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14. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + 5y = 8, \\ax - by = 4\end{cases}$与$\begin{cases}ax + by = -8, \\2x + y = 0\end{cases}$的解相同，求$a - b$的值.
答案
14. $a - b = 5$
解析
【分析】
因为两个二元一次方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程。解题时先把不含参数a、b的两个方程联立，解出x、y的公共解，再把x、y代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，就可以计算a-b的结果。
【解析】
解：
∵ 两个方程组的解相同，
∴ x、y同时满足方程$2x+5y=8$和$2x+y=0$，联立得方程组：
$\begin{cases}2x + 5y = 8 ①\\2x + y = 0 ②\end{cases}$
用①-②消去x得：$4y=8$，解得$y=2$。
把$y=2$代入②得：$2x+2=0$，解得$x=-1$。
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$。
把$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$代入$ax-by=4$和$ax+by=-8$，得到关于a、b的方程组：
$\begin{cases}-a - 2b = 4 ③\\-a + 2b = -8 ④\end{cases}$
用③+④消去b得：$-2a=-4$，解得$a=2$。
把$a=2$代入③得：$-2-2b=4$，解得$b=-3$。
∴ $a-b=2-(-3)=5$。
【答案】
$a - b = 5$
【知识点】
1. 二元一次方程组同解问题
2. 加减消元法解方程组
3. 代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组的常考题型，解题核心是利用“同解”的性质先求出公共解，再代入含参数的方程求解参数，重点考察学生对方程组解的定义的理解，解题逻辑清晰，掌握方法后不难得分。
【难度系数】
0.7
因为两个二元一次方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程。解题时先把不含参数a、b的两个方程联立，解出x、y的公共解，再把x、y代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，就可以计算a-b的结果。
【解析】
解：
∵ 两个方程组的解相同，
∴ x、y同时满足方程$2x+5y=8$和$2x+y=0$，联立得方程组：
$\begin{cases}2x + 5y = 8 ①\\2x + y = 0 ②\end{cases}$
用①-②消去x得：$4y=8$，解得$y=2$。
把$y=2$代入②得：$2x+2=0$，解得$x=-1$。
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$。
把$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$代入$ax-by=4$和$ax+by=-8$，得到关于a、b的方程组：
$\begin{cases}-a - 2b = 4 ③\\-a + 2b = -8 ④\end{cases}$
用③+④消去b得：$-2a=-4$，解得$a=2$。
把$a=2$代入③得：$-2-2b=4$，解得$b=-3$。
∴ $a-b=2-(-3)=5$。
【答案】
$a - b = 5$
【知识点】
1. 二元一次方程组同解问题
2. 加减消元法解方程组
3. 代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组的常考题型，解题核心是利用“同解”的性质先求出公共解，再代入含参数的方程求解参数，重点考察学生对方程组解的定义的理解，解题逻辑清晰，掌握方法后不难得分。
【难度系数】
0.7
15. 已知$y=ax^2+bx+c$，当$x=-2$时，$y=9$；当$x=0$时，$y=3$；当$x=2$时，$y=5$，求$a$，$b$，$c$的值。
答案
15. $a = 1, b = -1, c = 3$
解析
【分析】
要确定三个未知系数a、b、c的值，我们可以利用已知的三组x与y的对应值，分别代入二次函数解析式，得到三个关于a、b、c的方程，组成三元一次方程组求解。观察三组取值可发现，当x=0时，x的二次项、一次项均为0，可先直接求出c的值，再将c代入剩余两个方程，将三元一次方程组简化为二元一次方程组，最后用加减消元法求解a、b即可。
【解析】
解：将三组x、y的对应值分别代入$y=ax^2+bx+c$：
1. 当$x=0$，$y=3$时，代入得：
$3=a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=3$。
2. 当$x=-2$，$y=9$时，代入得：
$9=a×(-2)^2 + b×(-2) + 3$，整理得$4a-2b=6$，两边同除以2化简为：$2a - b = 3$ ①。
3. 当$x=2$，$y=5$时，代入得：
$5=a×2^2 + b×2 + 3$，整理得$4a+2b=2$，两边同除以2化简为：$2a + b = 1$ ②。
用①+②消去b：
$(2a - b)+(2a + b)=3+1$，即$4a=4$，解得$a=1$。
将$a=1$代入②式：
$2×1 + b=1$，解得$b=1-2=-1$。
【答案】
$a = 1, b = -1, c = 3$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 三元一次方程组解法
3. 代入求值
【点评】
本题是待定系数法的基础应用，解题时可优先利用x=0这类特殊取值快速求出一个未知量，降低方程组的求解难度，核心是掌握消元法解多元方程组的思路，是后续学习各类函数求解析式的重要基础。
【难度系数】
0.75
要确定三个未知系数a、b、c的值，我们可以利用已知的三组x与y的对应值，分别代入二次函数解析式，得到三个关于a、b、c的方程，组成三元一次方程组求解。观察三组取值可发现，当x=0时，x的二次项、一次项均为0，可先直接求出c的值，再将c代入剩余两个方程，将三元一次方程组简化为二元一次方程组，最后用加减消元法求解a、b即可。
【解析】
解：将三组x、y的对应值分别代入$y=ax^2+bx+c$：
1. 当$x=0$，$y=3$时，代入得：
$3=a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=3$。
2. 当$x=-2$，$y=9$时，代入得：
$9=a×(-2)^2 + b×(-2) + 3$，整理得$4a-2b=6$，两边同除以2化简为：$2a - b = 3$ ①。
3. 当$x=2$，$y=5$时，代入得：
$5=a×2^2 + b×2 + 3$，整理得$4a+2b=2$，两边同除以2化简为：$2a + b = 1$ ②。
用①+②消去b：
$(2a - b)+(2a + b)=3+1$，即$4a=4$，解得$a=1$。
将$a=1$代入②式：
$2×1 + b=1$，解得$b=1-2=-1$。
【答案】
$a = 1, b = -1, c = 3$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 三元一次方程组解法
3. 代入求值
【点评】
本题是待定系数法的基础应用，解题时可优先利用x=0这类特殊取值快速求出一个未知量，降低方程组的求解难度，核心是掌握消元法解多元方程组的思路，是后续学习各类函数求解析式的重要基础。
【难度系数】
0.75
16. 阅读探索
【知识积累】解方程组 $\begin{cases}(a - 1) + 2(b + 2) = 6, \\2(a - 1) + (b + 2) = 6.\end{cases}$
解：设 $a - 1 = x$，$b + 2 = y$，原方程组可变为 $\begin{cases}x + 2y = 6, \\2x + y = 6,\end{cases}$
解方程组，得 $\begin{cases}x = 2, \\y = 2.\end{cases}$ 即 $\begin{cases}a - 1 = 2, \\b + 2 = 2,\end{cases}$ 所以有 $\begin{cases}a = 3, \\b = 0.\end{cases}$
此种解方程组的方法叫换元法.
【拓展提高】运用上述方法解方程组：$\begin{cases}(\dfrac{a}{3} - 1) + 2(\dfrac{b}{5} + 2) = 4, \\2(\dfrac{a}{3} - 1) + (\dfrac{b}{5} + 2) = 5.\end{cases}$
【知识积累】解方程组 $\begin{cases}(a - 1) + 2(b + 2) = 6, \\2(a - 1) + (b + 2) = 6.\end{cases}$
解：设 $a - 1 = x$，$b + 2 = y$，原方程组可变为 $\begin{cases}x + 2y = 6, \\2x + y = 6,\end{cases}$
解方程组，得 $\begin{cases}x = 2, \\y = 2.\end{cases}$ 即 $\begin{cases}a - 1 = 2, \\b + 2 = 2,\end{cases}$ 所以有 $\begin{cases}a = 3, \\b = 0.\end{cases}$
此种解方程组的方法叫换元法.
【拓展提高】运用上述方法解方程组：$\begin{cases}(\dfrac{a}{3} - 1) + 2(\dfrac{b}{5} + 2) = 4, \\2(\dfrac{a}{3} - 1) + (\dfrac{b}{5} + 2) = 5.\end{cases}$
答案
16. $\begin{cases} a = 9, \\ b = -5. \end{cases}$
解析
【分析】
观察待解方程组，发现两个方程中都重复出现$\frac{a}{3}-1$和$\frac{b}{5}+2$这两个整体结构，可参照题干给出的换元法思路，将这两个整体分别设为新的未知数$x$、$y$，把原方程组转化为常见的简单二元一次方程组求解，求出$x$、$y$的值后，再还原得到关于$a$、$b$的一元一次方程，进而求出$a$、$b$的解。
【解析】
解：设$\frac{a}{3}-1=x$，$\frac{b}{5}+2=y$，则原方程组可变形为：
$\begin{cases}x + 2y = 4&① \\2x + y = 5&② \end{cases}$
用加减消元法解这个方程组：
①$×2$，得$2x + 4y = 8$ ③
③$-$②，得$3y = 3$，解得$y=1$
把$y=1$代入②，得$2x + 1 = 5$，解得$x=2$
因此可得$\begin{cases}\frac{a}{3}-1 = 2 \\\frac{b}{5}+2 = 1 \end{cases}$
分别解两个一元一次方程：
$\frac{a}{3}=2+1=3$，解得$a=9$
$\frac{b}{5}=1-2=-1$，解得$b=-5$
【答案】
$\begin{cases} a = 9, \\ b = -5. \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；二元一次方程组求解；一元一次方程求解
【点评】
本题为材料阅读类题型，核心考查换元法的应用，通过将重复出现的复杂结构整体换元，可大幅简化方程组形式，降低计算出错概率。解题的关键是准确识别可换元的整体结构，熟练掌握二元一次方程组和一元一次方程的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
观察待解方程组，发现两个方程中都重复出现$\frac{a}{3}-1$和$\frac{b}{5}+2$这两个整体结构，可参照题干给出的换元法思路，将这两个整体分别设为新的未知数$x$、$y$，把原方程组转化为常见的简单二元一次方程组求解，求出$x$、$y$的值后，再还原得到关于$a$、$b$的一元一次方程，进而求出$a$、$b$的解。
【解析】
解：设$\frac{a}{3}-1=x$，$\frac{b}{5}+2=y$，则原方程组可变形为：
$\begin{cases}x + 2y = 4&① \\2x + y = 5&② \end{cases}$
用加减消元法解这个方程组：
①$×2$，得$2x + 4y = 8$ ③
③$-$②，得$3y = 3$，解得$y=1$
把$y=1$代入②，得$2x + 1 = 5$，解得$x=2$
因此可得$\begin{cases}\frac{a}{3}-1 = 2 \\\frac{b}{5}+2 = 1 \end{cases}$
分别解两个一元一次方程：
$\frac{a}{3}=2+1=3$，解得$a=9$
$\frac{b}{5}=1-2=-1$，解得$b=-5$
【答案】
$\begin{cases} a = 9, \\ b = -5. \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；二元一次方程组求解；一元一次方程求解
【点评】
本题为材料阅读类题型，核心考查换元法的应用，通过将重复出现的复杂结构整体换元，可大幅简化方程组形式，降低计算出错概率。解题的关键是准确识别可换元的整体结构，熟练掌握二元一次方程组和一元一次方程的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
