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二、填空题
9. 如图所示,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$DE$过点$C$,且$DE// AB$,若$∠ ACD = 50°$,则$∠ A =$
9. 如图所示,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$DE$过点$C$,且$DE// AB$,若$∠ ACD = 50°$,则$∠ A =$
50°
,$∠ B =$40°
。答案
9.50° 40°
解析
【分析】
解题时先利用平行线的性质求解∠A的度数，再结合直角三角形的性质计算∠B的度数。首先观察图形可知DE//AB，∠A与∠ACD是一组内错角，根据“两直线平行，内错角相等”可直接得出∠A的度数；再根据直角三角形的两个锐角互余，用90°减去∠A的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
1. 求∠A的度数：
∵ DE//AB，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，
∴ ∠A = ∠ACD，
又
∵ ∠ACD = 50°，
∴ ∠A = 50°。
2. 求∠B的度数：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，直角三角形的两个锐角互余，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
∴ ∠B = 90° - ∠A = 90° - 50° = 40°。
【答案】
50°；40°
【知识点】
平行线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查平行线性质和直角三角形性质的综合运用，解题的关键是准确识别平行线形成的内错角，牢记几何图形的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行线的性质求解∠A的度数，再结合直角三角形的性质计算∠B的度数。首先观察图形可知DE//AB，∠A与∠ACD是一组内错角，根据“两直线平行，内错角相等”可直接得出∠A的度数；再根据直角三角形的两个锐角互余，用90°减去∠A的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
1. 求∠A的度数：
∵ DE//AB，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，
∴ ∠A = ∠ACD，
又
∵ ∠ACD = 50°，
∴ ∠A = 50°。
2. 求∠B的度数：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，直角三角形的两个锐角互余，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
∴ ∠B = 90° - ∠A = 90° - 50° = 40°。
【答案】
50°；40°
【知识点】
平行线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查平行线性质和直角三角形性质的综合运用，解题的关键是准确识别平行线形成的内错角，牢记几何图形的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
10.如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$是$BC$上一点,$AD=BD$,若$AB=8$,$BD=5$,则$CD=\_\_\_\_\_\_$。
答案
10.1.4
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形“等边对等边”的性质，由AD=BD得到AD的长度；观察图形可知Rt△ABC和Rt△ACD共用直角边AC，因此可以通过勾股定理分别在两个直角三角形中表示出AC²，以AC²为等量关系建立方程，设CD为未知数求解即可，利用公共边建立等量关系是勾股定理解几何题的常用思路。
【解析】
解：设$CD=x$，
∵$AD=BD=5$，
∴$BC=BD+CD=5+x$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=8^2-(5+x)^2$ ①
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2-CD^2=5^2-x^2$ ②
联立①②可得方程：
$64-(5+x)^2=25-x^2$
展开并化简：
$64-25-10x-x^2=25-x^2$
消去$x^2$后整理得：
$39-10x=25$
解得$x=1.4$
【答案】
1.4
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；方程法解几何
【点评】
本题是勾股定理与等腰三角形性质的基础综合题，解题关键是抓住两个直角三角形的公共直角边作为等量关系列方程，掌握该方法可快速解决同类直角三角形边长求解问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等腰三角形“等边对等边”的性质，由AD=BD得到AD的长度；观察图形可知Rt△ABC和Rt△ACD共用直角边AC，因此可以通过勾股定理分别在两个直角三角形中表示出AC²，以AC²为等量关系建立方程，设CD为未知数求解即可，利用公共边建立等量关系是勾股定理解几何题的常用思路。
【解析】
解：设$CD=x$，
∵$AD=BD=5$，
∴$BC=BD+CD=5+x$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=8^2-(5+x)^2$ ①
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2-CD^2=5^2-x^2$ ②
联立①②可得方程：
$64-(5+x)^2=25-x^2$
展开并化简：
$64-25-10x-x^2=25-x^2$
消去$x^2$后整理得：
$39-10x=25$
解得$x=1.4$
【答案】
1.4
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；方程法解几何
【点评】
本题是勾股定理与等腰三角形性质的基础综合题，解题关键是抓住两个直角三角形的公共直角边作为等量关系列方程，掌握该方法可快速解决同类直角三角形边长求解问题。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=AE,DE⊥AB于点E,∠CDA=β,则∠B=
2β-90°
。答案
11.2β-90°
解析
【分析】
解题时首先观察图形和已知条件：存在两个直角三角形Rt△ACD和Rt△AED，且有一组直角边AC=AE、公共斜边AD，可优先考虑用HL定理证明两三角形全等，得到对应角∠ADC=∠ADE=β；再结合平角的性质求出∠EDB的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90°
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\AC=AE\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠ADC=∠ADE=β
∴∠EDB=180°-∠ADC-∠ADE=180°-2β
又
∵DE⊥AB，即∠DEB=90°
∴在Rt△BDE中，∠B+∠EDB=90°
代入∠EDB的度数得：
∠B=90°-(180°-2β)=2β-90°
【答案】
2β-90°
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是通过全等三角形实现角度的转化，再结合直角三角形的角度性质推导结果，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形和已知条件：存在两个直角三角形Rt△ACD和Rt△AED，且有一组直角边AC=AE、公共斜边AD，可优先考虑用HL定理证明两三角形全等，得到对应角∠ADC=∠ADE=β；再结合平角的性质求出∠EDB的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90°
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\AC=AE\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠ADC=∠ADE=β
∴∠EDB=180°-∠ADC-∠ADE=180°-2β
又
∵DE⊥AB，即∠DEB=90°
∴在Rt△BDE中，∠B+∠EDB=90°
代入∠EDB的度数得：
∠B=90°-(180°-2β)=2β-90°
【答案】
2β-90°
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是通过全等三角形实现角度的转化，再结合直角三角形的角度性质推导结果，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示，在等边三角形ABC中，BE和CD分别是AC，AB边上的高，则∠BFC的度数为
120°
。答案
12.120°
解析
【分析】
解题思路如下：首先，等边三角形的三个内角均为60°，且等边三角形属于特殊的等腰三角形，满足“三线合一”的性质，即边上的高同时对应这条边所对角的角平分线。我们可以先利用该性质求出△BFC中两个底角∠FBC、∠FCB的度数，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠BFC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BE是AC边上的高，CD是AB边上的高，根据等边三角形三线合一的性质
∴BE平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴∠FBC=½∠ABC=½×60°=30°，∠FCB=½∠ACB=½×60°=30°
在△BFC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-30°-30°=120°
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用等边三角形的特殊性质推导角的度数，再结合三角形内角和求解，熟练掌握特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，等边三角形的三个内角均为60°，且等边三角形属于特殊的等腰三角形，满足“三线合一”的性质，即边上的高同时对应这条边所对角的角平分线。我们可以先利用该性质求出△BFC中两个底角∠FBC、∠FCB的度数，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠BFC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BE是AC边上的高，CD是AB边上的高，根据等边三角形三线合一的性质
∴BE平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴∠FBC=½∠ABC=½×60°=30°，∠FCB=½∠ACB=½×60°=30°
在△BFC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-30°-30°=120°
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用等边三角形的特殊性质推导角的度数，再结合三角形内角和求解，熟练掌握特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
三、解答题
13. 如图所示,在等边三角形ABC中,AE = CD,AD,BE交于点P,BQ⊥AD于点Q,求∠PBQ的度数。
13. 如图所示,在等边三角形ABC中,AE = CD,AD,BE交于点P,BQ⊥AD于点Q,求∠PBQ的度数。
答案
13. ∠PBQ的度数为30°。
解析
【分析】
首先根据等边三角形的性质得到边相等、角相等的条件，结合已知AE=CD，可证明△ABE和△CAD全等，利用全等三角形对应角相等得到角的等量关系；再通过三角形外角的性质求出∠BPQ的度数，最后结合BQ⊥AD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠PBQ的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=∠BAC=60°。
在△ABE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CA\\∠BAE=∠C\\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°。
又
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
在Rt△BPQ中，∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°。
【答案】
∠PBQ的度数为30°
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形相关性质的综合应用题，解题的核心是通过证明三角形全等实现角的等量转换，再结合外角性质和直角三角形的内角特征求解，属于三角形模块的基础综合题型，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和各类三角形的性质。
【难度系数】
0.7
首先根据等边三角形的性质得到边相等、角相等的条件，结合已知AE=CD，可证明△ABE和△CAD全等，利用全等三角形对应角相等得到角的等量关系；再通过三角形外角的性质求出∠BPQ的度数，最后结合BQ⊥AD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠PBQ的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=∠BAC=60°。
在△ABE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CA\\∠BAE=∠C\\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°。
又
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
在Rt△BPQ中，∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°。
【答案】
∠PBQ的度数为30°
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形相关性质的综合应用题，解题的核心是通过证明三角形全等实现角的等量转换，再结合外角性质和直角三角形的内角特征求解，属于三角形模块的基础综合题型，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和各类三角形的性质。
【难度系数】
0.7
