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1.（科学思维·数学文化）公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数$\sqrt{2}$无法表示为整数之比，打破了“万物皆数（有理数）”的学派信条，引发了西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计$\sqrt{2}$的值在 （
A.1.2 和 1.3 之间
B.1.3 和 1.4 之间
C.1.4 和 1.5 之间
D.1.5 和 1.6 之间
C
）A.1.2 和 1.3 之间
B.1.3 和 1.4 之间
C.1.4 和 1.5 之间
D.1.5 和 1.6 之间
答案
1.C
解析
【分析】要估计$\sqrt{2}$的取值范围，我们可以使用“平方比较法”：先计算相邻小数的平方，将平方结果和2比较，找到平方小于2和平方大于2的两个相邻小数，$\sqrt{2}$就介于这两个小数之间。
【解析】分别计算1.4和1.5的平方：
$1.4^2 = 1.4×1.4 = 1.96$
$1.5^2 = 1.5×1.5 = 2.25$
因为$1.96 ＜ 2 ＜ 2.25$，根据算术平方根的性质（正数的算术平方根随被开方数增大而增大），可得$\sqrt{1.96} ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{2.25}$，即$1.4 ＜ \sqrt{2} ＜ 1.5$。
【答案】C
【知识点】无理数大小估算；算术平方根的性质
【点评】本题结合数学文化背景考查无理数估算的基础方法，解题核心是通过平方运算将无理数比较转化为有理数大小比较，方法简单易掌握。
【难度系数】0.8
【解析】分别计算1.4和1.5的平方：
$1.4^2 = 1.4×1.4 = 1.96$
$1.5^2 = 1.5×1.5 = 2.25$
因为$1.96 ＜ 2 ＜ 2.25$，根据算术平方根的性质（正数的算术平方根随被开方数增大而增大），可得$\sqrt{1.96} ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{2.25}$，即$1.4 ＜ \sqrt{2} ＜ 1.5$。
【答案】C
【知识点】无理数大小估算；算术平方根的性质
【点评】本题结合数学文化背景考查无理数估算的基础方法，解题核心是通过平方运算将无理数比较转化为有理数大小比较，方法简单易掌握。
【难度系数】0.8
2. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a + b| - |c + b|的结果是（
A.a + c
B.-a - c
C.-a + c
D.a + 2b - c
C
）A.a + c
B.-a - c
C.-a + c
D.a + 2b - c
答案
2.C
解析
【分析】
首先根据数轴上右边的数总比左边的数大，确定a、b、c的大小关系，再结合各点到原点的距离判断绝对值里的代数式a+b、c+b的正负性；然后根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号；最后合并同类项得到化简结果，匹配对应选项即可。
【解析】
由数轴上点的位置可知：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，且$|c| ＞ |a| ＞ |b|$。
1. 判断$a+b$的正负：
因为$a＜0$，$b＞0$，且$|a|＞|b|$，所以$a + b ＜ 0$，根据绝对值的性质可得：$|a+b|=-(a+b)=-a-b$。
2. 判断$c+b$的正负：
因为$c＜0$，$b＞0$，且$|c|＞|b|$，所以$c + b ＜ 0$，根据绝对值的性质可得：$|c+b|=-(c+b)=-c-b$。
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned}|a+b|-|c+b|&=(-a - b) - (-c - b)\\&=-a - b + c + b\\&=-a + c\end{aligned}$
据此，本题选择C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的认识，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是绝对值化简的常规题型，解题核心是先结合数轴判断出绝对值内代数式的正负，再正确应用绝对值的性质去符号计算，需要注意去括号时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴上右边的数总比左边的数大，确定a、b、c的大小关系，再结合各点到原点的距离判断绝对值里的代数式a+b、c+b的正负性；然后根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号；最后合并同类项得到化简结果，匹配对应选项即可。
【解析】
由数轴上点的位置可知：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，且$|c| ＞ |a| ＞ |b|$。
1. 判断$a+b$的正负：
因为$a＜0$，$b＞0$，且$|a|＞|b|$，所以$a + b ＜ 0$，根据绝对值的性质可得：$|a+b|=-(a+b)=-a-b$。
2. 判断$c+b$的正负：
因为$c＜0$，$b＞0$，且$|c|＞|b|$，所以$c + b ＜ 0$，根据绝对值的性质可得：$|c+b|=-(c+b)=-c-b$。
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned}|a+b|-|c+b|&=(-a - b) - (-c - b)\\&=-a - b + c + b\\&=-a + c\end{aligned}$
据此，本题选择C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的认识，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是绝对值化简的常规题型，解题核心是先结合数轴判断出绝对值内代数式的正负，再正确应用绝对值的性质去符号计算，需要注意去括号时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
3. 估算$\sqrt{7}+3$的值在哪两个相邻的正整数之间 （
A.4和5
B.5和6
C.6和7
D.7和8
B
）A.4和5
B.5和6
C.6和7
D.7和8
答案
3.B
解析
【分析】
要估算$\sqrt{7}+3$的取值范围，首先需要确定无理数$\sqrt{7}$的大小范围：第一步先找到与被开方数7相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质得到$\sqrt{7}$的取值范围；第二步再根据不等式的性质，给$\sqrt{7}$的范围两端同时加3，即可得到$\sqrt{7}+3$的取值范围，进而判断它在哪两个相邻正整数之间。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
给不等式三边同时加3，得：
$2+3＜\sqrt{7}+3＜3+3$
即$5＜\sqrt{7}+3＜6$
$\therefore \sqrt{7}+3$的值在5和6两个相邻正整数之间，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质 3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题核心是先确定被开方数对应的相邻完全平方数，进而得到无理数的取值范围，再通过不等式变形得到所求式子的范围，掌握估算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要估算$\sqrt{7}+3$的取值范围，首先需要确定无理数$\sqrt{7}$的大小范围：第一步先找到与被开方数7相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质得到$\sqrt{7}$的取值范围；第二步再根据不等式的性质，给$\sqrt{7}$的范围两端同时加3，即可得到$\sqrt{7}+3$的取值范围，进而判断它在哪两个相邻正整数之间。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
给不等式三边同时加3，得：
$2+3＜\sqrt{7}+3＜3+3$
即$5＜\sqrt{7}+3＜6$
$\therefore \sqrt{7}+3$的值在5和6两个相邻正整数之间，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质 3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题核心是先确定被开方数对应的相邻完全平方数，进而得到无理数的取值范围，再通过不等式变形得到所求式子的范围，掌握估算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为 （
A.$\sqrt{7}$
B.$-2+\sqrt{7}$
C.$-1+\sqrt{7}$
D.$1-\sqrt{7}$
D
）A.$\sqrt{7}$
B.$-2+\sqrt{7}$
C.$-1+\sqrt{7}$
D.$1-\sqrt{7}$
答案
4.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据正方形的面积公式求出边长AD的长度；再根据AD=AE得到线段AE的长度；最后结合点A在数轴上的数值，以及点E在点A左侧的位置特征，用A点的数值减去AE的长度，即可得到点E表示的数。
【解析】
1. 计算正方形边长：
已知正方形ABCD的面积为7，根据正方形面积=边长²，可得边长AD=√7（边长为正数，因此取7的算术平方根）。
2. 推导AE的长度：
由题可知AD=AE，因此AE=AD=√7。
3. 求点E表示的数：
点A在数轴上表示的数为1，点E在点A左侧，数轴上越靠左的数越小，因此点E表示的数为1 - AE = 1 - √7。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；实数与数轴；算术平方根
【点评】
本题是基础的综合应用题，解题的关键是先求出正方形的边长，再结合数轴上点的位置关系计算对应数值，需要注意数轴上左右位置与数值大小的对应关系，避免出现加减符号错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据正方形的面积公式求出边长AD的长度；再根据AD=AE得到线段AE的长度；最后结合点A在数轴上的数值，以及点E在点A左侧的位置特征，用A点的数值减去AE的长度，即可得到点E表示的数。
【解析】
1. 计算正方形边长：
已知正方形ABCD的面积为7，根据正方形面积=边长²，可得边长AD=√7（边长为正数，因此取7的算术平方根）。
2. 推导AE的长度：
由题可知AD=AE，因此AE=AD=√7。
3. 求点E表示的数：
点A在数轴上表示的数为1，点E在点A左侧，数轴上越靠左的数越小，因此点E表示的数为1 - AE = 1 - √7。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；实数与数轴；算术平方根
【点评】
本题是基础的综合应用题，解题的关键是先求出正方形的边长，再结合数轴上点的位置关系计算对应数值，需要注意数轴上左右位置与数值大小的对应关系，避免出现加减符号错误。
【难度系数】
0.7
5. 现对实数$a$，$b$定义一种运算：$a※b = ab + a - b$，则$\sqrt{16} ※ \sqrt[3]{-8}$等于（
A.$-6$
B.$-2$
C.$6$
D.$2$
B
）A.$-6$
B.$-2$
C.$6$
D.$2$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先要理清新定义的运算规则：$a※b$的运算逻辑是两个数的乘积加第一个数再减第二个数；接下来需要先化简运算中的两个根式，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，先算出这两个根式的具体数值；最后把化简后的数值对应代入新运算公式，按照有理数运算规则计算即可，计算时要注意负号的处理，避免符号出错。
【解析】
第一步：先化简两个根式
$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{-8}=-2$
第二步：根据新运算$a※b = ab + a - b$，代入$a=4$，$b=-2$得：
$\sqrt{16} ※ \sqrt[3]{-8}=4×(-2)+4-(-2)$
第三步：按有理数运算顺序计算
$=-8+4+2$
$=-2$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算，立方根计算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对新运算规则的理解应用和基础根式运算能力，解题时只要准确化简根式、正确代入运算规则、注意符号处理即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
解题时首先要理清新定义的运算规则：$a※b$的运算逻辑是两个数的乘积加第一个数再减第二个数；接下来需要先化简运算中的两个根式，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，先算出这两个根式的具体数值；最后把化简后的数值对应代入新运算公式，按照有理数运算规则计算即可，计算时要注意负号的处理，避免符号出错。
【解析】
第一步：先化简两个根式
$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{-8}=-2$
第二步：根据新运算$a※b = ab + a - b$，代入$a=4$，$b=-2$得：
$\sqrt{16} ※ \sqrt[3]{-8}=4×(-2)+4-(-2)$
第三步：按有理数运算顺序计算
$=-8+4+2$
$=-2$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算，立方根计算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对新运算规则的理解应用和基础根式运算能力，解题时只要准确化简根式、正确代入运算规则、注意符号处理即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
6. $\sqrt{37}$的整数部分是
6
.答案
6.6
解析
【分析】
要确定√37的整数部分，可通过估算无理数大小的方法求解：先找到与被开方数37相邻的两个完全平方数，再根据算术平方根的性质确定√37的取值范围，即可得到它的整数部分。
【解析】
解：
∵ 6²=36，7²=49，且36＜37＜49
∴ 根据算术平方根的性质可得√36＜√37＜√49
即 6＜√37＜7
∴ √37的整数部分是6
【答案】
6
【知识点】
算术平方根的性质，无理数的估算
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数，进而确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.8
要确定√37的整数部分，可通过估算无理数大小的方法求解：先找到与被开方数37相邻的两个完全平方数，再根据算术平方根的性质确定√37的取值范围，即可得到它的整数部分。
【解析】
解：
∵ 6²=36，7²=49，且36＜37＜49
∴ 根据算术平方根的性质可得√36＜√37＜√49
即 6＜√37＜7
∴ √37的整数部分是6
【答案】
6
【知识点】
算术平方根的性质，无理数的估算
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数，进而确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.8
