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16. 对于实数$a$，我们规定：用符号$[\sqrt{a}]$表示不大于$\sqrt{a}$的最大整数，称$[\sqrt{a}]$为$a$的根整数，例如，$[9]=3$，$[\sqrt{10}]=3$.
(1) 仿照以上方法计算：$[\sqrt{4}]=$
(2) 若$[\sqrt{x}]=1$，写出满足题意的$x$的整数值
(3) 如果我们对$a$连续求根整数，直到结果为1为止. 例如，对10连续求根整数2次：$[\sqrt{10}]=3→[\sqrt{3}]=1$，这时候结果为1. 对100连续求根整数，
(4) 只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是
(1) 仿照以上方法计算：$[\sqrt{4}]=$
2
；$[\sqrt{26}]=$5
；(2) 若$[\sqrt{x}]=1$，写出满足题意的$x$的整数值
1、2、3
；(3) 如果我们对$a$连续求根整数，直到结果为1为止. 例如，对10连续求根整数2次：$[\sqrt{10}]=3→[\sqrt{3}]=1$，这时候结果为1. 对100连续求根整数，
3
次之后结果为1；(4) 只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是
255
.答案
16. (1)2 5 (2)1、2、3 (3)3 (4)255
解析
【分析】
本题是新定义题型，首先明确核心规则：$[\sqrt{a}]$指不大于$\sqrt{a}$的最大整数，本质是对$\sqrt{a}$向下取整，解题全程紧扣该定义展开：
(1) 分别确定$\sqrt{4}$、$\sqrt{26}$的取值范围，直接找对应最大整数即可；
(2) 根据$[\sqrt{x}]=1$推导$\sqrt{x}$的取值范围，平方后得到x的范围，再取整数解；
(3) 按照连续求根整数的规则逐步计算100的运算过程，统计到结果为1的次数；
(4) 采用倒推法，从第三次运算结果为1反向推导前两次运算输入的最大值，最终得到原数的最大值。
【解析】
(1) $\because \sqrt{4}=2$，不大于2的最大整数是2，$\therefore [\sqrt{4}]=2$；
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{26}＜6$，不大于$\sqrt{26}$的最大整数是5，$\therefore [\sqrt{26}]=5$。
(2) $\because [\sqrt{x}]=1$，根据定义得$1≤ \sqrt{x}＜2$，不等式各项均为非负数，同时平方得$1^2≤ x＜2^2$，即$1≤ x＜4$，则x的整数值为1、2、3。
(3) 对100连续求根整数：
第1次：$[\sqrt{100}]=10$，
第2次：$[\sqrt{10}]=3$，
第3次：$[\sqrt{3}]=1$，
因此3次之后结果为1。
(4) 倒推求解：
① 第3次运算后得1，说明第2次运算的输出m满足$[\sqrt{m}]=1$，且m≠1（否则2次即可得到1），因此$2≤ m＜4$，m最大取3；
② 第2次运算输出最大为3，说明第1次运算的输出n满足$[\sqrt{n}]=3$，因此$3^2≤ n＜4^2$，即$9≤ n＜16$，n最大取15；
③ 第1次运算输出最大为15，说明原数x满足$[\sqrt{x}]=15$，因此$15^2≤ x＜16^2$，即$225≤ x＜256$，x的最大正整数值为255。
【答案】
(1)2；5 (2)1、2、3 (3)3 (4)255
【知识点】
新定义运算，算术平方根估算，取值范围分析
【点评】
本题重点考查对新定义的理解能力和知识迁移应用能力，前三问难度较低，最后一问借助倒推法可快速求解，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
本题是新定义题型，首先明确核心规则：$[\sqrt{a}]$指不大于$\sqrt{a}$的最大整数，本质是对$\sqrt{a}$向下取整，解题全程紧扣该定义展开：
(1) 分别确定$\sqrt{4}$、$\sqrt{26}$的取值范围，直接找对应最大整数即可；
(2) 根据$[\sqrt{x}]=1$推导$\sqrt{x}$的取值范围，平方后得到x的范围，再取整数解；
(3) 按照连续求根整数的规则逐步计算100的运算过程，统计到结果为1的次数；
(4) 采用倒推法，从第三次运算结果为1反向推导前两次运算输入的最大值，最终得到原数的最大值。
【解析】
(1) $\because \sqrt{4}=2$，不大于2的最大整数是2，$\therefore [\sqrt{4}]=2$；
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{26}＜6$，不大于$\sqrt{26}$的最大整数是5，$\therefore [\sqrt{26}]=5$。
(2) $\because [\sqrt{x}]=1$，根据定义得$1≤ \sqrt{x}＜2$，不等式各项均为非负数，同时平方得$1^2≤ x＜2^2$，即$1≤ x＜4$，则x的整数值为1、2、3。
(3) 对100连续求根整数：
第1次：$[\sqrt{100}]=10$，
第2次：$[\sqrt{10}]=3$，
第3次：$[\sqrt{3}]=1$，
因此3次之后结果为1。
(4) 倒推求解：
① 第3次运算后得1，说明第2次运算的输出m满足$[\sqrt{m}]=1$，且m≠1（否则2次即可得到1），因此$2≤ m＜4$，m最大取3；
② 第2次运算输出最大为3，说明第1次运算的输出n满足$[\sqrt{n}]=3$，因此$3^2≤ n＜4^2$，即$9≤ n＜16$，n最大取15；
③ 第1次运算输出最大为15，说明原数x满足$[\sqrt{x}]=15$，因此$15^2≤ x＜16^2$，即$225≤ x＜256$，x的最大正整数值为255。
【答案】
(1)2；5 (2)1、2、3 (3)3 (4)255
【知识点】
新定义运算，算术平方根估算，取值范围分析
【点评】
本题重点考查对新定义的理解能力和知识迁移应用能力，前三问难度较低，最后一问借助倒推法可快速求解，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
17. 如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上的一点由原点O到达点A，设点A对应的数为a.
(1)求a的值；
(2)求$-(\dfrac{a}{2}+\sqrt[3]{-27}-1)-π$的算术平方根；
(3)利用计算器计算时，按键：$\sqrt[3]{□}$ $(-)$ 6 4 + $\sqrt{□}$ 1 6 =，显示结果是
(1)求a的值；
(2)求$-(\dfrac{a}{2}+\sqrt[3]{-27}-1)-π$的算术平方根；
(3)利用计算器计算时，按键：$\sqrt[3]{□}$ $(-)$ 6 4 + $\sqrt{□}$ 1 6 =，显示结果是
0
.答案
17. (1) $-2π$ (2)2 (3)0
解析
【分析】
(1) 圆沿数轴无滑动滚动一周的路程等于自身的周长，先根据直径算出圆的周长，再结合向左滚动对应数轴上的数为负，即可得到a的值；
(2) 先将a的值代入代数式，先计算立方根，再依次去括号、合并化简，最后对化简结果求算术平方根即可；
(3) 根据按键顺序确定计算式为$\sqrt[3]{-64}+\sqrt{16}$，分别计算立方根和算术平方根后求和即可得到结果。
【解析】
(1) 圆的直径为2，因此圆的周长为$C=πd=2π$。
圆从原点向左无滑动滚动一周，点A到原点的距离等于圆的周长，且A在原点左侧，因此点A对应的数$a=-2π$。
(2) 将$a=-2π$代入式子，先计算$\sqrt[3]{-27}=-3$：
$\begin{aligned}&-(\dfrac{a}{2}+\sqrt[3]{-27}-1)-π\\=&-(\dfrac{-2π}{2}-3-1)-π\\=&-(-π-4)-π\\=&π+4-π\\=&4\end{aligned}$
4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$，即所求结果为2。
(3) 由按键顺序可知计算式为$\sqrt[3]{-64}+\sqrt{16}$：
$\sqrt[3]{-64}=-4$，$\sqrt{16}=4$，因此结果为$-4+4=0$。
【答案】
(1) $-2π$；(2) $2$；(3) $0$
【知识点】
圆的周长计算，实数的运算，立方根与算术平方根
【点评】
本题将数轴动态问题和实数运算结合考查，解题的核心是理解滚动路程与圆周长的关系，同时熟练掌握根式的运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 圆沿数轴无滑动滚动一周的路程等于自身的周长，先根据直径算出圆的周长，再结合向左滚动对应数轴上的数为负，即可得到a的值；
(2) 先将a的值代入代数式，先计算立方根，再依次去括号、合并化简，最后对化简结果求算术平方根即可；
(3) 根据按键顺序确定计算式为$\sqrt[3]{-64}+\sqrt{16}$，分别计算立方根和算术平方根后求和即可得到结果。
【解析】
(1) 圆的直径为2，因此圆的周长为$C=πd=2π$。
圆从原点向左无滑动滚动一周，点A到原点的距离等于圆的周长，且A在原点左侧，因此点A对应的数$a=-2π$。
(2) 将$a=-2π$代入式子，先计算$\sqrt[3]{-27}=-3$：
$\begin{aligned}&-(\dfrac{a}{2}+\sqrt[3]{-27}-1)-π\\=&-(\dfrac{-2π}{2}-3-1)-π\\=&-(-π-4)-π\\=&π+4-π\\=&4\end{aligned}$
4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$，即所求结果为2。
(3) 由按键顺序可知计算式为$\sqrt[3]{-64}+\sqrt{16}$：
$\sqrt[3]{-64}=-4$，$\sqrt{16}=4$，因此结果为$-4+4=0$。
【答案】
(1) $-2π$；(2) $2$；(3) $0$
【知识点】
圆的周长计算，实数的运算，立方根与算术平方根
【点评】
本题将数轴动态问题和实数运算结合考查，解题的核心是理解滚动路程与圆周长的关系，同时熟练掌握根式的运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
