18. 观察下列等式，并回答问题.
① $|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$；
② $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$；
③ $|\sqrt{3} - \sqrt{4}| = \sqrt{4} - \sqrt{3}$；
④ $|\sqrt{4} - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - \sqrt{4}$；
……
(1) 请写出第⑤个等式：______；计算 $|\sqrt{15} - 4| = \_\_\_\_\_\_$.
(2) 写出你猜想的第 $n$ 个等式：______（用含 $n$ 的代数式表示）.
(3) 比较 $\dfrac{\sqrt{8} - 1}{2}$ 与 $1$ 的大小.

18. (1) $|\sqrt{5} - \sqrt{6}| = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ $4 - \sqrt{15}$
(2) $|\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}| = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$
(3) $\frac{\sqrt{8} - 1}{2} ＜ 1.$

【分析】
本题围绕绝对值化简、二次根式大小比较及规律探究展开，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：先观察已知4个等式的共同特征：等式左边是相邻两个正整数的算术平方根的差的绝对值，右边是较大的算术平方根减较小的算术平方根（因为被开方数越大，算术平方根越大，所以根号内数大的算术平方根更大，绝对值化简时负数的绝对值等于它的相反数）。据此直接写出第⑤个等式；计算$|\sqrt{15} -4|$时，先把4转化为$\sqrt{16}$，再按上述绝对值化简规则计算即可。
2. 解决第(2)问：把前几个等式的序号和式子对应，发现第n个式子中，左边根号内的两个数就是n和n+1，按照规律写出通式即可，注意n是正整数。
3. 解决第(3)问：用七年级常用的作差法比较大小，统一分母后比较分子大小，通过判断差的正负来确定两个数的大小关系。
【解析】
(1) 观察已知等式的规律，第⑤个等式对应n=5，可得：$|\sqrt{5} - \sqrt{6}| = \sqrt{6} - \sqrt{5}$；
因为$4=\sqrt{16}$，且$\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，所以$\sqrt{15}-4＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|\sqrt{15} - 4|=4 - \sqrt{15}$。
(2) 观察可得，第n个等式中，左边是$\sqrt{n}$和$\sqrt{n+1}$的差的绝对值，因为$\sqrt{n+1}＞\sqrt{n}$，所以$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}＜0$，化简后为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，即第n个等式为：$|\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}| = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$（n为正整数）。
(3) 用作差法比较大小：
$\dfrac{\sqrt{8} - 1}{2} - 1 = \dfrac{\sqrt{8} - 1}{2} - \dfrac{2}{2} = \dfrac{\sqrt{8} - 3}{2}$
又因为$3=\sqrt{9}$，$\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，所以$\sqrt{8}-3＜0$，因此$\dfrac{\sqrt{8} - 3}{2}＜0$，即$\dfrac{\sqrt{8} - 1}{2} ＜ 1$。
【答案】
(1) $|\sqrt{5} - \sqrt{6}| = \sqrt{6} - \sqrt{5}$；$4 - \sqrt{15}$
(2) $|\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}| = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$（n为正整数）
(3) $\dfrac{\sqrt{8} - 1}{2} ＜ 1$
【知识点】
绝对值的性质；二次根式大小比较；数字规律探究
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是掌握绝对值的化简规则和二次根式大小比较的方法，规律探究类问题需要多观察已知式子的共性，总结通用表达式，是考试中常见的题型。
【难度系数】
0.75

19. 求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如$\sqrt{4}$，有些数则不能直接求得，如$\sqrt{5}$，但可以通过计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得.请同学们观察下表：

(1)在表中所给的信息中，你能发现被开方数的小数点向左或向右移动$2n$位，算术平方根的小数点就向左或向右移动位.
(2)运用你发现的规律，探究下面的问题：已知$\sqrt{2.06} \approx 1.435$，填空：
①$\sqrt{0.020\ 6} \approx$；
②$\sqrt{2\ 060\ 000} \approx$.

19. (1)$n$ (2)①0.143 5 ②1 435

【分析】
首先解决第(1)问：观察表格中被开方数和对应算术平方根的小数点移动规律，对比相邻两组数据：比如被开方数从0.0016到0.16，小数点向右移动2位，对应的算术平方根从0.04到0.4，小数点向右移动1位；被开方数从0.16到16，小数点向右移动2位，算术平方根从0.4到4，小数点也向右移动1位，由此可推，被开方数小数点移动2n位时，算术平方根的小数点对应移动n位。
然后解决第(2)问：运用第(1)问总结的规律，对比所求数和已知$\sqrt{2.06}$的被开方数的小数点移动位数，对应推导算术平方根的数值：①0.0206相对2.06，小数点向左移动了2位，所以算术平方根的小数点向左移动1位；②2060000相对2.06，小数点向右移动了6位（即2×3位），所以算术平方根的小数点向右移动3位。
【解析】
(1) 观察表格数据：
被开方数0.0016→0.16，小数点右移2位，对应算术平方根0.04→0.4，小数点右移1位；
被开方数0.16→16，小数点右移2位，对应算术平方根0.4→4，小数点右移1位；
以此类推，可得被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位。
(2) 已知$\sqrt{2.06} \approx 1.435$：
① 0.0206是将2.06的小数点向左移动2位，根据规律，算术平方根的小数点向左移动1位，因此$\sqrt{0.0206} \approx 0.1435$；
② 2060000是将2.06的小数点向右移动6位（即2×3位），根据规律，算术平方根的小数点向右移动3位，因此$\sqrt{2060000} \approx 1435$。
【答案】
(1)$n$；(2)①$0.1435$；②$1435$
【知识点】
算术平方根的性质、小数点移动规律
【点评】
本题考查算术平方根随被开方数变化的规律，需要先通过观察已知数据归纳出通用规律，再将规律应用到计算中，侧重考查归纳总结能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.8