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1. 下列计算正确的是 （
A.$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{3}-\sqrt{3}=6$
C.$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}+\sqrt{6}=\sqrt{11}$
A
）A.$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{3}-\sqrt{3}=6$
C.$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}+\sqrt{6}=\sqrt{11}$
答案
1.A
解析
【分析】
这是一道二次根式运算的正误判断题，解题时需结合二次根式的运算规则，逐一验证每个选项的计算是否正确。首先回忆相关运算规则：①二次根式化简：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，通常要将结果化为最简二次根式；②二次根式加减：只有同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；③二次根式乘法：带系数的二次根式相乘时，系数与系数相乘，根号部分按照$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$3\sqrt{\frac{1}{3}}=3×\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，计算正确。
选项B：$6\sqrt{3}-\sqrt{3}$是同类二次根式相减，合并后为$(6-1)\sqrt{3}=5\sqrt{3}≠6$，计算错误。
选项C：$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=(2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=6×3=18≠6\sqrt{3}$，计算错误。
选项D：$\sqrt{5}$和$\sqrt{6}$不是同类二次根式，无法直接合并相加，$\sqrt{5}+\sqrt{6}≠\sqrt{11}$，计算错误。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简、二次根式加减运算、二次根式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算考查题，核心是对二次根式各类运算规则的掌握，解题时要注意区分不同运算的要求，避免出现“根号内直接相加”“乘法漏算根号乘积”这类常见错误。
【难度系数】
0.85
这是一道二次根式运算的正误判断题，解题时需结合二次根式的运算规则，逐一验证每个选项的计算是否正确。首先回忆相关运算规则：①二次根式化简：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，通常要将结果化为最简二次根式；②二次根式加减：只有同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；③二次根式乘法：带系数的二次根式相乘时，系数与系数相乘，根号部分按照$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$3\sqrt{\frac{1}{3}}=3×\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，计算正确。
选项B：$6\sqrt{3}-\sqrt{3}$是同类二次根式相减，合并后为$(6-1)\sqrt{3}=5\sqrt{3}≠6$，计算错误。
选项C：$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=(2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=6×3=18≠6\sqrt{3}$，计算错误。
选项D：$\sqrt{5}$和$\sqrt{6}$不是同类二次根式，无法直接合并相加，$\sqrt{5}+\sqrt{6}≠\sqrt{11}$，计算错误。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简、二次根式加减运算、二次根式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算考查题，核心是对二次根式各类运算规则的掌握，解题时要注意区分不同运算的要求，避免出现“根号内直接相加”“乘法漏算根号乘积”这类常见错误。
【难度系数】
0.85
2. 下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是 (
A.6,8,10
B.8,15,17
C.$1,\sqrt{3},2$
D.$2,2,2\sqrt{3}$
D
)A.6,8,10
B.8,15,17
C.$1,\sqrt{3},2$
D.$2,2,2\sqrt{3}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路为：要判断三条线段能否构成直角三角形，首先找出每组数中的最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可以构成直角三角形，反之则不能，我们只需逐个验证四个选项即可得出答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边长$a,b,c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，逐个验证选项：
A. 最长边为10，$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
B. 最长边为17，$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
C. 最长边为2，$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
D. 最长边为$2\sqrt{3}$，$2^2+2^2=4+4=8$，$(2\sqrt{3})^2=4×3=12$，$8≠12$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理的使用规则，验证时要先确定最长边，避免因边长顺序搞错出现判断错误，涉及二次根式的平方运算时要注意运算规范，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路为：要判断三条线段能否构成直角三角形，首先找出每组数中的最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可以构成直角三角形，反之则不能，我们只需逐个验证四个选项即可得出答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边长$a,b,c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，逐个验证选项：
A. 最长边为10，$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
B. 最长边为17，$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
C. 最长边为2，$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
D. 最长边为$2\sqrt{3}$，$2^2+2^2=4+4=8$，$(2\sqrt{3})^2=4×3=12$，$8≠12$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理的使用规则，验证时要先确定最长边，避免因边长顺序搞错出现判断错误，涉及二次根式的平方运算时要注意运算规范，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
3.某小组六位同学的身高数据(单位:cm)为:155,162,173,162,17●,160,组长在分析时,发现其中一个数据的个位数被墨水污染了,则以下统计量不受影响的是 (
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.上四分位数
B
)A.平均数
B.中位数
C.众数
D.上四分位数
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先明确各统计量的计算规则，第一步先确定被污染数据的取值范围：被污染的数据是17开头，因此数值在170~179之间，一定大于162，排序后只会位于第5位或第6位，不会改变前4个数据的顺序。接下来逐个验证各统计量是否受影响：1.平均数与所有数据的总和相关，被污染数据变化会导致总和变化，因此平均数改变；2.6个数据的中位数是排序后第3、4个数据的平均数，前4个数据固定为155、160、162、162，第3、4位都是162，因此中位数固定为162，不受影响；3.众数是出现次数最多的数，若被污染数据的个位数是3，则173出现2次，此时众数为162和173，与个位数不是3时的众数（仅162）不同，因此众数可能变化；4.上四分位数对应排序后第5个数据，被污染数据的位置变化会导致第5个数据改变，因此上四分位数改变。综上即可得出答案。
【解析】
首先将已知的5个明确数据从小到大排序：155，160，162，162，173，被污染的数据为17●，取值范围是170~179，因此它排序后只能位于第5位或第6位。
选项A：平均数=所有数据之和÷6，被污染数据变化会使总和改变，因此平均数受影响，排除A；
选项B：6个数据的中位数是排序后第3个和第4个数据的平均数，前4个数据固定为155、160、162、162，第3、4位都是162，因此中位数=(162+162)÷2=162，不受污染数据影响，符合要求；
选项C：若被污染数据个位数为3，即该数为173，此时162和173都出现2次，众数为两个；若个位数不为3，只有162出现2次，众数仅为162，因此众数受影响，排除C；
选项D：6个数据的上四分位数是排序后第5个数据，当被污染数据＜173时，第5个数据是被污染数；当被污染数据≥173时，第5个数据是173，因此上四分位数受影响，排除D。
【答案】
B
【知识点】
统计量的含义，中位数计算，众数计算
【点评】
本题考查不同统计量的影响因素，解题核心是先锁定被污染数据的取值和排序位置，再结合各统计量的计算规则逐一排查，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
解题时先明确各统计量的计算规则，第一步先确定被污染数据的取值范围：被污染的数据是17开头，因此数值在170~179之间，一定大于162，排序后只会位于第5位或第6位，不会改变前4个数据的顺序。接下来逐个验证各统计量是否受影响：1.平均数与所有数据的总和相关，被污染数据变化会导致总和变化，因此平均数改变；2.6个数据的中位数是排序后第3、4个数据的平均数，前4个数据固定为155、160、162、162，第3、4位都是162，因此中位数固定为162，不受影响；3.众数是出现次数最多的数，若被污染数据的个位数是3，则173出现2次，此时众数为162和173，与个位数不是3时的众数（仅162）不同，因此众数可能变化；4.上四分位数对应排序后第5个数据，被污染数据的位置变化会导致第5个数据改变，因此上四分位数改变。综上即可得出答案。
【解析】
首先将已知的5个明确数据从小到大排序：155，160，162，162，173，被污染的数据为17●，取值范围是170~179，因此它排序后只能位于第5位或第6位。
选项A：平均数=所有数据之和÷6，被污染数据变化会使总和改变，因此平均数受影响，排除A；
选项B：6个数据的中位数是排序后第3个和第4个数据的平均数，前4个数据固定为155、160、162、162，第3、4位都是162，因此中位数=(162+162)÷2=162，不受污染数据影响，符合要求；
选项C：若被污染数据个位数为3，即该数为173，此时162和173都出现2次，众数为两个；若个位数不为3，只有162出现2次，众数仅为162，因此众数受影响，排除C；
选项D：6个数据的上四分位数是排序后第5个数据，当被污染数据＜173时，第5个数据是被污染数；当被污染数据≥173时，第5个数据是173，因此上四分位数受影响，排除D。
【答案】
B
【知识点】
统计量的含义，中位数计算，众数计算
【点评】
本题考查不同统计量的影响因素，解题核心是先锁定被污染数据的取值和排序位置，再结合各统计量的计算规则逐一排查，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点.若∠B=36°，则∠BCD的度数为 （
A.72°
B.60°
C.44°
D.36°
D
）A.72°
B.60°
C.44°
D.36°
答案
4.D
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，已知∠B=36°求∠BCD。首先回忆直角三角形的特殊性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此可推得CD=BD，即△BCD为等腰三角形，再根据等腰三角形等边对等角的性质，就能得出∠BCD与∠B相等，直接求出角度。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线性质可得：$CD=BD=\frac{1}{2}AB$，
∴△BCD为等腰三角形，
根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠BCD=∠B，
又
∵∠B=36°，
∴∠BCD=36°。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查三角形基础性质的应用，牢记相关定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
拿到题目先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，已知∠B=36°求∠BCD。首先回忆直角三角形的特殊性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此可推得CD=BD，即△BCD为等腰三角形，再根据等腰三角形等边对等角的性质，就能得出∠BCD与∠B相等，直接求出角度。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线性质可得：$CD=BD=\frac{1}{2}AB$，
∴△BCD为等腰三角形，
根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠BCD=∠B，
又
∵∠B=36°，
∴∠BCD=36°。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查三角形基础性质的应用，牢记相关定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
