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11. 一条轮船顺流航行，每小时行驶24 km，逆流航行，每小时行驶18 km. 为了求轮船在静水中的速度x与水的速度y，你能列出方程组来吗？
答案
11. $\begin{cases} x + y = 24, \\ x - y = 18. \end{cases}$
解析
【分析】
要列出对应的方程组，首先要明确流水行船场景下的速度等量关系：顺流航行时，水流会推动轮船，所以实际行驶速度是轮船静水速度加水流速度；逆流航行时，水流会阻碍轮船，所以实际行驶速度是轮船静水速度减水流速度。题目已经给出顺流、逆流的实际速度，且设定了静水速度为x、水流速度为y，把两个等量关系分别转化为方程后联立，就能得到所求方程组。
【解析】
根据流水行船的速度规律列式：
1. 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，已知顺流速度为24km/h，代入得方程：$x + y = 24$
2. 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度，已知逆流速度为18km/h，代入得方程：$x - y = 18$
将两个方程联立即可得到对应的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x + y = 24, \\ x - y = 18. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，流水行船速度关系
【点评】
本题是流水行船类的基础应用题，解题核心是准确掌握不同航行状态下的速度等量关系，就能快速列出符合要求的方程组，属于基础概念应用类的常考题型。
【难度系数】
0.85
要列出对应的方程组，首先要明确流水行船场景下的速度等量关系：顺流航行时，水流会推动轮船，所以实际行驶速度是轮船静水速度加水流速度；逆流航行时，水流会阻碍轮船，所以实际行驶速度是轮船静水速度减水流速度。题目已经给出顺流、逆流的实际速度，且设定了静水速度为x、水流速度为y，把两个等量关系分别转化为方程后联立，就能得到所求方程组。
【解析】
根据流水行船的速度规律列式：
1. 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，已知顺流速度为24km/h，代入得方程：$x + y = 24$
2. 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度，已知逆流速度为18km/h，代入得方程：$x - y = 18$
将两个方程联立即可得到对应的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x + y = 24, \\ x - y = 18. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，流水行船速度关系
【点评】
本题是流水行船类的基础应用题，解题核心是准确掌握不同航行状态下的速度等量关系，就能快速列出符合要求的方程组，属于基础概念应用类的常考题型。
【难度系数】
0.85
12. 分析问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义找出问题的解. 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1 200件，现有7位工人参与加工这两道工序，应怎样安排人数，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
答案
12. 第一道工序需要4人，第二道工序需要3人.
解析
【分析】
解题时首先确定未知量：安排在第一道工序的人数和第二道工序的人数，共有2个未知量，可设两个未知数。再从题目中提取两个等量关系：①第一道工序人数+第二道工序人数=总人数7人；②第一道工序每天完成总件数=第二道工序每天完成总件数。结合等量关系列二元一次方程组，求解后需验证解是否符合人数为正整数的实际要求，最终得到符合题意的解。
【解析】
解：设安排$x$名工人做第一道工序，$y$名工人做第二道工序。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}x+y=7\\900x=1200y\end{cases}$
先化简第二个方程，两边同时除以300，得：$3x=4y$
由第一个方程变形得：$x=7-y$
将$x=7-y$代入$3x=4y$，得：
$3(7-y)=4y$
$21-3y=4y$
$7y=21$
解得$y=3$
将$y=3$代入$x=7-y$，得$x=7-3=4$
检验：$x=4$、$y=3$均为正整数，符合实际意义；代入第二个方程，左边$900×4=3600$，右边$1200×3=3600$，等式成立。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$
【答案】
第一道工序需要4人，第二道工序需要3人。
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组；实际问题解的验证
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题核心是准确提取题目中的等量关系列方程组，同时要注意实际问题的解必须符合生活常识，是方程应用板块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先确定未知量：安排在第一道工序的人数和第二道工序的人数，共有2个未知量，可设两个未知数。再从题目中提取两个等量关系：①第一道工序人数+第二道工序人数=总人数7人；②第一道工序每天完成总件数=第二道工序每天完成总件数。结合等量关系列二元一次方程组，求解后需验证解是否符合人数为正整数的实际要求，最终得到符合题意的解。
【解析】
解：设安排$x$名工人做第一道工序，$y$名工人做第二道工序。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}x+y=7\\900x=1200y\end{cases}$
先化简第二个方程，两边同时除以300，得：$3x=4y$
由第一个方程变形得：$x=7-y$
将$x=7-y$代入$3x=4y$，得：
$3(7-y)=4y$
$21-3y=4y$
$7y=21$
解得$y=3$
将$y=3$代入$x=7-y$，得$x=7-3=4$
检验：$x=4$、$y=3$均为正整数，符合实际意义；代入第二个方程，左边$900×4=3600$，右边$1200×3=3600$，等式成立。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$
【答案】
第一道工序需要4人，第二道工序需要3人。
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组；实际问题解的验证
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题核心是准确提取题目中的等量关系列方程组，同时要注意实际问题的解必须符合生活常识，是方程应用板块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
13. 用合适的方法解下列方程组：
(1) $\begin{cases} 3(x+y) -4(x-y)=4, \\ \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{x-y}{6}=1; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} a -2b +4c=12, \\ 3a +2b +c=1, \\ 4a -c=7. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 3(x+y) -4(x-y)=4, \\ \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{x-y}{6}=1; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} a -2b +4c=12, \\ 3a +2b +c=1, \\ 4a -c=7. \end{cases}$
答案
13. (1)$\begin{cases} x = \dfrac{17}{15}, \\ y = \dfrac{11}{15}. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} a = 2, \\ b = -3, \\ c = 1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} a = 2, \\ b = -3, \\ c = 1. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 观察方程组可发现$x+y$和$x-y$作为整体重复出现，可采用换元法，设$u=x+y$，$v=x-y$，先将原方程组转化为关于$u$、$v$的二元一次方程组求解，再反求$x$、$y$，能简化计算步骤。
(2) 这是三元一次方程组，观察发现前两个方程中$b$的系数互为相反数，可先将两式相加消去$b$，得到只含$a$、$c$的方程，再和第三个只含$a$、$c$的方程联立，解二元一次方程组得到$a$、$c$的值，最后代入求$b$即可。
【解析】
(1) 令$u=x+y$，$v=x-y$，原方程组可转化为：
$\begin{cases}3u - 4v = 4 \quad ① \\ \dfrac{u}{2} + \dfrac{v}{6} = 1 \quad ②\end{cases}$
将②式两边同乘6去分母，得$3u + v = 6 \quad ③$
用③$-$①得：$5v=2$，解得$v=\dfrac{2}{5}$
把$v=\dfrac{2}{5}$代入③得：$3u+\dfrac{2}{5}=6$，解得$u=\dfrac{28}{15}$
即$\begin{cases}x+y=\dfrac{28}{15} \quad ④ \\ x-y=\dfrac{2}{5} \quad ⑤\end{cases}$
④$+$⑤得：$2x=\dfrac{34}{15}$，解得$x=\dfrac{17}{15}$
④$-$⑤得：$2y=\dfrac{22}{15}$，解得$y=\dfrac{11}{15}$
(2) 标记原方程组三个式子：
$\begin{cases}a - 2b +4c=12 \quad ① \\ 3a +2b +c=1 \quad ② \\ 4a -c=7 \quad ③\end{cases}$
①$+$②消去$b$得：$4a+5c=13 \quad ④$
联立③和④：$\begin{cases}4a -c=7 \quad ③ \\ 4a+5c=13 \quad ④\end{cases}$
④$-$③得：$6c=6$，解得$c=1$
把$c=1$代入③得：$4a-1=7$，解得$a=2$
把$a=2$、$c=1$代入②得：$3×2+2b+1=1$，解得$b=-3$
【答案】
(1)$\begin{cases} x = \dfrac{17}{15}, \\ y = \dfrac{11}{15}. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} a = 2, \\ b = -3, \\ c = 1. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法；三元一次方程组解法；换元法
【点评】
本题核心考察消元思想在解方程组中的应用，解题时可先观察未知数的系数特点，灵活选择换元或加减消元的方法，能有效降低计算量、提高正确率。
【难度系数】
0.7
(1) 观察方程组可发现$x+y$和$x-y$作为整体重复出现，可采用换元法，设$u=x+y$，$v=x-y$，先将原方程组转化为关于$u$、$v$的二元一次方程组求解，再反求$x$、$y$，能简化计算步骤。
(2) 这是三元一次方程组，观察发现前两个方程中$b$的系数互为相反数，可先将两式相加消去$b$，得到只含$a$、$c$的方程，再和第三个只含$a$、$c$的方程联立，解二元一次方程组得到$a$、$c$的值，最后代入求$b$即可。
【解析】
(1) 令$u=x+y$，$v=x-y$，原方程组可转化为：
$\begin{cases}3u - 4v = 4 \quad ① \\ \dfrac{u}{2} + \dfrac{v}{6} = 1 \quad ②\end{cases}$
将②式两边同乘6去分母，得$3u + v = 6 \quad ③$
用③$-$①得：$5v=2$，解得$v=\dfrac{2}{5}$
把$v=\dfrac{2}{5}$代入③得：$3u+\dfrac{2}{5}=6$，解得$u=\dfrac{28}{15}$
即$\begin{cases}x+y=\dfrac{28}{15} \quad ④ \\ x-y=\dfrac{2}{5} \quad ⑤\end{cases}$
④$+$⑤得：$2x=\dfrac{34}{15}$，解得$x=\dfrac{17}{15}$
④$-$⑤得：$2y=\dfrac{22}{15}$，解得$y=\dfrac{11}{15}$
(2) 标记原方程组三个式子：
$\begin{cases}a - 2b +4c=12 \quad ① \\ 3a +2b +c=1 \quad ② \\ 4a -c=7 \quad ③\end{cases}$
①$+$②消去$b$得：$4a+5c=13 \quad ④$
联立③和④：$\begin{cases}4a -c=7 \quad ③ \\ 4a+5c=13 \quad ④\end{cases}$
④$-$③得：$6c=6$，解得$c=1$
把$c=1$代入③得：$4a-1=7$，解得$a=2$
把$a=2$、$c=1$代入②得：$3×2+2b+1=1$，解得$b=-3$
【答案】
(1)$\begin{cases} x = \dfrac{17}{15}, \\ y = \dfrac{11}{15}. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} a = 2, \\ b = -3, \\ c = 1. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法；三元一次方程组解法；换元法
【点评】
本题核心考察消元思想在解方程组中的应用，解题时可先观察未知数的系数特点，灵活选择换元或加减消元的方法，能有效降低计算量、提高正确率。
【难度系数】
0.7
