15. 已知关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}\dfrac{x-1}{2} ＞ x-2, \\ 2x-5 ＜ 3x-a\end{cases}$ 有5个整数解，则 $ a $ 的取值范围是 （ ）

A.$ 2 ＜ a ＜ 3 $
B.$ 2 ≤ a ≤ 3 $
C.$ 2 ≤ a ＜ 3 $
D.$ 3 ≤ a ＜ 4 $

15.C

【分析】
要解决这类含参数的不等式组整数解问题，解题思路分为三步：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，第二步合并得到不等式组含参数的解集，第三步根据整数解的个数确定参数的取值范围，重点要注意解集边界处等号是否能够成立，避免出现多解或者漏解的情况。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式 $\frac{x-1}{2} ＞ x-2$：
两边同时乘2得：$x-1 ＞ 2(x-2)$
去括号得：$x-1 ＞ 2x -4$
移项合并同类项得：$-x ＞ -3$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＜ 3$
2. 解不等式 $2x -5 ＜ 3x -a$：
移项得：$2x -3x ＜ 5 -a$
合并同类项得：$-x ＜ 5 -a$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ a-5$
因此原不等式组的解集为 $a-5 ＜ x ＜ 3$。
已知不等式组有5个整数解，小于3的整数从大到小依次为2、1、0、-1、-2，共5个，说明$x$能取到-2，但不能取到-3，因此可得：
$-3 ≤ a-5 ＜ -2$
不等式三边同时加5，得：
$2 ≤ a ＜ 3$
【答案】
C
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集；不等式组的整数解
【点评】
本题是一元一次不等式组整数解的常考题型，核心难点在于确定参数边界的等号取值，需要结合整数解的个数验证边界是否可取，避免因等号判断错误失分。
【难度系数】
0.6

16.已知方程组$\begin{cases} x+y=-7-m, \\ x-y=1+3m \end{cases}$的解满足$x$为非正数，$y$为负数.
(1)求$m$的取值范围.
(2)化简:$|m-5|-|m+2|$.
(3)在$m$的取值范围内，当$m$为何整数时，不等式$2mx+x＜2m+1$的解为$x＞1$?

16.解:(1)解方程组$\begin{cases} x+y=-7-m, \\ x-y=1+3m, \end{cases}$得$\begin{cases} x=m-3, \\ y=-4-2m. \end{cases}$
$\because x$为非正数,$y$为负数,$\therefore \begin{cases} m-3≤0, \\ -4-2m＜0. \end{cases}$解得$-2＜m≤3.$
(2)$\because -2＜m≤3,\therefore m-5＜0,m+2＞0,$
则原式$=5-m-m-2=3-2m.$
(3)由不等式$2mx+x＜2m+1$的解为$x＞1$,知$2m+1＜0.$
$\therefore m＜-\dfrac{1}{2}.$
又$\because -2＜m≤3,\therefore -2＜m＜-\dfrac{1}{2}.$
$\because m$为整数,$\therefore m=-1.$

【分析】
(1) 先把m当作已知数，解二元一次方程组，得到x、y用含m的代数式表示的结果；再根据“x为非正数即x≤0，y为负数即y＜0”的条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围。
(2) 化简绝对值的关键是判断绝对值内式子的正负性，结合第(1)问求出的m的取值范围，分别判断m-5和m+2的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可完成化简。
(3) 先对不等式合并同类项整理，已知不等式的解集为x＞1，不等号方向发生改变，根据不等式的性质可知未知数x的系数为负数，由此列出关于m的不等式求出m的范围，再结合第(1)问的m的取值范围，找出范围内的整数即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x+y=-7-m, \\ x-y=1+3m \end{cases}$，
两式相加得：$2x=-6+2m$，解得$x=m-3$，
两式相减得：$2y=-8-4m$，解得$y=-4-2m$，
∵x为非正数，y为负数，
∴$\begin{cases} m-3≤0, \\ -4-2m＜0 \end{cases}$，
解$m-3≤0$得$m≤3$，解$-4-2m＜0$得$m＞-2$，
∴m的取值范围是$-2＜m≤3$。
(2) 由(1)知$-2＜m≤3$，
∴$m-5＜0$，$m+2＞0$，
∴$|m-5|-|m+2|=-(m-5)-(m+2)=5-m-m-2=3-2m$。
(3) 整理不等式$2mx+x＜2m+1$得：$(2m+1)x＜2m+1$，
∵不等式的解为$x＞1$，不等号方向改变，
∴$2m+1＜0$，解得$m＜-\dfrac{1}{2}$，
结合(1)的取值范围得$-2＜m＜-\dfrac{1}{2}$，
∵m为整数，
∴$m=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2＜m≤3}$
(2) $\boldsymbol{3-2m}$
(3) $\boldsymbol{m=-1}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式（组）的解法；绝对值的化简
【点评】
本题属于代数综合题，解题核心是先通过方程组用含m的代数式表示x、y，再结合已知条件求出m的取值范围，后续问题都围绕m的范围展开求解。解题时需注意非正数、负数的边界取值不要混淆，同时要牢记不等式两边同时乘除负数时不等号方向要改变，这是本题的主要易错点。
【难度系数】
0.6

17. 定义:如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式.例如:不等式$x＜-3$的解都是不等式$x＜-1$的解,则$x＜-3$是$x＜-1$的蕴含不等式.
(1)在不等式$x＞1,x＞3,x＜4$中,是$x＞2$的蕴含不等式的是________;
(2)若$x＞-6$是$3(x-1)＞2x-m$的蕴含不等式,求$m$的取值范围;
(3)若$x＜-2n+4$是$x＜2$的蕴含不等式,试判断$x＜-n+3$是否是$x＜2$的蕴含不等式,并说明理由.

17.(1)$x＞3$
(2)解:解不等式$3(x-1)＞2x-m$可得$x＞3-m$,则$3-m≤-6$,解得$m≥9.$
故$m$的取值范围是$m≥9.$
(3)解:是.理由如下:依题意,有$-2n+4≤2$,解得$n≥1$,$x＜-n+3$的范围是$x＜2$,
故$x＜-n+3$是$x＜2$的蕴含不等式.

【分析】
首先明确“蕴含不等式”的核心含义：若不等式①是不等式②的蕴含不等式，则①的所有解都满足②，即①的解集完全在②的解集范围内，①的解集边界比②的边界更严格。
(1) 要找$x＞2$的蕴含不等式，只需判断哪个不等式的所有解都满足$x＞2$即可；
(2) 先求解不等式$3(x-1)＞2x-m$得到其解集，再根据“$x＞-6$是它的蕴含不等式”，可知所有$x＞-6$的解都符合该不等式，因此解集的边界$3-m$要小于等于$-6$，列不等式求解$m$的范围即可；
(3) 先根据“$x＜-2n+4$是$x＜2$的蕴含不等式”列不等式求出$n$的取值范围，再推导$x＜-n+3$的解集边界和2的大小关系，判断是否符合蕴含不等式的要求。
【解析】
(1) 逐一验证三个不等式：
$x＞1$的解中$1＜x≤2$的部分不满足$x＞2$，不符合要求；$x＞3$的所有解都大于2，全部满足$x＞2$，符合要求；$x＜4$的解中存在大量小于等于2的数，不符合要求。
故填$x＞3$。
(2) 解不等式$3(x-1)＞2x-m$：
去括号得$3x-3＞2x-m$，
移项合并同类项得$x＞3-m$。
∵$x＞-6$是该不等式的蕴含不等式，即所有$x＞-6$的解都满足$x＞3-m$，
∴$3-m≤-6$，
解得$m≥9$。
即$m$的取值范围是$m≥9$。
(3) 是，理由如下：
∵$x＜-2n+4$是$x＜2$的蕴含不等式，
∴$-2n+4≤2$，
解得$n≥1$。
对$n≥1$两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-n≤-1$，
两边同时加3得$-n+3≤2$，
即$x＜-n+3$的所有解都满足$x＜2$，
故$x＜-n+3$是$x＜2$的蕴含不等式。
【答案】
(1)$x＞3$
(2)$m≥9$
(3)是，理由见解析
【知识点】
1. 一元一次不等式求解
2. 新定义问题
3. 不等式解集判断
【点评】
本题结合新定义考查不等式解集的包含关系，解题关键是将新定义转化为解集边界的大小关系列不等式求解，需注意解不等式时不等号方向的变化，以及等号是否成立的判断。
【难度系数】
0.7