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7. 若$a$和$b$为两个连续整数，且$a ＜ \sqrt{10} ＜ b$，那么$a=$
3
，$b=$4
。答案
7.3 4
解析
【分析】
要确定a和b的值，首先需要估算出$\sqrt{10}$的取值范围。我们可以通过找与10相邻的两个正完全平方数，再对这三个数同时开算术平方根，就能得到$\sqrt{10}$的范围，再结合a、b是连续整数的条件，就能求出a和b的值。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ 对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$
即$3＜\sqrt{10}＜4$
又
∵a和b是连续整数，且$a＜\sqrt{10}＜b$
∴$a=3$，$b=4$
【答案】
3；4
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的大小比较
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是快速定位被开方数相邻的两个完全平方数，是基础类题型，熟练掌握估算方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要确定a和b的值，首先需要估算出$\sqrt{10}$的取值范围。我们可以通过找与10相邻的两个正完全平方数，再对这三个数同时开算术平方根，就能得到$\sqrt{10}$的范围，再结合a、b是连续整数的条件，就能求出a和b的值。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ 对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$
即$3＜\sqrt{10}＜4$
又
∵a和b是连续整数，且$a＜\sqrt{10}＜b$
∴$a=3$，$b=4$
【答案】
3；4
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的大小比较
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是快速定位被开方数相邻的两个完全平方数，是基础类题型，熟练掌握估算方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
8. 如图是用两个边长是1的小正方形拼成的一个大正方形，以数轴的原点为圆心，大正方形的边长为半径画圆，与数轴的正半轴的交点表示的数是
$\sqrt{2}$
。答案
8.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
要确定圆与数轴正半轴交点表示的数，首先需明确该交点到原点的距离等于圆的半径，也就是大正方形的边长，因此解题的核心是求出大正方形的边长。我们可以先通过两个小正方形的面积和得到大正方形的面积，再结合正方形面积与边长的关系，利用算术平方根的定义求出边长，最终得到交点对应的数。
【解析】
第一步：计算小正方形的面积
已知小正方形的边长为1，根据正方形面积公式，单个小正方形的面积为：$1×1=1$
第二步：计算大正方形的面积
大正方形由2个小正方形拼成，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和：$S_{\mathrm{大}}=1+1=2$
第三步：求大正方形的边长
设大正方形的边长为$a$，由正方形面积公式$S=a^2$可得$a^2=2$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{2}$，即圆的半径为$\sqrt{2}$。
第四步：确定数轴交点表示的数
以原点为圆心、$\sqrt{2}$为半径画圆时，圆上所有点到原点的距离都为$\sqrt{2}$，与正半轴的交点在原点右侧，因此该点表示的数为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，数轴的应用
【点评】
本题结合图形拼接、实数与数轴的知识考查基础概念的应用，解题关键是利用面积法求出大正方形的边长，再结合圆的性质和数轴的特征得到结果，整体较为基础。
【难度系数】
0.8
要确定圆与数轴正半轴交点表示的数，首先需明确该交点到原点的距离等于圆的半径，也就是大正方形的边长，因此解题的核心是求出大正方形的边长。我们可以先通过两个小正方形的面积和得到大正方形的面积，再结合正方形面积与边长的关系，利用算术平方根的定义求出边长，最终得到交点对应的数。
【解析】
第一步：计算小正方形的面积
已知小正方形的边长为1，根据正方形面积公式，单个小正方形的面积为：$1×1=1$
第二步：计算大正方形的面积
大正方形由2个小正方形拼成，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和：$S_{\mathrm{大}}=1+1=2$
第三步：求大正方形的边长
设大正方形的边长为$a$，由正方形面积公式$S=a^2$可得$a^2=2$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{2}$，即圆的半径为$\sqrt{2}$。
第四步：确定数轴交点表示的数
以原点为圆心、$\sqrt{2}$为半径画圆时，圆上所有点到原点的距离都为$\sqrt{2}$，与正半轴的交点在原点右侧，因此该点表示的数为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，数轴的应用
【点评】
本题结合图形拼接、实数与数轴的知识考查基础概念的应用，解题关键是利用面积法求出大正方形的边长，再结合圆的性质和数轴的特征得到结果，整体较为基础。
【难度系数】
0.8
9. 若一个数$a$的相反数等于它本身，则$\sqrt{3a} -5\sqrt{2a^2 +1} +2\sqrt[3]{a -8} =$
$-9$
.答案
9.$-9$
解析
【分析】
解题时首先要根据相反数的性质确定a的取值，再将a代入代数式分步计算即可。第一步先回忆相关概念：只有0的相反数等于它本身，因此可直接得到a=0；第二步把a=0代入式子，分别计算每一项的二次根式、立方根结果，最后做加减运算得到最终答案。
【解析】
解：
∵ 数a的相反数等于它本身，
∴ $a=0$
将$a=0$代入原式计算：
$\begin{aligned}&\sqrt{3a} -5\sqrt{2a^2 +1} +2\sqrt[3]{a -8} \\=&\sqrt{3×0} -5\sqrt{2×0^2+1} +2\sqrt[3]{0-8} \\=&0 -5\sqrt{1} +2\sqrt[3]{-8} \\=&0 -5×1 +2×(-2) \\=&0-5-4 \\=&-9\end{aligned}$
【答案】
$-9$
【知识点】
相反数的性质；二次根式化简；立方根运算
【点评】
本题的解题关键是先利用相反数的性质确定参数a的取值，再代入计算根式结果，侧重考察基础概念的掌握和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要根据相反数的性质确定a的取值，再将a代入代数式分步计算即可。第一步先回忆相关概念：只有0的相反数等于它本身，因此可直接得到a=0；第二步把a=0代入式子，分别计算每一项的二次根式、立方根结果，最后做加减运算得到最终答案。
【解析】
解：
∵ 数a的相反数等于它本身，
∴ $a=0$
将$a=0$代入原式计算：
$\begin{aligned}&\sqrt{3a} -5\sqrt{2a^2 +1} +2\sqrt[3]{a -8} \\=&\sqrt{3×0} -5\sqrt{2×0^2+1} +2\sqrt[3]{0-8} \\=&0 -5\sqrt{1} +2\sqrt[3]{-8} \\=&0 -5×1 +2×(-2) \\=&0-5-4 \\=&-9\end{aligned}$
【答案】
$-9$
【知识点】
相反数的性质；二次根式化简；立方根运算
【点评】
本题的解题关键是先利用相反数的性质确定参数a的取值，再代入计算根式结果，侧重考察基础概念的掌握和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
10. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为$ a $，$ b $，$ c $，记$ p = \frac{a + b + c}{2} $，那么其面积$ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $。
如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积$ S $介于整数$ n $和$ n + 1 $之间，那么$ n $的值是
如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积$ S $介于整数$ n $和$ n + 1 $之间，那么$ n $的值是
3
。答案
10.3
解析
【分析】
解题时先根据题目给出的三角形三边长，按照公式先计算半周长p的值，再将p和三边长代入面积公式求出面积S的表达式，最后通过估算无理数的大小确定S所在的整数区间，即可得到n的值。
【解析】
已知三角形三边长a=2，b=4，c=4，
第一步：计算半周长p：
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2+4+4}{2}=5$
第二步：将p、a、b、c代入面积公式：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{5×(5-2)×(5-4)×(5-4)}=\sqrt{5×3×1×1}=\sqrt{15}$
第三步：估算$\sqrt{15}$的大小：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜15＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$。
因此面积S介于整数3和4之间，所以$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式估算；代数式求值
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查了公式代入计算和无理数的估算，解题时需准确代入数值计算，熟练掌握平方数的大小来快速估算无理数的范围。
【难度系数】
0.8
解题时先根据题目给出的三角形三边长，按照公式先计算半周长p的值，再将p和三边长代入面积公式求出面积S的表达式，最后通过估算无理数的大小确定S所在的整数区间，即可得到n的值。
【解析】
已知三角形三边长a=2，b=4，c=4，
第一步：计算半周长p：
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2+4+4}{2}=5$
第二步：将p、a、b、c代入面积公式：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{5×(5-2)×(5-4)×(5-4)}=\sqrt{5×3×1×1}=\sqrt{15}$
第三步：估算$\sqrt{15}$的大小：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜15＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$。
因此面积S介于整数3和4之间，所以$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式估算；代数式求值
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查了公式代入计算和无理数的估算，解题时需准确代入数值计算，熟练掌握平方数的大小来快速估算无理数的范围。
【难度系数】
0.8
11. 计算：
(1) $-\sqrt{36} - \sqrt{2} - |\sqrt{2} - 3|$；
(2) $-\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{125} + \sqrt{(-2)^2}$。
(1) $-\sqrt{36} - \sqrt{2} - |\sqrt{2} - 3|$；
(2) $-\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{125} + \sqrt{(-2)^2}$。
答案
11. (1) $-9$ (2)$5$
解析
【分析】
这两道题属于实数的混合运算题，解题思路如下：首先分别化简每一个运算项，包括算术平方根、立方根、绝对值，再按照有理数的加减运算法则计算即可。对于绝对值化简，先判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；算术平方根运算满足$\sqrt{a^2}=|a|$，立方根运算满足$\sqrt[3]{a^3}=a$，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 计算$-\sqrt{36} - \sqrt{2} - |\sqrt{2} - 3|$：
第一步：化简算术平方根项，$\sqrt{36}=6$，因此$-\sqrt{36}=-6$；
第二步：化简绝对值，因为$\sqrt{2}＜3$，所以$\sqrt{2}-3＜0$，因此$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；
第三步：代入原式去括号计算：
$\begin{aligned}原式&=-6 - \sqrt{2} - (3 - \sqrt{2})\\&=-6 - \sqrt{2} -3 + \sqrt{2}\\&=-9\end{aligned}$
(2) 计算$-\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{125} + \sqrt{(-2)^2}$：
第一步：化简各项，$\sqrt[3]{8}=2$，因此$-\sqrt[3]{8}=-2$；$\sqrt[3]{125}=5$；$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$；
第二步：代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-2 + 5 + 2\\&=5\end{aligned}$
【答案】
(1) $-9$；(2) $5$
【知识点】
算术平方根运算、立方根运算、绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题，核心是熟练掌握算术平方根、立方根的计算规则，以及绝对值的化简方法，计算时要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于实数的混合运算题，解题思路如下：首先分别化简每一个运算项，包括算术平方根、立方根、绝对值，再按照有理数的加减运算法则计算即可。对于绝对值化简，先判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；算术平方根运算满足$\sqrt{a^2}=|a|$，立方根运算满足$\sqrt[3]{a^3}=a$，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 计算$-\sqrt{36} - \sqrt{2} - |\sqrt{2} - 3|$：
第一步：化简算术平方根项，$\sqrt{36}=6$，因此$-\sqrt{36}=-6$；
第二步：化简绝对值，因为$\sqrt{2}＜3$，所以$\sqrt{2}-3＜0$，因此$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；
第三步：代入原式去括号计算：
$\begin{aligned}原式&=-6 - \sqrt{2} - (3 - \sqrt{2})\\&=-6 - \sqrt{2} -3 + \sqrt{2}\\&=-9\end{aligned}$
(2) 计算$-\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{125} + \sqrt{(-2)^2}$：
第一步：化简各项，$\sqrt[3]{8}=2$，因此$-\sqrt[3]{8}=-2$；$\sqrt[3]{125}=5$；$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$；
第二步：代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-2 + 5 + 2\\&=5\end{aligned}$
【答案】
(1) $-9$；(2) $5$
【知识点】
算术平方根运算、立方根运算、绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题，核心是熟练掌握算术平方根、立方根的计算规则，以及绝对值的化简方法，计算时要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
12. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ 3(x - 0.5)^3 - \frac{1}{9} = 0 $;
(2) $ 2(x - 1)^2 - \frac{1}{2} = 0 $.
(1) $ 3(x - 0.5)^3 - \frac{1}{9} = 0 $;
(2) $ 2(x - 1)^2 - \frac{1}{2} = 0 $.
答案
12. (1)$x = \frac{5}{6}$ (2)$x = \frac{3}{2}$或$x = \frac{1}{2}$
解析
【分析】
这两道题都是利用乘方的逆运算求解未知数的方程，统一解题思路为：先通过移项、系数化为1，将原式变形为“含x的式子的乘方=常数”的形式，再根据立方根、平方根的性质开方计算。注意：开立方时正数的立方根唯一，因此第一问只有1个解；开平方时正数有两个互为相反数的平方根，因此第二问有2个解，不要漏解。
【解析】
(1) 解：
移项，得 $3(x - 0.5)^3 = \frac{1}{9}$
两边同时除以3，得 $(x - 0.5)^3 = \frac{1}{27}$
对等式两边开立方，得 $x - 0.5 = \frac{1}{3}$
将0.5化为分数$\frac{1}{2}$，移项计算得 $x = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$
(2) 解：
移项，得 $2(x - 1)^2 = \frac{1}{2}$
两边同时除以2，得 $(x - 1)^2 = \frac{1}{4}$
对等式两边开平方，得 $x - 1 = \pm \frac{1}{2}$
分情况计算：
当$x - 1 = \frac{1}{2}$时，$x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
当$x - 1 = -\frac{1}{2}$时，$x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x = \frac{5}{6}$；(2)$x = \frac{3}{2}$或$x = \frac{1}{2}$
【知识点】
立方根的性质、平方根的性质、等式的性质
【点评】
本题是开方运算解方程的基础题型，核心是区分平方根和立方根的性质差异，解题时注意不要漏写平方根的负根，计算时做好小数和分数的转换即可。
【难度系数】
0.75
这两道题都是利用乘方的逆运算求解未知数的方程，统一解题思路为：先通过移项、系数化为1，将原式变形为“含x的式子的乘方=常数”的形式，再根据立方根、平方根的性质开方计算。注意：开立方时正数的立方根唯一，因此第一问只有1个解；开平方时正数有两个互为相反数的平方根，因此第二问有2个解，不要漏解。
【解析】
(1) 解：
移项，得 $3(x - 0.5)^3 = \frac{1}{9}$
两边同时除以3，得 $(x - 0.5)^3 = \frac{1}{27}$
对等式两边开立方，得 $x - 0.5 = \frac{1}{3}$
将0.5化为分数$\frac{1}{2}$，移项计算得 $x = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$
(2) 解：
移项，得 $2(x - 1)^2 = \frac{1}{2}$
两边同时除以2，得 $(x - 1)^2 = \frac{1}{4}$
对等式两边开平方，得 $x - 1 = \pm \frac{1}{2}$
分情况计算：
当$x - 1 = \frac{1}{2}$时，$x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
当$x - 1 = -\frac{1}{2}$时，$x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x = \frac{5}{6}$；(2)$x = \frac{3}{2}$或$x = \frac{1}{2}$
【知识点】
立方根的性质、平方根的性质、等式的性质
【点评】
本题是开方运算解方程的基础题型，核心是区分平方根和立方根的性质差异，解题时注意不要漏写平方根的负根，计算时做好小数和分数的转换即可。
【难度系数】
0.75
