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一、选择题
1. 下列各式$\frac{a}{3},\frac{1}{a},\frac{4}{a+2},\frac{a}{b},-7a$中，分式有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 下列各式$\frac{a}{3},\frac{1}{a},\frac{4}{a+2},\frac{a}{b},-7a$中，分式有 （
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
要判断式子是否为分式，首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且B中含有字母、B不为0，则该式子为分式，判断核心是看分母中是否含有字母。解题时我们逐个分析给出的5个式子，统计符合分式定义的数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式，$B$中含有字母，且$B≠0$）的式子为分式，我们逐个判断：
1. $\frac{a}{3}$：分母为常数3，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{1}{a}$：分母为$a$，含有字母，是分式；
3. $\frac{4}{a+2}$：分母为$a+2$，含有字母$a$，是分式；
4. $\frac{a}{b}$：分母为$b$，含有字母，是分式；
5. $-7a$：是单项式，属于整式，不是分式。
综上，分式共有3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记分式的判断核心是分母含有字母，注意不要将分母为常数、仅分子含字母的整式错判为分式。
【难度系数】
0.8
要判断式子是否为分式，首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且B中含有字母、B不为0，则该式子为分式，判断核心是看分母中是否含有字母。解题时我们逐个分析给出的5个式子，统计符合分式定义的数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式，$B$中含有字母，且$B≠0$）的式子为分式，我们逐个判断：
1. $\frac{a}{3}$：分母为常数3，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{1}{a}$：分母为$a$，含有字母，是分式；
3. $\frac{4}{a+2}$：分母为$a+2$，含有字母$a$，是分式；
4. $\frac{a}{b}$：分母为$b$，含有字母，是分式；
5. $-7a$：是单项式，属于整式，不是分式。
综上，分式共有3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记分式的判断核心是分母含有字母，注意不要将分母为常数、仅分子含字母的整式错判为分式。
【难度系数】
0.8
2. 下列分式中，与$\frac{a}{b}$相等的是 （
A.$\frac{a+2}{b+2}$
B.$\frac{2a}{2b}$
C.$\frac{a^2}{b^2}$
D.$\frac{2+a}{2b}$
B
）A.$\frac{a+2}{b+2}$
B.$\frac{2a}{2b}$
C.$\frac{a^2}{b^2}$
D.$\frac{2+a}{2b}$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断哪个分式与$\frac{a}{b}$相等，核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。解题时我们只需逐一验证每个选项是否符合分式的基本性质，不符合的排除，符合的即为正确答案，也可以代入特殊值快速验证排除错误选项。
【解析】
根据分式的基本性质分析各选项：
A. 该选项是给$\frac{a}{b}$的分子、分母同时加2，不属于同乘或同除同一个不为0的整式，分式的值会发生变化。举反例：当$a=1$，$b=2$时，$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\frac{a+2}{b+2}=\frac{3}{4}$，二者不相等，故A错误；
B. 该选项是给$\frac{a}{b}$的分子、分母同时乘不为0的数2，符合分式的基本性质，因此$\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$，故B正确；
C. 该选项是给$\frac{a}{b}$的分子乘$a$、分母乘$b$，$a$和$b$不一定相等，不属于同乘同一个整式，分式的值会发生变化。举反例：当$a=1$，$b=2$时，$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{4}$，二者不相等，故C错误；
D. 该选项分子加2，分母乘2，不符合分式基本性质，分式的值会发生变化。举反例：当$a=1$，$b=2$时，$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\frac{2+a}{2b}=\frac{3}{4}$，二者不相等，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对分式基本性质的掌握，解题时要注意只有分子分母同时乘除同一个不为0的整式时，分式的值才不变，切勿将乘除运算和加减运算混淆。
【难度系数】
0.9
要判断哪个分式与$\frac{a}{b}$相等，核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。解题时我们只需逐一验证每个选项是否符合分式的基本性质，不符合的排除，符合的即为正确答案，也可以代入特殊值快速验证排除错误选项。
【解析】
根据分式的基本性质分析各选项：
A. 该选项是给$\frac{a}{b}$的分子、分母同时加2，不属于同乘或同除同一个不为0的整式，分式的值会发生变化。举反例：当$a=1$，$b=2$时，$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\frac{a+2}{b+2}=\frac{3}{4}$，二者不相等，故A错误；
B. 该选项是给$\frac{a}{b}$的分子、分母同时乘不为0的数2，符合分式的基本性质，因此$\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$，故B正确；
C. 该选项是给$\frac{a}{b}$的分子乘$a$、分母乘$b$，$a$和$b$不一定相等，不属于同乘同一个整式，分式的值会发生变化。举反例：当$a=1$，$b=2$时，$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{4}$，二者不相等，故C错误；
D. 该选项分子加2，分母乘2，不符合分式基本性质，分式的值会发生变化。举反例：当$a=1$，$b=2$时，$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\frac{2+a}{2b}=\frac{3}{4}$，二者不相等，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对分式基本性质的掌握，解题时要注意只有分子分母同时乘除同一个不为0的整式时，分式的值才不变，切勿将乘除运算和加减运算混淆。
【难度系数】
0.9
3. 化简 $ a ÷ \frac{1}{a} $ 的结果是 （
A.0
B.1
C.$ a^2 $
D.$ \frac{1}{a^2} $
C
）A.0
B.1
C.$ a^2 $
D.$ \frac{1}{a^2} $
答案
3.C
解析
【分析】
要化简$a ÷ \frac{1}{a}$，首先回忆分式除法的运算规则：除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数。首先题目中$\frac{1}{a}$有意义，说明$a ≠ 0$，因此$\frac{1}{a}$的倒数是$a$，接下来将除法运算转化为乘法运算，再计算乘法即可得到最终结果。
【解析】
根据分式除法的运算法则：除以一个不为0的分式等于乘以这个分式的倒数，本题中$\frac{1}{a}$有意义，即$a ≠ 0$，因此：
$a ÷ \frac{1}{a} = a × a = a^2$
【答案】
C
【知识点】
分式除法运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式除法的转化规则，只要熟练掌握“除以一个数等于乘它的倒数”的运算思路，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要化简$a ÷ \frac{1}{a}$，首先回忆分式除法的运算规则：除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数。首先题目中$\frac{1}{a}$有意义，说明$a ≠ 0$，因此$\frac{1}{a}$的倒数是$a$，接下来将除法运算转化为乘法运算，再计算乘法即可得到最终结果。
【解析】
根据分式除法的运算法则：除以一个不为0的分式等于乘以这个分式的倒数，本题中$\frac{1}{a}$有意义，即$a ≠ 0$，因此：
$a ÷ \frac{1}{a} = a × a = a^2$
【答案】
C
【知识点】
分式除法运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式除法的转化规则，只要熟练掌握“除以一个数等于乘它的倒数”的运算思路，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
4. 计算$\frac{y^2}{6x} · \frac{x^2}{y}$的结果是 （
A.$\frac{y}{6x}$
B.$\frac{y}{6}$
C.$xy$
D.$\frac{xy}{6}$
D
）A.$\frac{y}{6x}$
B.$\frac{y}{6}$
C.$xy$
D.$\frac{xy}{6}$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路遵循分式乘法的计算规则：首先将两个分式的分子相乘作为结果的分子，分母相乘作为结果的分母，再对得到的分式进行约分，约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
【解析】
根据分式乘法法则计算：
第一步，分子相乘、分母相乘：
$\frac{y^2}{6x} · \frac{x^2}{y} = \frac{y^2 · x^2}{6x · y}$
第二步，约分：分子中的$x^2$与分母中的$x$约去1个$x$，分子中的$y^2$与分母中的$y$约去1个$y$，化简得：
$\frac{x · y}{6} = \frac{xy}{6}$
因此计算结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的乘法法则 2.分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的计算步骤和约分的方法，计算时注意找准分子分母的公因式，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的乘法运算，解题思路遵循分式乘法的计算规则：首先将两个分式的分子相乘作为结果的分子，分母相乘作为结果的分母，再对得到的分式进行约分，约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
【解析】
根据分式乘法法则计算：
第一步，分子相乘、分母相乘：
$\frac{y^2}{6x} · \frac{x^2}{y} = \frac{y^2 · x^2}{6x · y}$
第二步，约分：分子中的$x^2$与分母中的$x$约去1个$x$，分子中的$y^2$与分母中的$y$约去1个$y$，化简得：
$\frac{x · y}{6} = \frac{xy}{6}$
因此计算结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的乘法法则 2.分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的计算步骤和约分的方法，计算时注意找准分子分母的公因式，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.9
5. 计算$\frac{a^2 -4}{a^2 +6a +9} · \frac{a+3}{a+2}$的结果是 （
A.$\frac{a-2}{a+3}$
B.$\frac{1}{a+3}$
C.$\frac{a+2}{a+3}$
D.$\frac{a-2}{a-3}$
A
）A.$\frac{a-2}{a+3}$
B.$\frac{1}{a+3}$
C.$\frac{a+2}{a+3}$
D.$\frac{a-2}{a-3}$
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：第一步先对两个分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解；第二步根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母；第三步约分化简得到最简结果，再对应选项判断即可。
【解析】
首先对各部分因式分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$（平方差公式），
$a^2+6a+9=(a+3)^2$（完全平方公式）。
代入原式得：
$\frac{(a+2)(a-2)}{(a+3)^2} · \frac{a+3}{a+2}$
根据分式乘法法则，分子、分母分别相乘，再约去公因式$(a+2)$和$(a+3)$（默认分式有意义，分母不为0），可得：
$\frac{(a+2)(a-2)(a+3)}{(a+3)^2(a+2)}=\frac{a-2}{a+3}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、乘法公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是先因式分解再约分，熟练掌握常见的因式分解公式能大幅提升解题速度和准确率，计算时要注意公因式要找全，避免漏约。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：第一步先对两个分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解；第二步根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母；第三步约分化简得到最简结果，再对应选项判断即可。
【解析】
首先对各部分因式分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$（平方差公式），
$a^2+6a+9=(a+3)^2$（完全平方公式）。
代入原式得：
$\frac{(a+2)(a-2)}{(a+3)^2} · \frac{a+3}{a+2}$
根据分式乘法法则，分子、分母分别相乘，再约去公因式$(a+2)$和$(a+3)$（默认分式有意义，分母不为0），可得：
$\frac{(a+2)(a-2)(a+3)}{(a+3)^2(a+2)}=\frac{a-2}{a+3}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、乘法公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是先因式分解再约分，熟练掌握常见的因式分解公式能大幅提升解题速度和准确率，计算时要注意公因式要找全，避免漏约。
【难度系数】
0.8
6.若$\frac{P}{x+1} ÷ \frac{x-2}{x}$可约分化简，则整式$P$不可以是（
A.$x-2$
B.$x(x-2)$
C.$x$
D.$x^2 -4$
C
）A.$x-2$
B.$x(x-2)$
C.$x$
D.$x^2 -4$
答案
6.C
解析
【分析】
首先根据分式除法的运算法则，将原式的除法转化为乘法运算，得到化简前的分子和分母；再结合分式可约分的条件：分子与分母存在公因式，判断每个选项中的整式P是否含有分母的因式，不满足条件的即为所求。
【解析】
先对原式进行变形：
$\frac{P}{x+1} ÷ \frac{x-2}{x} = \frac{P}{x+1} × \frac{x}{x-2} = \frac{Px}{(x+1)(x-2)}$
若该式可约分化简，则分子$Px$与分母$(x+1)(x-2)$存在公因式，逐个分析选项：
当$P=x-2$时，分子含因式$x-2$，和分母的$x-2$是公因式，可约分，A不符合要求；
当$P=x(x-2)$时，分子含因式$x-2$，和分母的$x-2$是公因式，可约分，B不符合要求；
当$P=x$时，分子为$x^2$，分母为$(x+1)(x-2)$，二者无公因式，不可约分，C符合要求；
当$P=x^2-4=(x+2)(x-2)$时，分子含因式$x-2$，和分母的$x-2$是公因式，可约分，D不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的除法运算，分式约分条件，因式分解
【点评】
本题核心是掌握分式运算的规则和约分的前提，解题时先转化运算形式，再结合公因式的特征逐个验证选项即可，解题难度不大，需要注意运算过程不要出错。
【难度系数】
0.7
首先根据分式除法的运算法则，将原式的除法转化为乘法运算，得到化简前的分子和分母；再结合分式可约分的条件：分子与分母存在公因式，判断每个选项中的整式P是否含有分母的因式，不满足条件的即为所求。
【解析】
先对原式进行变形：
$\frac{P}{x+1} ÷ \frac{x-2}{x} = \frac{P}{x+1} × \frac{x}{x-2} = \frac{Px}{(x+1)(x-2)}$
若该式可约分化简，则分子$Px$与分母$(x+1)(x-2)$存在公因式，逐个分析选项：
当$P=x-2$时，分子含因式$x-2$，和分母的$x-2$是公因式，可约分，A不符合要求；
当$P=x(x-2)$时，分子含因式$x-2$，和分母的$x-2$是公因式，可约分，B不符合要求；
当$P=x$时，分子为$x^2$，分母为$(x+1)(x-2)$，二者无公因式，不可约分，C符合要求；
当$P=x^2-4=(x+2)(x-2)$时，分子含因式$x-2$，和分母的$x-2$是公因式，可约分，D不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的除法运算，分式约分条件，因式分解
【点评】
本题核心是掌握分式运算的规则和约分的前提，解题时先转化运算形式，再结合公因式的特征逐个验证选项即可，解题难度不大，需要注意运算过程不要出错。
【难度系数】
0.7
7. 化简$\dfrac{x^2 - 2}{x - 1} - \dfrac{1}{1 - x}$的结果是 （
A
）答案
7.A
解析
【分析】
本题属于分式化简类题目，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现x-1和1-x互为相反数，因此第一步先通过变号将两个分式转化为同分母分式；再按照同分母分式的加减法则，分母不变、分子相加减合并；最后对合并后的分子因式分解，约去分子分母的公因式，即可得到最简结果。
【解析】
首先对第二个分式变形，利用$1-x=-(x-1)$可得：
$\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{-(x-1)}=-\dfrac{1}{x-1}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{x^2 - 2}{x - 1} - (-\dfrac{1}{x - 1})\\&=\dfrac{x^2 - 2}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 1}\\&=\dfrac{x^2 - 2 + 1}{x - 1}\\&=\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\end{aligned}$
利用平方差公式分解分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，且$x≠1$，约分得：
$\mathrm{原式}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，易错点是处理分母互为相反数时符号变形出错，熟练掌握分式加减的运算法则和因式分解的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题属于分式化简类题目，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现x-1和1-x互为相反数，因此第一步先通过变号将两个分式转化为同分母分式；再按照同分母分式的加减法则，分母不变、分子相加减合并；最后对合并后的分子因式分解，约去分子分母的公因式，即可得到最简结果。
【解析】
首先对第二个分式变形，利用$1-x=-(x-1)$可得：
$\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{-(x-1)}=-\dfrac{1}{x-1}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{x^2 - 2}{x - 1} - (-\dfrac{1}{x - 1})\\&=\dfrac{x^2 - 2}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 1}\\&=\dfrac{x^2 - 2 + 1}{x - 1}\\&=\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\end{aligned}$
利用平方差公式分解分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，且$x≠1$，约分得：
$\mathrm{原式}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，易错点是处理分母互为相反数时符号变形出错，熟练掌握分式加减的运算法则和因式分解的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 下列计算正确的是（
A.$\frac{5}{x} + \frac{2}{x} = \frac{7}{2x}$
B.$\frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - x} = 0$
C.$\frac{x}{2y} - \frac{x + 1}{2y} = \frac{1}{2y}$
D.$\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} = 0$
B
）A.$\frac{5}{x} + \frac{2}{x} = \frac{7}{2x}$
B.$\frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - x} = 0$
C.$\frac{x}{2y} - \frac{x + 1}{2y} = \frac{1}{2y}$
D.$\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} = 0$
答案
8.B
解析
【分析】
本题考查分式的加减运算，解题思路是先回忆同分母分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，运算结果要化为最简形式；若分母互为相反数，先通过符号变形转化为同分母分式，再逐一计算每个选项判断对错即可。
【解析】
根据分式加减运算规则逐一分析选项：
A选项：同分母分式相加，分母不变，分子相加，$\frac{5}{x}+\frac{2}{x}=\frac{5+2}{x}=\frac{7}{x}≠\frac{7}{2x}$，故A错误；
B选项：先对分母变形，$y-x=-(x-y)$，因此$\frac{1}{y-x}=\frac{1}{-(x-y)}=-\frac{1}{x-y}$，代入原式得$\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-x}=\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x-y}=0$，故B正确；
C选项：同分母分式相减，分子相减时要注意给多项式加括号，$\frac{x}{2y}-\frac{x+1}{2y}=\frac{x-(x+1)}{2y}=\frac{x-x-1}{2y}=-\frac{1}{2y}≠\frac{1}{2y}$，故C错误；
D选项：同分母分式相减，$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x-y}=\frac{x-y}{x-y}=1≠0$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法，分式符号法则
【点评】
本题是分式运算的基础题型，易错点为分子是多项式时相减漏加括号、互为相反数的分母符号处理错误，熟练掌握分式加减的基本规则即可正确解题。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的加减运算，解题思路是先回忆同分母分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，运算结果要化为最简形式；若分母互为相反数，先通过符号变形转化为同分母分式，再逐一计算每个选项判断对错即可。
【解析】
根据分式加减运算规则逐一分析选项：
A选项：同分母分式相加，分母不变，分子相加，$\frac{5}{x}+\frac{2}{x}=\frac{5+2}{x}=\frac{7}{x}≠\frac{7}{2x}$，故A错误；
B选项：先对分母变形，$y-x=-(x-y)$，因此$\frac{1}{y-x}=\frac{1}{-(x-y)}=-\frac{1}{x-y}$，代入原式得$\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-x}=\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x-y}=0$，故B正确；
C选项：同分母分式相减，分子相减时要注意给多项式加括号，$\frac{x}{2y}-\frac{x+1}{2y}=\frac{x-(x+1)}{2y}=\frac{x-x-1}{2y}=-\frac{1}{2y}≠\frac{1}{2y}$，故C错误；
D选项：同分母分式相减，$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x-y}=\frac{x-y}{x-y}=1≠0$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法，分式符号法则
【点评】
本题是分式运算的基础题型，易错点为分子是多项式时相减漏加括号、互为相反数的分母符号处理错误，熟练掌握分式加减的基本规则即可正确解题。
【难度系数】
0.8
