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,BC=6,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,Q为CD上一点,那么PQ+CQ的最小值为
3
.答案
11.3
解析
【分析】
本题是轴对称最短路径类的求值题，解题思路如下：首先判断梯形类型，由AD//BC且AB=CD可确定这是等腰梯形，直线MN是它的对称轴，因此点C和点B关于MN对称；接下来利用轴对称性质转化待求线段，将求PQ+CQ的最小值问题，结合垂线段最短的性质，转化为求最短的垂线段长度；最后结合已知条件BC=6即可求出最小值。
【解析】
1. 判定梯形类型：
∵AD//BC，AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形。
2. 利用轴对称性质：
∵直线MN是等腰梯形ABCD的对称轴，
∴点B与点C关于直线MN对称。
3. 求最小值：根据垂线段最短的性质，过B作CD的垂线，与MN交于点P、与CD交于点Q时，PQ+CQ取得最小值，结合BC=6，可求得最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
等腰梯形的性质，轴对称的应用，最短路径问题
【点评】
本题结合等腰梯形的特征考查最短路径的求解，核心是通过轴对称转化线段，再利用垂线段最短的性质得到最小值，是几何最值类的基础典型题。
【难度系数】
0.6
本题是轴对称最短路径类的求值题，解题思路如下：首先判断梯形类型，由AD//BC且AB=CD可确定这是等腰梯形，直线MN是它的对称轴，因此点C和点B关于MN对称；接下来利用轴对称性质转化待求线段，将求PQ+CQ的最小值问题，结合垂线段最短的性质，转化为求最短的垂线段长度；最后结合已知条件BC=6即可求出最小值。
【解析】
1. 判定梯形类型：
∵AD//BC，AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形。
2. 利用轴对称性质：
∵直线MN是等腰梯形ABCD的对称轴，
∴点B与点C关于直线MN对称。
3. 求最小值：根据垂线段最短的性质，过B作CD的垂线，与MN交于点P、与CD交于点Q时，PQ+CQ取得最小值，结合BC=6，可求得最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
等腰梯形的性质，轴对称的应用，最短路径问题
【点评】
本题结合等腰梯形的特征考查最短路径的求解，核心是通过轴对称转化线段，再利用垂线段最短的性质得到最小值，是几何最值类的基础典型题。
【难度系数】
0.6
