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4.体育课上,甲、乙两个班的学生进行“引体向上”测试,统计测试结果如下:
甲班:全班同学“引体向上”总次数为$n^2$；
乙班:全班同学“引体向上”总次数为$50n - 625$。
请比较两个班的同学“引体向上”的总次数,哪个班的总次数多?多了多少次?
甲班:全班同学“引体向上”总次数为$n^2$；
乙班:全班同学“引体向上”总次数为$50n - 625$。
请比较两个班的同学“引体向上”的总次数,哪个班的总次数多?多了多少次?
答案
解:$\because n^2 - (50n - 625) = n^2 - 50n + 625 = (n - 25)^2 ≥ 0,\therefore$ 当 $n = 25$ 时,甲、乙两班“引体向上”的总次数相同;当 $n ≠ 25$ 时,甲班“引体向上”的总次数比乙班多,多 $(n - 25)^2$ 次。
解析
【分析】
要比较两个班的引体向上总次数，本质是比较代数式$n^2$和$50n-625$的大小，我们可以采用作差法：将两个代数式相减，通过判断差的正负确定大小关系。首先计算两式的差值，再对差值变形，这里差值刚好可以用完全平方公式因式分解，再结合平方的非负性，分情况讨论就能得出不同条件下的大小关系，以及多出来的次数。
【解析】
首先计算甲班总次数减去乙班总次数的差值：
$\begin{aligned}n^2 - (50n - 625)&=n^2 - 50n + 625\\&=(n - 25)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，任意实数的平方都大于等于0，即$(n - 25)^2 ≥ 0$。
分情况讨论：
1. 当$n = 25$时，$(n - 25)^2 = 0$，此时$n^2 = 50n - 625$，两班总次数相同；
2. 当$n ≠ 25$时，$(n - 25)^2 ＞ 0$，此时$n^2 ＞ 50n - 625$，甲班总次数更多，多的次数为$(n - 25)^2$次。
【答案】
当$n = 25$时，甲、乙两班“引体向上”的总次数相同；当$n ≠ 25$时，甲班“引体向上”的总次数比乙班多，多$(n - 25)^2$次。
【知识点】
1. 作差法比较大小
2. 完全平方公式
3. 平方的非负性
【点评】
本题核心考查代数式大小比较的方法，结合了整式运算和非负性的应用，需要熟练掌握作差法的步骤，同时具备分类讨论的意识，能根据平方的性质分情况判断大小关系。
【难度系数】
0.7
要比较两个班的引体向上总次数，本质是比较代数式$n^2$和$50n-625$的大小，我们可以采用作差法：将两个代数式相减，通过判断差的正负确定大小关系。首先计算两式的差值，再对差值变形，这里差值刚好可以用完全平方公式因式分解，再结合平方的非负性，分情况讨论就能得出不同条件下的大小关系，以及多出来的次数。
【解析】
首先计算甲班总次数减去乙班总次数的差值：
$\begin{aligned}n^2 - (50n - 625)&=n^2 - 50n + 625\\&=(n - 25)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，任意实数的平方都大于等于0，即$(n - 25)^2 ≥ 0$。
分情况讨论：
1. 当$n = 25$时，$(n - 25)^2 = 0$，此时$n^2 = 50n - 625$，两班总次数相同；
2. 当$n ≠ 25$时，$(n - 25)^2 ＞ 0$，此时$n^2 ＞ 50n - 625$，甲班总次数更多，多的次数为$(n - 25)^2$次。
【答案】
当$n = 25$时，甲、乙两班“引体向上”的总次数相同；当$n ≠ 25$时，甲班“引体向上”的总次数比乙班多，多$(n - 25)^2$次。
【知识点】
1. 作差法比较大小
2. 完全平方公式
3. 平方的非负性
【点评】
本题核心考查代数式大小比较的方法，结合了整式运算和非负性的应用，需要熟练掌握作差法的步骤，同时具备分类讨论的意识，能根据平方的性质分情况判断大小关系。
【难度系数】
0.7
5. 观察下面因式分解的过程：
$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$，
$3 = 1 + 2, 2 = 1 × 2$；
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$，
$5 = 2 + 3, 6 = 2 × 3$；
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$，
$-3 = (-1) + (-2), 2 = (-1) × (-2)$；
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$，
$-5 = (-2) + (-3), 6 = (-2) × (-3)$。
请你按发现的规律，将下列多项式进行因式分解：
(1) $x^2 + 6x + 5$；
(2) $x^2 - 6x + 8$。
$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$，
$3 = 1 + 2, 2 = 1 × 2$；
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$，
$5 = 2 + 3, 6 = 2 × 3$；
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$，
$-3 = (-1) + (-2), 2 = (-1) × (-2)$；
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$，
$-5 = (-2) + (-3), 6 = (-2) × (-3)$。
请你按发现的规律，将下列多项式进行因式分解：
(1) $x^2 + 6x + 5$；
(2) $x^2 - 6x + 8$。
答案
解:(1)$6 = 1 + 5,5 = 1 × 5,\therefore x^2 + 6x + 5 = (x + 1) · (x + 5)$。
(2) $-6 = ( - 2) + ( - 4),8 = ( - 2) × ( - 4)$,
$\therefore x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$。
(2) $-6 = ( - 2) + ( - 4),8 = ( - 2) × ( - 4)$,
$\therefore x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$。
解析
【分析】
首先观察题干给出的因式分解示例，可总结出二次项系数为1的二次三项式$x^2+px+q$的因式分解规律：找到两个数$a$和$b$，满足$a+b=p$、$a× b=q$，则$x^2+px+q=(x+a)(x+b)$。解题时分别对应两个多项式的一次项系数$p$和常数项$q$，寻找符合要求的$a$、$b$即可完成分解：
(1) 分解$x^2+6x+5$时，一次项系数$p=6$，常数项$q=5$，需找两个数和为6、积为5；
(2) 分解$x^2-6x+8$时，一次项系数$p=-6$，常数项$q=8$，需找两个数和为-6、积为8。
【解析】
(1) 因为$1+5=6$，$1×5=5$，符合和为一次项系数、积为常数项的要求，所以$x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$；
(2) 因为$(-2)+(-4)=-6$，$(-2)×(-4)=8$，符合和为一次项系数、积为常数项的要求，所以$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$。
【答案】
(1) $(x+1)(x+5)$
(2) $(x-2)(x-4)$
【知识点】
1. 二次三项式因式分解
2. 十字相乘法
【点评】
本题通过示例引导学生自主总结因式分解的规律，侧重考查对二次项系数为1的二次三项式因式分解方法的应用，解题关键是快速找到满足和为一次项系数、积为常数项的两个数，掌握规律后解题难度较低。
【难度系数】
0.8
首先观察题干给出的因式分解示例，可总结出二次项系数为1的二次三项式$x^2+px+q$的因式分解规律：找到两个数$a$和$b$，满足$a+b=p$、$a× b=q$，则$x^2+px+q=(x+a)(x+b)$。解题时分别对应两个多项式的一次项系数$p$和常数项$q$，寻找符合要求的$a$、$b$即可完成分解：
(1) 分解$x^2+6x+5$时，一次项系数$p=6$，常数项$q=5$，需找两个数和为6、积为5；
(2) 分解$x^2-6x+8$时，一次项系数$p=-6$，常数项$q=8$，需找两个数和为-6、积为8。
【解析】
(1) 因为$1+5=6$，$1×5=5$，符合和为一次项系数、积为常数项的要求，所以$x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$；
(2) 因为$(-2)+(-4)=-6$，$(-2)×(-4)=8$，符合和为一次项系数、积为常数项的要求，所以$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$。
【答案】
(1) $(x+1)(x+5)$
(2) $(x-2)(x-4)$
【知识点】
1. 二次三项式因式分解
2. 十字相乘法
【点评】
本题通过示例引导学生自主总结因式分解的规律，侧重考查对二次项系数为1的二次三项式因式分解方法的应用，解题关键是快速找到满足和为一次项系数、积为常数项的两个数，掌握规律后解题难度较低。
【难度系数】
0.8
