14. 如图所示,在△ABC和△DCB中,∠A = ∠D =90°,AC = BD,AC与BD交于点O。
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)△OBC为何种三角形? 证明你的结论。

14.(1)证明:在△ABC和△DCB中,∠A = ∠D = 90°,BC = BC,AC = BD,
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DCB(HL)。
(2)△OBC为等腰三角形。
证明:
∵ Rt△ABC≌Rt△DCB,
∴ ∠ACB = ∠DBC,
∴ OB = OC,
∴ △OBC是等腰三角形。

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DCB，首先观察到两个三角形都是直角三角形，已知一组直角边AC=BD，还有公共斜边BC=BC，满足直角三角形全等的HL判定条件，因此可通过HL定理证明全等。
(2) 判断△OBC的形状时，可先利用第一问的全等结论，得到对应角∠ACB=∠DBC，再根据等腰三角形“等角对等边”的判定依据，得到OB=OC，即可判定△OBC的形状。
【解析】
(1) 证明：在△ABC和△DCB中，∠A = ∠D = 90°，
∴△ABC和△DCB均为直角三角形，
又
∵BC = CB（公共边），AC = BD，
∴Rt△ABC ≌ Rt△DCB（HL）。
(2) △OBC为等腰三角形，证明如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB = ∠DBC（全等三角形的对应角相等），
∴OB = OC（等角对等边），
∴△OBC是等腰三角形。
【答案】
(1) △ABC≌△DCB，证明如上；
(2) △OBC是等腰三角形，证明如上。
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，结合了直角三角形全等判定、全等性质和等腰三角形判定多个考点，解题的关键是找准全等的判定条件，合理利用全等的结论推导角的等量关系。
【难度系数】
0.8

15.如图所示,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$上一点,$∠ B=30°$,连接$AD$。
(1)若$∠ BAD=45°$,求证:$△ ACD$为等腰三角形;
(2)若$△ ACD$为直角三角形,求$∠ BAD$的度数。

15.解:(1)略
(2)有两种情况:①当∠ADC = 90°时,
∵ ∠B = 30°,
∴ ∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°;②当∠CAD = 90°时,∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 30° = 120°,∠BAD = ∠BAC - ∠CAD = 120° - 90° = 30°。综上,∠BAD的度数为60°或30°。

【分析】
(1) 要证明△ACD为等腰三角形，先利用等腰△ABC的性质得到底角∠C的度数和顶角∠BAC的度数，再结合已知∠BAD的度数求出∠CAD和∠ADC的度数，通过“等角对等边”即可完成证明。
(2) △ACD为直角三角形时直角顶点不确定，需分两种情况讨论：①直角顶点为D，即∠ADC=90°；②直角顶点为A，即∠CAD=90°，结合三角形内角和及角度和差关系分别计算∠BAD的度数即可，∠C=30°不可能为直角，无需讨论该情况。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，$∠B=30°$，
∴ $∠C=∠B=30°$，
∴ $∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°$，
∵ $∠BAD=45°$，
∴ $∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°$，
在△ACD中，$∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-30°-75°=75°$，
∴ $∠CAD=∠ADC$，
∴ $AC=CD$，即△ACD为等腰三角形。
(2) 解：△ACD为直角三角形，分两种情况讨论：
① 当$∠ADC=90°$时，在Rt△ABD中$∠ADB=90°$，
∵ $∠B=30°$，直角三角形两锐角互余，
∴ $∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°$；
② 当$∠CAD=90°$时，由(1)可知$∠BAC=120°$，
∴ $∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-90°=30°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $∠BAD$的度数为$60°$或$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考查等腰三角形、直角三角形的性质应用，解题的关键是第二问要结合图形对直角顶点的位置进行分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7