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5.（古典数学）我国明代数学家程大位(1533—1606)所著《算法统宗》中记录了“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千. 甜果九个十一文，苦果七个四文钱. 试问甜苦果各几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有$ x $个，甜果有$ y $个，则可列二元一次方程组为（
A.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ 7x + 9y = 999 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{7}{4}x + \dfrac{9}{11}y = 999 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ 4x + 11y = 999 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ 7x + 9y = 999 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{7}{4}x + \dfrac{9}{11}y = 999 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ 4x + 11y = 999 \end{cases}$
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要从题干中提取两个核心等量关系，分别对应方程组的两个方程。首先总数量的等量关系很明确：苦果和甜果总数为1000个，四个选项的第一个方程都相同，因此重点推导总钱数对应的方程。我们需要先分别求出单个苦果、单个甜果的价格，再结合“总花费=苦果总花费+甜果总花费”列出第二个方程，对比选项即可选出正确答案。
【解析】
1. 列第一个方程：根据“甜果苦果买一千”，苦果有$x$个，甜果有$y$个，可得$x+y=1000$。
2. 计算两种水果的单价：
已知7个苦果售价4文，因此1个苦果的价格为$\frac{4}{7}$文，$x$个苦果的总花费为$\frac{4}{7}x$文；
已知9个甜果售价11文，因此1个甜果的价格为$\frac{11}{9}$文，$y$个甜果的总花费为$\frac{11}{9}y$文。
3. 列第二个方程：根据总花费为999文，可得$\frac{4}{7}x+\frac{11}{9}y=999$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的实际应用
2. 单价、数量、总价的关系
【点评】
本题以古典数学问题为载体，考查学生从实际问题中提取等量关系、列方程组的能力，解题的易错点是容易混淆两种水果的单价，将分子分母写反，整体侧重基础，能有效检验学生对列方程解应用题的掌握情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要从题干中提取两个核心等量关系，分别对应方程组的两个方程。首先总数量的等量关系很明确：苦果和甜果总数为1000个，四个选项的第一个方程都相同，因此重点推导总钱数对应的方程。我们需要先分别求出单个苦果、单个甜果的价格，再结合“总花费=苦果总花费+甜果总花费”列出第二个方程，对比选项即可选出正确答案。
【解析】
1. 列第一个方程：根据“甜果苦果买一千”，苦果有$x$个，甜果有$y$个，可得$x+y=1000$。
2. 计算两种水果的单价：
已知7个苦果售价4文，因此1个苦果的价格为$\frac{4}{7}$文，$x$个苦果的总花费为$\frac{4}{7}x$文；
已知9个甜果售价11文，因此1个甜果的价格为$\frac{11}{9}$文，$y$个甜果的总花费为$\frac{11}{9}y$文。
3. 列第二个方程：根据总花费为999文，可得$\frac{4}{7}x+\frac{11}{9}y=999$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的实际应用
2. 单价、数量、总价的关系
【点评】
本题以古典数学问题为载体，考查学生从实际问题中提取等量关系、列方程组的能力，解题的易错点是容易混淆两种水果的单价，将分子分母写反，整体侧重基础，能有效检验学生对列方程解应用题的掌握情况。
【难度系数】
0.7
6. 二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 1, \\x + y = 0\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
6. $\begin{cases} x = 1, \\ y = -1 \end{cases}$
解析
【分析】
解这个二元一次方程组可优先选择加减消元法：首先观察两个方程中y的系数都是1，系数相同，因此可以将两个方程相减，消去未知数y，先求出x的值，再将x的值代入任意一个原方程，就能求出y的值，最后得到方程组的解。
【解析】
首先对两个方程进行标记：
$\begin{cases}2x + y = 1&① \\x + y = 0&② \end{cases}$
用①-②消去y，可得：
$(2x + y)-(x + y)=1-0$
化简得：$x=1$
将$x=1$代入方程②，得：
$1 + y = 0$
解得：$y=-1$
因此原方程组的解为$\begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础题型，重点考察对加减消元法的掌握，解题时先观察未知数的系数特点，选择更简便的消元方法即可快速求解，是二元一次方程组部分必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
解这个二元一次方程组可优先选择加减消元法：首先观察两个方程中y的系数都是1，系数相同，因此可以将两个方程相减，消去未知数y，先求出x的值，再将x的值代入任意一个原方程，就能求出y的值，最后得到方程组的解。
【解析】
首先对两个方程进行标记：
$\begin{cases}2x + y = 1&① \\x + y = 0&② \end{cases}$
用①-②消去y，可得：
$(2x + y)-(x + y)=1-0$
化简得：$x=1$
将$x=1$代入方程②，得：
$1 + y = 0$
解得：$y=-1$
因此原方程组的解为$\begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础题型，重点考察对加减消元法的掌握，解题时先观察未知数的系数特点，选择更简便的消元方法即可快速求解，是二元一次方程组部分必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
7. 若$\begin{cases}x=5, \\ y=10, \\ z=-15\end{cases}$是三元一次方程组$\begin{cases}x+y+z=0, \\ 2x - y + z = k, \\ x + 2y - z = 40\end{cases}$的解，则k的值是 ______ .
答案
7. -15
解析
【分析】
三元一次方程组的解是能同时满足方程组中所有方程的未知数的取值。本题已经直接给出方程组的解，要求k的值，不需要求解整个方程组，只需要把已知的x、y、z的取值代入含有k的方程$2x - y + z = k$，通过计算就能得到k的数值。
【解析】
因为$\begin{cases}x=5, \\ y=10, \\ z=-15\end{cases}$是该三元一次方程组的解，所以将其代入方程$2x - y + z = k$可得：
$\begin{aligned}k&=2×5 - 10 + (-15)\\&=10 - 10 -15\\&=-15\end{aligned}$
【答案】
-15
【知识点】
三元一次方程组的解，代入求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对三元一次方程组解的概念的理解，计算时注意负数的运算规则，避免符号出错即可得分。
【难度系数】
0.9
三元一次方程组的解是能同时满足方程组中所有方程的未知数的取值。本题已经直接给出方程组的解，要求k的值，不需要求解整个方程组，只需要把已知的x、y、z的取值代入含有k的方程$2x - y + z = k$，通过计算就能得到k的数值。
【解析】
因为$\begin{cases}x=5, \\ y=10, \\ z=-15\end{cases}$是该三元一次方程组的解，所以将其代入方程$2x - y + z = k$可得：
$\begin{aligned}k&=2×5 - 10 + (-15)\\&=10 - 10 -15\\&=-15\end{aligned}$
【答案】
-15
【知识点】
三元一次方程组的解，代入求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对三元一次方程组解的概念的理解，计算时注意负数的运算规则，避免符号出错即可得分。
【难度系数】
0.9
8. 已知三元一次方程组$\begin{cases}3x + 4z = 23, \\5x + y = 8, \\6x + y + 8z = 49,\end{cases}$ 则$x + y + z =$ ______ .
答案
8. 9
解析
【分析】
要计算x+y+z的值，我们可以先观察方程组的结构特点：第一个方程仅含有x和z，第三个方程中的6x+8z恰好是第一个方程左边的2倍，因此可以先将第一个方程变形后整体代入第三个方程，快速求出y的值，再依次求出x、z的值，最后相加即可得到结果。
【解析】
解：对第一个方程$3x + 4z = 23$两边同时乘2，可得：
$6x + 8z = 46$
将上式代入第三个方程$6x + y + 8z = 49$，得：
$46 + y = 49$，解得$y=3$
把$y=3$代入第二个方程$5x + y = 8$，得：
$5x + 3 = 8$，解得$x=1$
把$x=1$代入第一个方程$3x + 4z = 23$，得：
$3×1 + 4z = 23$，解得$z=5$
因此$x + y + z = 1 + 3 + 5 = 9$
【答案】
9
【知识点】
三元一次方程组求解，代入消元法，代数式求值
【点评】
本题考查三元一次方程组的计算，解题时不需要按常规顺序逐一消元，观察方程的结构特征，采用整体代入的方法可以简化计算步骤，提升解题效率，平时练习要注意培养观察方程特点的习惯。
【难度系数】
0.7
要计算x+y+z的值，我们可以先观察方程组的结构特点：第一个方程仅含有x和z，第三个方程中的6x+8z恰好是第一个方程左边的2倍，因此可以先将第一个方程变形后整体代入第三个方程，快速求出y的值，再依次求出x、z的值，最后相加即可得到结果。
【解析】
解：对第一个方程$3x + 4z = 23$两边同时乘2，可得：
$6x + 8z = 46$
将上式代入第三个方程$6x + y + 8z = 49$，得：
$46 + y = 49$，解得$y=3$
把$y=3$代入第二个方程$5x + y = 8$，得：
$5x + 3 = 8$，解得$x=1$
把$x=1$代入第一个方程$3x + 4z = 23$，得：
$3×1 + 4z = 23$，解得$z=5$
因此$x + y + z = 1 + 3 + 5 = 9$
【答案】
9
【知识点】
三元一次方程组求解，代入消元法，代数式求值
【点评】
本题考查三元一次方程组的计算，解题时不需要按常规顺序逐一消元，观察方程的结构特征，采用整体代入的方法可以简化计算步骤，提升解题效率，平时练习要注意培养观察方程特点的习惯。
【难度系数】
0.7
9.（古典数学）我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉. 下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉. 问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子. 有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子. 问上等、下等稻子每捆各能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打$ x $斗谷子，下等稻子每捆能打$ y $斗谷子. 根据题意可列方程组为.
答案
9. $\begin{cases}3x + 6 = 10y, \\5y + 1 = 2x\end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心是从题干描述中提取两个对应的等量关系，结合题中已给出的未知数设定，将文字描述转化为数学方程即可。首先梳理题意：第一组数量关系为3捆上等稻的总产量加6斗，等于10捆下等稻的总产量；第二组数量关系为5捆下等稻的总产量加1斗，等于2捆上等稻的总产量，分别将未知数代入两组关系就能联立得到方程组。
【解析】
第一步：根据“上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，相当于十捆下等稻子打出来的谷子”，可得等量关系：3捆上等稻产量+6斗=10捆下等稻产量，代入$x$、$y$得方程：$3x+6=10y$；
第二步：根据“下等稻子五捆，打出来的谷子再加一斗，相当于两捆上等稻子打出来的谷子”，可得等量关系：5捆下等稻产量+1斗=2捆上等稻产量，代入$x$、$y$得方程：$5y+1=2x$；
第三步：将两个方程联立，得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}3x + 6 = 10y, \\5y + 1 = 2x\end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组，实际问题等量分析
【点评】
本题以古典数学典籍的问题为背景，考查阅读理解和数量关系转化能力，只要准确理解题意、找准对应等量关系即可正确解题，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
解题的核心是从题干描述中提取两个对应的等量关系，结合题中已给出的未知数设定，将文字描述转化为数学方程即可。首先梳理题意：第一组数量关系为3捆上等稻的总产量加6斗，等于10捆下等稻的总产量；第二组数量关系为5捆下等稻的总产量加1斗，等于2捆上等稻的总产量，分别将未知数代入两组关系就能联立得到方程组。
【解析】
第一步：根据“上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，相当于十捆下等稻子打出来的谷子”，可得等量关系：3捆上等稻产量+6斗=10捆下等稻产量，代入$x$、$y$得方程：$3x+6=10y$；
第二步：根据“下等稻子五捆，打出来的谷子再加一斗，相当于两捆上等稻子打出来的谷子”，可得等量关系：5捆下等稻产量+1斗=2捆上等稻产量，代入$x$、$y$得方程：$5y+1=2x$；
第三步：将两个方程联立，得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}3x + 6 = 10y, \\5y + 1 = 2x\end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组，实际问题等量分析
【点评】
本题以古典数学典籍的问题为背景，考查阅读理解和数量关系转化能力，只要准确理解题意、找准对应等量关系即可正确解题，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
10. 欢欢、乐乐和萌萌三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如下表，则萌萌得分为
欢欢36分
乐乐30分
萌萌
33
分.欢欢36分
乐乐30分
萌萌
33
分答案
10. 33
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先设两个未知数，分别表示投中内环和外环一次的得分，再根据欢欢和乐乐的得分情况列出二元一次方程组，求出内环、外环的单次得分后，结合萌萌的中靶数量即可计算出她的总分。首先先数出三人的中靶情况：欢欢投中内环4次、外环2次，得36分；乐乐投中内环2次、外环4次，得30分；萌萌投中内环3次、外环3次，待求总分。
【解析】
解：设投中内环一次得$x$分，投中外环一次得$y$分。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}4x + 2y = 36 \quad \mathrm{①} \\2x + 4y = 30 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①和②相加，得$6x + 6y = 66$，两边同时除以6可得$x + y = 11$。
萌萌的总分为$3x + 3y = 3(x + y) = 3×11 = 33$（分）。
也可通过消元法先求出$x=7$、$y=4$，再代入计算得总分$3×7+3×4=33$分。
【答案】
33
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合飞镖游戏场景考查二元一次方程组的实际应用，解题的核心是准确识别等量关系列方程组，也可观察方程特征直接整体计算，简化运算步骤，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以先设两个未知数，分别表示投中内环和外环一次的得分，再根据欢欢和乐乐的得分情况列出二元一次方程组，求出内环、外环的单次得分后，结合萌萌的中靶数量即可计算出她的总分。首先先数出三人的中靶情况：欢欢投中内环4次、外环2次，得36分；乐乐投中内环2次、外环4次，得30分；萌萌投中内环3次、外环3次，待求总分。
【解析】
解：设投中内环一次得$x$分，投中外环一次得$y$分。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}4x + 2y = 36 \quad \mathrm{①} \\2x + 4y = 30 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①和②相加，得$6x + 6y = 66$，两边同时除以6可得$x + y = 11$。
萌萌的总分为$3x + 3y = 3(x + y) = 3×11 = 33$（分）。
也可通过消元法先求出$x=7$、$y=4$，再代入计算得总分$3×7+3×4=33$分。
【答案】
33
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合飞镖游戏场景考查二元一次方程组的实际应用，解题的核心是准确识别等量关系列方程组，也可观察方程特征直接整体计算，简化运算步骤，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
