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一、选择题
1. 如图所示，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=50°$，$AB$的垂直平分线交$AB$于$D$，交$AC$于$E$，连接$BE$，则$∠ EBC$的度数是 （
A.$15°$
B.$20°$
C.$65°$
D.$100°$
1. 如图所示，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=50°$，$AB$的垂直平分线交$AB$于$D$，交$AC$于$E$，连接$BE$，则$∠ EBC$的度数是 （
A
）A.$15°$
B.$20°$
C.$65°$
D.$100°$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先从已知的等腰三角形条件出发，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和先算出底角∠ABC的度数；再根据线段垂直平分线的性质，得到EA=EB，进而推出∠EBA和顶角∠A相等；最后用∠ABC减去∠EBA就能求出∠EBC的度数，过程中要注意区分各个角的对应关系，避免混淆底角和要求的角。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=(180°−∠A)÷2=(180°−50°)÷2=65°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=50°，
∴∠EBC=∠ABC−∠EBA=65°−50°=15°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，将等腰三角形性质与线段垂直平分线性质结合考查，解题关键是理清角之间的和差关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的等腰三角形条件出发，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和先算出底角∠ABC的度数；再根据线段垂直平分线的性质，得到EA=EB，进而推出∠EBA和顶角∠A相等；最后用∠ABC减去∠EBA就能求出∠EBC的度数，过程中要注意区分各个角的对应关系，避免混淆底角和要求的角。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=(180°−∠A)÷2=(180°−50°)÷2=65°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=50°，
∴∠EBC=∠ABC−∠EBA=65°−50°=15°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，将等腰三角形性质与线段垂直平分线性质结合考查，解题关键是理清角之间的和差关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示，在$△ ABC$中，$AC$的垂直平分线分别交$AC$，$BC$于$E$，$D$两点，$EC = 4$，$△ ABC$的周长为23，则$△ ABD$的周长为（
A.13
B.15
C.17
D.19
B
）A.13
B.15
C.17
D.19
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。首先由DE是AC的垂直平分线，可得AD=CD，且AC的长度是EC的2倍。我们要求△ABD的周长，可将其边长通过等量代换转化为和△ABC周长相关的式子：△ABD的周长为AB+BD+AD，把AD替换为相等的CD后，式子就变为AB+BD+CD=AB+BC，因此只需要用△ABC的周长减去AC的长度，就能得到△ABD的周长。
【解析】
∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，AC=2EC
已知EC=4，可得AC=2×4=8
∵△ABC的周长为23，即AB+BC+AC=23
∴AB+BC=23-AC=23-8=15
△ABD的周长=AB+BD+AD
将AD=CD代入，得：
△ABD的周长=AB+BD+CD=AB+BC=15
故选B
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质做边长的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知周长和已知边长的差，不需要单独计算各边长度，简化了计算过程，熟练掌握基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。首先由DE是AC的垂直平分线，可得AD=CD，且AC的长度是EC的2倍。我们要求△ABD的周长，可将其边长通过等量代换转化为和△ABC周长相关的式子：△ABD的周长为AB+BD+AD，把AD替换为相等的CD后，式子就变为AB+BD+CD=AB+BC，因此只需要用△ABC的周长减去AC的长度，就能得到△ABD的周长。
【解析】
∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，AC=2EC
已知EC=4，可得AC=2×4=8
∵△ABC的周长为23，即AB+BC+AC=23
∴AB+BC=23-AC=23-8=15
△ABD的周长=AB+BD+AD
将AD=CD代入，得：
△ABD的周长=AB+BD+CD=AB+BC=15
故选B
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质做边长的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知周长和已知边长的差，不需要单独计算各边长度，简化了计算过程，熟练掌握基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
3.如图所示，点P是$∠ AOB$的平分线OC上一点，$PD⊥ OB$，垂足为D，若$PD=2$，点Q是OA上的一个动点，则PQ的最小值是（
A.1
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.4
B
）A.1
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.4
答案
3.B
解析
【分析】
本题是动点求线段最小值的问题，首先思考定点到直线上动点的线段长度最小值的规律：根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当PQ⊥OA时，PQ的长度最小。接下来结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知P在∠AOB的平分线OC上，PD⊥OB且PD=2，因此P到OA的距离等于PD的长度，即可求出PQ的最小值。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质可知，当PQ⊥OA时，PQ的长度最小。
∵OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，且PD⊥OB，PQ⊥OA，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PD，
又
∵PD=2，
∴PQ的最小值为2，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，解题关键是先确定线段取最小值的位置，再结合角平分线的性质快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
本题是动点求线段最小值的问题，首先思考定点到直线上动点的线段长度最小值的规律：根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当PQ⊥OA时，PQ的长度最小。接下来结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知P在∠AOB的平分线OC上，PD⊥OB且PD=2，因此P到OA的距离等于PD的长度，即可求出PQ的最小值。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质可知，当PQ⊥OA时，PQ的长度最小。
∵OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，且PD⊥OB，PQ⊥OA，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PD，
又
∵PD=2，
∴PQ的最小值为2，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，解题关键是先确定线段取最小值的位置，再结合角平分线的性质快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
4. 如图所示，已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等，则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰好在∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点处。上述结论中，正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.D
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。我们可以结合已知条件“点P到BE,BD,AC的距离恰好相等”，分别判断每个结论对应的角的两边，验证点P是否满足该角平分线的判定条件，最后综合判断即可得出结论。
【解析】
根据角平分线的判定定理逐一分析：
1. ∠B的两边是BD和BE，已知点P到BD、BE的距离相等，因此点P在∠B的平分线上，①正确；
2. ∠DAC的两边是BD和AC，已知点P到BD、AC的距离相等，因此点P在∠DAC的平分线上，②正确；
3. ∠ECA的两边是AC和BE，已知点P到AC、BE的距离相等，因此点P在∠ECA的平分线上，③正确；
4. 由①②③的结论可推得，点P恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三个角的平分线的交点，④正确。
综上，4个结论全部正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用，解题的关键是准确对应每个角的两条边，结合点到两边距离相等的条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。我们可以结合已知条件“点P到BE,BD,AC的距离恰好相等”，分别判断每个结论对应的角的两边，验证点P是否满足该角平分线的判定条件，最后综合判断即可得出结论。
【解析】
根据角平分线的判定定理逐一分析：
1. ∠B的两边是BD和BE，已知点P到BD、BE的距离相等，因此点P在∠B的平分线上，①正确；
2. ∠DAC的两边是BD和AC，已知点P到BD、AC的距离相等，因此点P在∠DAC的平分线上，②正确；
3. ∠ECA的两边是AC和BE，已知点P到AC、BE的距离相等，因此点P在∠ECA的平分线上，③正确；
4. 由①②③的结论可推得，点P恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三个角的平分线的交点，④正确。
综上，4个结论全部正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用，解题的关键是准确对应每个角的两条边，结合点到两边距离相等的条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示，$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$O$，连接$OA$，下面说法正确的是（
A.$∠ 1 ＞ ∠ 2$
B.$∠ 1 = ∠ 2$
C.$∠ 1 ＜ ∠ 2$
D.不能确定$∠ 1$与$∠ 2$的大小关系
B
）A.$∠ 1 ＞ ∠ 2$
B.$∠ 1 = ∠ 2$
C.$∠ 1 ＜ ∠ 2$
D.不能确定$∠ 1$与$∠ 2$的大小关系
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先观察题干给出的条件：已知△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，首先回忆三角形角平分线的相关性质：三角形的三条内角平分线会交于同一个点，由此可推出点O也在∠BAC的角平分线上，即OA是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的定义就能判断∠1和∠2的大小关系。
【解析】
解：
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
根据三角形三条内角平分线交于同一点的性质，可得点O在∠BAC的角平分线上，即OA平分∠BAC，
根据角平分线的定义，可知∠1=∠2。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
三角形角平分线性质；角平分线定义
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查三角形角平分线的性质，解题的关键是熟记三角形三条内角平分线交于同一点的结论，熟练掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干给出的条件：已知△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，首先回忆三角形角平分线的相关性质：三角形的三条内角平分线会交于同一个点，由此可推出点O也在∠BAC的角平分线上，即OA是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的定义就能判断∠1和∠2的大小关系。
【解析】
解：
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
根据三角形三条内角平分线交于同一点的性质，可得点O在∠BAC的角平分线上，即OA平分∠BAC，
根据角平分线的定义，可知∠1=∠2。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
三角形角平分线性质；角平分线定义
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查三角形角平分线的性质，解题的关键是熟记三角形三条内角平分线交于同一点的结论，熟练掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
