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6.已知△ABC,两个完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组对应边所对的顶点重合于点M,则点M一定在（
A.∠A的平分线上
B.AC边的高上
C.BC边的垂直平分线上
D.AB边的中线上
A
）A.∠A的平分线上
B.AC边的高上
C.BC边的垂直平分线上
D.AB边的中线上
答案
6.A
解析
【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：两个完全相同的三角尺，一组对应直角边分别在AB、AC上，对应顶点重合于M点。首先结合三角尺的直角特征可知，点M到AB的垂线段长度就是这组对应直角边的长度，点M到AC的垂线段长度也是这组对应直角边的长度，因此M到AB、AC的距离相等。再回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可确定M的位置。
【解析】
由题意得，两个三角尺完全相同，因此它们的这组对应直角边长度相等。
点M到AB边的距离等于该直角边的长度，点M到AC边的距离也等于该直角边的长度，即点M到∠A的两边AB、AC的距离相等。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此点M一定在∠A的平分线上。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题考查角平分线判定定理的实际应用，解题的关键是结合三角尺的特点提炼出点M到角两边距离相等的核心条件，属于基础题型，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先梳理已知条件：两个完全相同的三角尺，一组对应直角边分别在AB、AC上，对应顶点重合于M点。首先结合三角尺的直角特征可知，点M到AB的垂线段长度就是这组对应直角边的长度，点M到AC的垂线段长度也是这组对应直角边的长度，因此M到AB、AC的距离相等。再回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可确定M的位置。
【解析】
由题意得，两个三角尺完全相同，因此它们的这组对应直角边长度相等。
点M到AB边的距离等于该直角边的长度，点M到AC边的距离也等于该直角边的长度，即点M到∠A的两边AB、AC的距离相等。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此点M一定在∠A的平分线上。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题考查角平分线判定定理的实际应用，解题的关键是结合三角尺的特点提炼出点M到角两边距离相等的核心条件，属于基础题型，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图所示,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD。若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为
17
。答案
7.17
解析
【分析】首先根据尺规作图的特征，判断直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD。再将△ADC的周长通过等量代换转化为AC与BC的长度和，最后结合AB的长度即可求出△ABC的周长。
【解析】由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=BD$。
已知$△ ADC$的周长为10，即$AC + CD + AD = 10$，
将$AD=BD$代入上式得：$AC + CD + BD = AC + BC = 10$。
又已知$AB=7$，
因此$△ ABC$的周长为$AC + BC + AB = 10 + 7 = 17$。
【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】本题重点考查线段垂直平分线的性质应用，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量代换，把未知的边长和转化为已知的周长条件，属于基础常规题型。
【难度系数】0.8
【解析】由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=BD$。
已知$△ ADC$的周长为10，即$AC + CD + AD = 10$，
将$AD=BD$代入上式得：$AC + CD + BD = AC + BC = 10$。
又已知$AB=7$，
因此$△ ABC$的周长为$AC + BC + AB = 10 + 7 = 17$。
【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】本题重点考查线段垂直平分线的性质应用，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量代换，把未知的边长和转化为已知的周长条件，属于基础常规题型。
【难度系数】0.8
8.如图所示,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=15°,AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$,交$AB$于点$E$,若$DB=14\ \mathrm{cm}$,则$AC=$
7 cm
。答案
8.7 cm
解析
【分析】
遇到含线段垂直平分线的几何题，首先考虑垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，因此先连接辅助线AD，可得AD=BD；再结合等腰三角形等边对等角的性质，可得∠BAD=∠B，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可求出直角三角形ACD中∠ADC的度数；最后根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，D在DE上，
∴AD=DB=14 cm，
∴∠BAD=∠B=15°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=15°+15°=30°，
又
∵∠C=90°，即△ADC是直角三角形，
∴在Rt△ADC中，$AC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×14=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
7 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何综合基础题，解题核心是通过构造辅助线AD，将已知的边长、角度条件转化到同一个直角三角形中，利用特殊直角三角形的性质求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质和常见辅助线的构造方法，能大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
遇到含线段垂直平分线的几何题，首先考虑垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，因此先连接辅助线AD，可得AD=BD；再结合等腰三角形等边对等角的性质，可得∠BAD=∠B，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可求出直角三角形ACD中∠ADC的度数；最后根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，D在DE上，
∴AD=DB=14 cm，
∴∠BAD=∠B=15°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=15°+15°=30°，
又
∵∠C=90°，即△ADC是直角三角形，
∴在Rt△ADC中，$AC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×14=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
7 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何综合基础题，解题核心是通过构造辅助线AD，将已知的边长、角度条件转化到同一个直角三角形中，利用特殊直角三角形的性质求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质和常见辅助线的构造方法，能大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
9.如图所示,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AD$平分$∠ CAB,DE ⊥ AB$于点$E$,且$DE=15\ \mathrm{cm},BE=8\ \mathrm{cm}$,则$BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
9.32
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想相关定理：首先看到AD是∠CAB的角平分线，且DC⊥AC、DE⊥AB，根据角平分线的性质可直接得到CD的长度等于DE的长度；接下来要求BC的长度，BC由CD和BD两部分组成，已知DE垂直AB，△BDE是直角三角形，可利用勾股定理求出BD的长度，最后将CD与BD相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，得CD = DE = 15 cm。
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，即△BDE是直角三角形。
在Rt△BDE中，DE=15 cm，BE=8 cm，由勾股定理得：
$BD^2 = DE^2 + BE^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$，
∴BD = 17 cm（线段长度为正，舍去负根）。
∴BC = CD + BD = 15 + 17 = 32 cm。
【答案】
32
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，快速得到CD的长度，再结合勾股定理求出未知线段长，只要熟练掌握两个基础定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件联想相关定理：首先看到AD是∠CAB的角平分线，且DC⊥AC、DE⊥AB，根据角平分线的性质可直接得到CD的长度等于DE的长度；接下来要求BC的长度，BC由CD和BD两部分组成，已知DE垂直AB，△BDE是直角三角形，可利用勾股定理求出BD的长度，最后将CD与BD相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，得CD = DE = 15 cm。
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，即△BDE是直角三角形。
在Rt△BDE中，DE=15 cm，BE=8 cm，由勾股定理得：
$BD^2 = DE^2 + BE^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$，
∴BD = 17 cm（线段长度为正，舍去负根）。
∴BC = CD + BD = 15 + 17 = 32 cm。
【答案】
32
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，快速得到CD的长度，再结合勾股定理求出未知线段长，只要熟练掌握两个基础定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
10.如图所示，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB=3，BC=4，若$S_{△ ABC}=7$，则DE=
2
。答案
10.2
解析
【分析】
首先观察题目条件，BD是∠ABC的平分线，且DE、DF分别垂直于角的两边AB、BC，可优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得DE=DF。再观察△ABC的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，两个小三角形的高分别为DE、DF（二者相等），底分别为已知的AB、BC，代入面积公式即可列方程求出DE的长度。
【解析】
∵ BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC
∴ 根据角平分线的性质，得 DE = DF
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$
且 $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BC × DF = \frac{1}{2} × BC × DE$
代入已知条件AB=3，BC=4，$S_{△ ABC}=7$，得：
$\frac{1}{2} × 3 × DE + \frac{1}{2} × 4 × DE = 7$
整理得：$\frac{7}{2} DE = 7$
解得：$DE = 2$
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过角平分线性质得到两条高相等，再利用分割法表示大三角形的面积建立方程求解，熟练掌握角平分线的应用场景能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察题目条件，BD是∠ABC的平分线，且DE、DF分别垂直于角的两边AB、BC，可优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得DE=DF。再观察△ABC的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，两个小三角形的高分别为DE、DF（二者相等），底分别为已知的AB、BC，代入面积公式即可列方程求出DE的长度。
【解析】
∵ BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC
∴ 根据角平分线的性质，得 DE = DF
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$
且 $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BC × DF = \frac{1}{2} × BC × DE$
代入已知条件AB=3，BC=4，$S_{△ ABC}=7$，得：
$\frac{1}{2} × 3 × DE + \frac{1}{2} × 4 × DE = 7$
整理得：$\frac{7}{2} DE = 7$
解得：$DE = 2$
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过角平分线性质得到两条高相等，再利用分割法表示大三角形的面积建立方程求解，熟练掌握角平分线的应用场景能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11.如图所示,矩形ABCD中,AB=8,BC=16,对角线BD的垂直平分线交AD于点E,交BC于点F,连接BE。
(1)求BE的长;
(2)求△BDE的面积。
11.如图所示,矩形ABCD中,AB=8,BC=16,对角线BD的垂直平分线交AD于点E,交BC于点F,连接BE。
(1)求BE的长;
(2)求△BDE的面积。
答案
11.(1)$BE=10$
(2)由(1)得$BE = DE = 10$,
$\therefore S_{△ BDE} = \frac{1}{2}ED · AB = \frac{1}{2} × 10 × 8 = 40$。
(2)由(1)得$BE = DE = 10$,
$\therefore S_{△ BDE} = \frac{1}{2}ED · AB = \frac{1}{2} × 10 × 8 = 40$。
解析
【分析】
(1) 先利用线段垂直平分线的性质得到BE=DE，再结合矩形对边相等的性质得到AD=BC=16，可推出AE=16-BE，最后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程即可求解BE的长度；
(2) 由(1)得DE=BE，△BDE以DE为底时，高等于矩形的边AB的长度，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=16，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
设BE=x，则DE=x，AE=AD-DE=16-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2+AE^2=BE^2$，
代入AB=8得：$8^2+(16-x)^2=x^2$，
展开计算：$64+256-32x+x^2=x^2$，
化简得：$320-32x=0$，解得$x=10$，
∴BE=10。
(2) 由(1)可知DE=BE=10，
∵在矩形ABCD中，AB⊥AD，AB是△BDE中DE边上的高，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} × DE × AB=\frac{1}{2} ×10×8=40$。
【答案】
(1)$BE=10$；(2)$S_{△ BDE}=40$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，结合勾股定理用方程思想求解线段长度，再代入面积公式计算即可，对基础几何性质的熟练掌握是解题前提。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用线段垂直平分线的性质得到BE=DE，再结合矩形对边相等的性质得到AD=BC=16，可推出AE=16-BE，最后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程即可求解BE的长度；
(2) 由(1)得DE=BE，△BDE以DE为底时，高等于矩形的边AB的长度，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=16，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
设BE=x，则DE=x，AE=AD-DE=16-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2+AE^2=BE^2$，
代入AB=8得：$8^2+(16-x)^2=x^2$，
展开计算：$64+256-32x+x^2=x^2$，
化简得：$320-32x=0$，解得$x=10$，
∴BE=10。
(2) 由(1)可知DE=BE=10，
∵在矩形ABCD中，AB⊥AD，AB是△BDE中DE边上的高，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} × DE × AB=\frac{1}{2} ×10×8=40$。
【答案】
(1)$BE=10$；(2)$S_{△ BDE}=40$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，结合勾股定理用方程思想求解线段长度，再代入面积公式计算即可，对基础几何性质的熟练掌握是解题前提。
【难度系数】
0.7
