12.已知:如图所示,$∠ B = ∠ C = 90°$,M是BC的中点,DM平分$∠ ADC$。
(1)求证:AM平分$∠ BAD$;
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由;
(3)线段CD,AB,AD间有怎样的数量关系?请说明理由。

12.解:(1)证明:作$ME ⊥ AD$于点E,$∵ MC ⊥ DC$,
$ME ⊥ DA$,DM平分$∠ ADC$,$∴ ME = MC$,$∵ M$为BC的中点,$∴ MB = MC$,$∴ ME = MB$,又$∵ ME ⊥ AD$,
$MB ⊥ AB$,$∴ AM$平分$∠ BAD$。

(2)$DM ⊥ AM$。理由:$∵ DM$平分$∠ CDA$,$AM$平分$∠ DAB$,$∴ ∠ 1 = ∠ 2$,$∠ 3 = ∠ 4$,$∵ ∠ B + ∠ C = 180°$,$∴ DC // AB$,$∴ ∠ CDA + ∠ BAD = 180°$,
$∴ ∠ 1 + ∠ 3 = 90°$,$∴ ∠ DMA = 180° - (∠ 1 + ∠ 3) = 90°$,即$DM ⊥ AM$。
(3)$CD + AB = AD$。理由:$∵ ME ⊥ AD$,$MC ⊥ CD$,
$∴ ∠ C = ∠ DEM = 90°$,在$Rt △ DCM$和$Rt △ DEM$中,$\begin{cases} DM = DM, \\ CM = EM, \end{cases} ∴ Rt △ DCM ≅ Rt △ DEM(\mathrm{HL})$,
$∴ CD = DE$,同理$AE = AB$,$∵ DE + AE = AD$,$∴ CD + AB = AD$。

【分析】
(1) 要证明AM平分∠BAD，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上。因此过点M作ME⊥AD于E，先根据DM平分∠ADC、MC⊥DC、ME⊥AD，由角平分线的性质得ME=MC；再结合M是BC中点得MC=MB，从而推出ME=MB，结合ME⊥AD、MB⊥AB，即可证得AM平分∠BAD。
(2) 判断DM与AM的位置关系，先由∠B和∠C均为90°得CD//AB，根据平行线同旁内角互补可得∠CDA+∠BAD=180°；再结合DM、AM分别是两个角的平分线，得∠1+∠3=90°，由此推出∠AMD=90°，即可得垂直关系。
(3) 探究CD、AB、AD的数量关系，可通过证明直角三角形全等转化线段：先证Rt△DCM≌Rt△DEM得CD=DE，再证Rt△AEM≌Rt△ABM得AB=AE，结合AD=DE+AE，即可推出三条线段的和差关系。
【解析】
(1)证明:作$ME ⊥ AD$于点E,$∵ MC ⊥ DC$,$ME ⊥ DA$,DM平分$∠ ADC$,$∴ ME = MC$,$∵ M$为BC的中点,$∴ MB = MC$,$∴ ME = MB$,又$∵ ME ⊥ AD$,$MB ⊥ AB$,$∴ AM$平分$∠ BAD$。

(2)$DM ⊥ AM$。理由:$∵ DM$平分$∠ CDA$,$AM$平分$∠ DAB$,$∴ ∠ 1 = ∠ 2$,$∠ 3 = ∠ 4$,$∵ ∠ B + ∠ C = 180°$,$∴ DC // AB$,$∴ ∠ CDA + ∠ BAD = 180°$,$∴ ∠ 1 + ∠ 3 = 90°$,$∴ ∠ DMA = 180° - (∠ 1 + ∠ 3) = 90°$,即$DM ⊥ AM$。
(3)$CD + AB = AD$。理由:$∵ ME ⊥ AD$,$MC ⊥ CD$,$∴ ∠ C = ∠ DEM = 90°$,在$Rt △ DCM$和$Rt △ DEM$中,$\begin{cases} DM = DM, \\ CM = EM, \end{cases} ∴ Rt △ DCM ≅ Rt △ DEM(\mathrm{HL})$,$∴ CD = DE$,同理$AE = AB$,$∵ DE + AE = AD$,$∴ CD + AB = AD$。
【答案】
(1) AM平分$∠BAD$，得证；
(2) $DM⊥AM$；
(3) $CD+AB=AD$。
【知识点】
角平分线的性质与判定，HL全等判定，平行线的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形的综合应用题，作点到角边的垂线是常用辅助线，解题时需结合已知条件转化线段和角的关系，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

13. 如图所示，$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$，过点$O$作一直线分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$，且$BE=EO$。
(1)说明$EF$与$CF$的数量关系；
(2)求点$O$到$BC$的距离。

13.解:(1)$EF = 2CF$。理由:
如图,$∵ BE = EO$,$∴ ∠ 1 = ∠ 2$,
$∵ △ ABC$中,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$,$∴ ∠ 1 = ∠ 3$,$∠ 4 = ∠ 5$,$∴ ∠ 2 = ∠ 3$,
$∴ EF // BC$,$∴ ∠ 4 = ∠ 5 = ∠ 6$,
$∴ OF = CF$。
$∵ AB = AC$,$∴ ∠ ABC = ∠ ACB$,$∵ EF // BC$,
$∴ ∠ ABC = ∠ AEF = ∠ ACB = ∠ AFE$,$∴ AE = AF$,
$∴ BE = CF$,$∴ EF = OE + OF = 2CF$。
(2)连接$AO$并延长交$BC$于点$D$。$∵ △ ABC$中,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$,$AB = AC$,$∴ AD ⊥ BC$,
$BD = CD = 3$,在$Rt △ ABD$中,$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$,$∴ S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$,$∵$点$O$是$△ ABC$三个内角平分线的交点,$∴$点$O$到三边的距离相等,即为$OD$的长,$∵ S_{△OBC} + S_{△OAC} + S_{△OAB} = S_{△ABC}$,$∴ \frac{1}{2}BC · OD + \frac{1}{2}AC · OD + \frac{1}{2}AB · OD = 12$。$∴ OD = 1.5$,$∴$点$O$到$BC$的距离是1.5。

【分析】
(1) 求解EF和CF的数量关系可按以下思路推导：首先根据已知BE=EO，结合等边对等角得∠1=∠2；再由OB是∠ABC的平分线得∠1=∠3，等量代换后得∠2=∠3，可推出EF//BC；接着结合OC平分∠ACB与平行线的内错角相等，可证得OF=CF；最后由AB=AC、EF//BC推出AE=AF，进而得BE=CF，结合EF=EO+OF即可得到二者的数量关系。
(2) 求点O到BC的距离，可利用角平分线的性质：角平分线交点到三角形三边距离相等。首先根据等腰三角形三线合一，连接AO延长交BC于D，可得AD⊥BC，先用勾股定理求出AD的长度，计算出△ABC的面积；再根据三个小三角形的面积和等于大三角形的面积，列方程即可求出O到BC的距离。
【解析】
(1) $EF = 2CF$，理由如下：
∵ $BE = EO$，
∴ $∠ 1 = ∠ 2$，
∵ $△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$，
∴ $∠ 1 = ∠ 3$，$∠ 4 = ∠ 5$，
∴ $∠ 2 = ∠ 3$，
∴ $EF // BC$，
∴ $∠ 4 = ∠ 6$，
∴ $∠ 5 = ∠ 6$，
∴ $OF = CF$。
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∵ $EF // BC$，
∴ $∠ ABC = ∠ AEF = ∠ ACB = ∠ AFE$，
∴ $AE = AF$，
∴ $BE = CF$，
∴ $EF = OE + OF = BE + CF = 2CF$。
(2) 连接$AO$并延长交$BC$于点$D$。
∵ $△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$，$AB = AC$，
∴ $AD ⊥ BC$，
$BD = CD = 3$，在$Rt △ ABD$中，$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$，
∵ 点$O$是$△ ABC$三个内角平分线的交点，
∴ 点$O$到三边的距离相等，即为$OD$的长，
∵ $S_{△OBC} + S_{△OAC} + S_{△OAB} = S_{△ABC}$，
∴ $\frac{1}{2}BC · OD + \frac{1}{2}AC · OD + \frac{1}{2}AB · OD = 12$，
代入$AB=AC=5,BC=6$解得$OD = 1.5$，即点$O$到$BC$的距离是1.5。
【答案】
(1) $EF=2CF$；(2) 点$O$到$BC$的距离为$1.5$

【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 角平分线的性质
3. 平行线的判定与性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、角平分线、平行线的性质，第二问用面积法求解角平分线交点到边的距离是几何常用技巧，解题时要注意利用角平分线交点到三边距离相等这一隐含性质，锻炼几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6