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13. 已知$|2a + b|$与$\sqrt{3b + 12}$互为相反数.
(1)求$2a - 3b$的平方根；
(2)解关于$x$的方程$ax^2 + 4b - 2 = 0$.
(1)求$2a - 3b$的平方根；
(2)解关于$x$的方程$ax^2 + 4b - 2 = 0$.
答案
13. (1) $\pm4$ (2)$x = \pm 3$
解析
【分析】
首先，根据互为相反数的两个数之和为0，可列出关于a、b的等式；再结合绝对值和算术平方根的非负性（即两者的取值都大于等于0），可知只有当两个非负数都为0时，它们的和才能为0，由此可求出a、b的取值。接下来：(1)将a、b代入2a-3b计算出结果，再根据平方根的定义求其平方根即可；(2)将a、b代入关于x的方程，转化为$x^2$等于常数的形式，直接开平方求解即可。
【解析】
解：
∵$|2a + b|$与$\sqrt{3b + 12}$互为相反数
∴$|2a + b| + \sqrt{3b + 12} = 0$
又
∵$|2a + b|≥0$，$\sqrt{3b + 12}≥0$
∴可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 0 \\3b + 12 = 0\end{cases}$
解第二个方程：$3b = -12$，得$b = -4$
将$b = -4$代入第一个方程：$2a - 4 = 0$，解得$a = 2$
(1) 将$a=2$，$b=-4$代入$2a - 3b$得：
$2×2 - 3×(-4) = 4 + 12 = 16$
∵$(±4)^2 = 16$，
∴16的平方根为$±4$
即$2a - 3b$的平方根是$±4$
(2) 将$a=2$，$b=-4$代入方程$ax^2 + 4b - 2 = 0$得：
$2x^2 + 4×(-4) - 2 = 0$
化简：$2x^2 - 16 - 2 = 0$
$2x^2 = 18$
$x^2 = 9$
解得$x = ±3$
【答案】
(1) $\pm4$ (2)$x = \pm 3$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 平方根的计算
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是代数基础综合题，核心考点是非负性的应用，需牢记绝对值、算术平方根的非负特征，解题时注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先，根据互为相反数的两个数之和为0，可列出关于a、b的等式；再结合绝对值和算术平方根的非负性（即两者的取值都大于等于0），可知只有当两个非负数都为0时，它们的和才能为0，由此可求出a、b的取值。接下来：(1)将a、b代入2a-3b计算出结果，再根据平方根的定义求其平方根即可；(2)将a、b代入关于x的方程，转化为$x^2$等于常数的形式，直接开平方求解即可。
【解析】
解：
∵$|2a + b|$与$\sqrt{3b + 12}$互为相反数
∴$|2a + b| + \sqrt{3b + 12} = 0$
又
∵$|2a + b|≥0$，$\sqrt{3b + 12}≥0$
∴可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 0 \\3b + 12 = 0\end{cases}$
解第二个方程：$3b = -12$，得$b = -4$
将$b = -4$代入第一个方程：$2a - 4 = 0$，解得$a = 2$
(1) 将$a=2$，$b=-4$代入$2a - 3b$得：
$2×2 - 3×(-4) = 4 + 12 = 16$
∵$(±4)^2 = 16$，
∴16的平方根为$±4$
即$2a - 3b$的平方根是$±4$
(2) 将$a=2$，$b=-4$代入方程$ax^2 + 4b - 2 = 0$得：
$2x^2 + 4×(-4) - 2 = 0$
化简：$2x^2 - 16 - 2 = 0$
$2x^2 = 18$
$x^2 = 9$
解得$x = ±3$
【答案】
(1) $\pm4$ (2)$x = \pm 3$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 平方根的计算
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是代数基础综合题，核心考点是非负性的应用，需牢记绝对值、算术平方根的非负特征，解题时注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
14. 数轴上的点A，B依次表示两个实数$-\sqrt{3}$，π.
（1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置；
（2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是$2\sqrt{3}$，求点C所对应的实数.
（第14题）
（1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置；
（2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是$2\sqrt{3}$，求点C所对应的实数.
（第14题）答案
14. (1)略 (2)$\sqrt{3}$或$-3\sqrt{3}$
解析
【分析】
（1）要确定点A、B在数轴上的位置，首先需要估算两个无理数的近似值：$\sqrt{3}\approx1.732$，因此$-\sqrt{3}\approx-1.732$，落在-2和-1之间、更靠近-2的位置；$π\approx3.14$，落在3和4之间、更靠近3的位置，对应描点即可。
（2）已知点C到点A的距离，由于点C的位置不确定，需要分两种情况讨论：点C在点A左侧、点C在点A右侧，结合数轴上两点距离的计算方法分别求解即可。
【解析】
（1）因为$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$-\sqrt{3}\approx-1.732$，在数轴上-2与-1之间、靠近-2的位置描出点A；$π\approx3.14$，在数轴上3与4之间、靠近3的位置描出点B即可。
（2）设点C对应的实数为$x$，已知点A对应实数$-\sqrt{3}$，点C到点A的距离为$2\sqrt{3}$，根据数轴上两点距离的定义可得：
$\left|x-(-\sqrt{3})\right|=2\sqrt{3}$，即$\left|x+\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}$
分两种情况计算：
①当点C在点A右侧时：$x+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，解得$x=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
②当点C在点A左侧时：$x+\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$，解得$x=-2\sqrt{3}-\sqrt{3}=-3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 描点略；(2) $\sqrt{3}$或$-3\sqrt{3}$
【知识点】
无理数的估算；数轴两点距离；分类讨论思想
【点评】
本题结合数轴考查无理数的相关应用，第二问的距离问题需要注意点的位置有两种可能，解题时不要漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要确定点A、B在数轴上的位置，首先需要估算两个无理数的近似值：$\sqrt{3}\approx1.732$，因此$-\sqrt{3}\approx-1.732$，落在-2和-1之间、更靠近-2的位置；$π\approx3.14$，落在3和4之间、更靠近3的位置，对应描点即可。
（2）已知点C到点A的距离，由于点C的位置不确定，需要分两种情况讨论：点C在点A左侧、点C在点A右侧，结合数轴上两点距离的计算方法分别求解即可。
【解析】
（1）因为$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$-\sqrt{3}\approx-1.732$，在数轴上-2与-1之间、靠近-2的位置描出点A；$π\approx3.14$，在数轴上3与4之间、靠近3的位置描出点B即可。
（2）设点C对应的实数为$x$，已知点A对应实数$-\sqrt{3}$，点C到点A的距离为$2\sqrt{3}$，根据数轴上两点距离的定义可得：
$\left|x-(-\sqrt{3})\right|=2\sqrt{3}$，即$\left|x+\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}$
分两种情况计算：
①当点C在点A右侧时：$x+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，解得$x=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
②当点C在点A左侧时：$x+\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$，解得$x=-2\sqrt{3}-\sqrt{3}=-3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 描点略；(2) $\sqrt{3}$或$-3\sqrt{3}$
【知识点】
无理数的估算；数轴两点距离；分类讨论思想
【点评】
本题结合数轴考查无理数的相关应用，第二问的距离问题需要注意点的位置有两种可能，解题时不要漏解。
【难度系数】
0.7
15. 我们知道$\sqrt{2}$是无理数，其整数部分是1，于是小明用$\sqrt{2} -1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分. 请回答下列问题：
(1)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{13}$的整数部分为$b$，求$a + b - \sqrt{5}$的值；
(2)已知$10 + \sqrt{3} = x + y$，其中$x$是整数，且$0 ＜ y ＜ 1$，求$x - y$的值.
(1)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{13}$的整数部分为$b$，求$a + b - \sqrt{5}$的值；
(2)已知$10 + \sqrt{3} = x + y$，其中$x$是整数，且$0 ＜ y ＜ 1$，求$x - y$的值.
答案
15. (1)1 (2)$12 - \sqrt{3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是用“夹逼法”估算无理数的取值范围，进而确定无理数的整数部分和小数部分（小数部分=原数-整数部分）。对于(1)，先分别估算$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$的取值范围，求出a、b的值后代入代数式计算即可；对于(2)，先估算$\sqrt{3}$的取值范围，确定$10+\sqrt{3}$的整数部分x和小数部分y，再代入计算$x-y$。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{5}$的范围：
∵ $4＜5＜9$，
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
∴ $\sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分$a=\sqrt{5}-2$。
再估算$\sqrt{13}$的范围：
∵ $9＜13＜16$，
∴ $\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
∴ $\sqrt{13}$的整数部分$b=3$。
将a、b代入$a+b-\sqrt{5}$得：
原式$=(\sqrt{5}-2)+3-\sqrt{5}=1$。
(2) 先估算$\sqrt{3}$的范围：
∵ $1＜3＜4$，
∴ $\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
∴ $10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$，即$11＜10+\sqrt{3}＜12$。
∵ $10+\sqrt{3}=x+y$，x是整数，$0＜y＜1$，
∴ $x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$，
∴ $x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{12-\sqrt{3}}$
【知识点】
无理数的估算、代数式求值、实数的运算
【点评】
本题重点考查无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题的关键是正确用夹逼法估算无理数的取值范围，再结合题意代入计算，是实数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心是用“夹逼法”估算无理数的取值范围，进而确定无理数的整数部分和小数部分（小数部分=原数-整数部分）。对于(1)，先分别估算$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$的取值范围，求出a、b的值后代入代数式计算即可；对于(2)，先估算$\sqrt{3}$的取值范围，确定$10+\sqrt{3}$的整数部分x和小数部分y，再代入计算$x-y$。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{5}$的范围：
∵ $4＜5＜9$，
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
∴ $\sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分$a=\sqrt{5}-2$。
再估算$\sqrt{13}$的范围：
∵ $9＜13＜16$，
∴ $\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
∴ $\sqrt{13}$的整数部分$b=3$。
将a、b代入$a+b-\sqrt{5}$得：
原式$=(\sqrt{5}-2)+3-\sqrt{5}=1$。
(2) 先估算$\sqrt{3}$的范围：
∵ $1＜3＜4$，
∴ $\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
∴ $10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$，即$11＜10+\sqrt{3}＜12$。
∵ $10+\sqrt{3}=x+y$，x是整数，$0＜y＜1$，
∴ $x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$，
∴ $x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{12-\sqrt{3}}$
【知识点】
无理数的估算、代数式求值、实数的运算
【点评】
本题重点考查无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题的关键是正确用夹逼法估算无理数的取值范围，再结合题意代入计算，是实数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.75
