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9. 计算$\frac{2}{a^2 -1} + \frac{1}{a+1}$的结果等于
A.$\frac{1}{a-1}$
B.$\frac{1}{a+1}$
C.$\frac{1}{1-a}$
D.1
A.$\frac{1}{a-1}$
B.$\frac{1}{a+1}$
C.$\frac{1}{1-a}$
D.1
答案
9.A
解析
【分析】
本题是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将两个分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式加法法则，分母不变分子相加；最后对得到的分式约分，化简得到最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：首先利用平方差公式分解因式：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此两个分式的最简公分母为$(a+1)(a-1)$。
对原式通分计算：
$\begin{aligned}\frac{2}{a^2 -1} + \frac{1}{a+1}&=\frac{2}{(a+1)(a-1)}+\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2 + a - 1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a-1} \quad (a≠\pm1)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加法运算步骤，解题的关键是正确对分母因式分解找到最简公分母，计算时注意分子的符号，最后要将结果化为最简分式，熟练掌握相关运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将两个分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式加法法则，分母不变分子相加；最后对得到的分式约分，化简得到最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：首先利用平方差公式分解因式：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此两个分式的最简公分母为$(a+1)(a-1)$。
对原式通分计算：
$\begin{aligned}\frac{2}{a^2 -1} + \frac{1}{a+1}&=\frac{2}{(a+1)(a-1)}+\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2 + a - 1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a-1} \quad (a≠\pm1)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加法运算步骤，解题的关键是正确对分母因式分解找到最简公分母，计算时注意分子的符号，最后要将结果化为最简分式，熟练掌握相关运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 已知$x+y=4$，$xy=2$，则$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的值为（
A.5
B.6
C.7
D.8
B
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
10.B
解析
【分析】
观察所求的代数式$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，首先可以通过通分将其合并为分子是$x^2+y^2$、分母是$xy$的分式。已知$xy=2$，只需要求出$x^2+y^2$的值即可。结合完全平方公式的变形：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，题目已经给出$x+y$和$xy$的取值，直接整体代入计算即可，无需单独求解x、y的具体值，简化计算过程。
【解析】
第一步：对所求代数式通分化简：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2 + x^2}{xy}$
第二步：利用完全平方公式变形分子：
由完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
第三步：代入已知条件计算：
将$x+y=4$，$xy=2$代入，先计算分子：
$x^2+y^2=4^2 - 2×2=16-4=12$
再代入化简后的分式：
原式$=\frac{12}{2}=6$
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值；完全平方公式的应用
【点评】
本题侧重考查代数式变形和整体代入的思想，无需单独求出x、y的数值，熟练掌握分式通分规则和完全平方公式的变形形式，就能快速算出结果。
【难度系数】
0.7
观察所求的代数式$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，首先可以通过通分将其合并为分子是$x^2+y^2$、分母是$xy$的分式。已知$xy=2$，只需要求出$x^2+y^2$的值即可。结合完全平方公式的变形：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，题目已经给出$x+y$和$xy$的取值，直接整体代入计算即可，无需单独求解x、y的具体值，简化计算过程。
【解析】
第一步：对所求代数式通分化简：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2 + x^2}{xy}$
第二步：利用完全平方公式变形分子：
由完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
第三步：代入已知条件计算：
将$x+y=4$，$xy=2$代入，先计算分子：
$x^2+y^2=4^2 - 2×2=16-4=12$
再代入化简后的分式：
原式$=\frac{12}{2}=6$
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值；完全平方公式的应用
【点评】
本题侧重考查代数式变形和整体代入的思想，无需单独求出x、y的数值，熟练掌握分式通分规则和完全平方公式的变形形式，就能快速算出结果。
【难度系数】
0.7
11.若分式$\frac{2x-1}{x^2}$的值为负数，则x的取值范围为
$x＜0.5$ 且 $x≠0$
。答案
11.$x＜0.5$ 且 $x≠0$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分两步思考：首先，分式要有意义，必须满足分母不为0；其次，分式的值为负数，说明分子和分母的符号相反（异号相除结果为负）。先观察分母的形式，$x^2$是平方数，本身具有非负性，结合分母不为0的要求，可确定分母恒为正数，因此只需让分子为负数，再排除分母为0的情况，就能求出x的取值范围。
【解析】
步骤1：确定分式有意义的条件
分式的分母不能为0，即$x^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 0$，此时$x^2 ＞ 0$（非零数的平方为正数）。
步骤2：根据分式值为负列不等式
分式的值为负数，且分母$x^2 ＞ 0$（正数），则分子必须为负数，即：
$2x - 1 ＜ 0$
解这个不等式：
$2x ＜ 1$
$x ＜ 0.5$
步骤3：结合两个条件确定取值范围
综合分式有意义的条件和分子小于0的结果，可得x的取值范围。
【答案】
$x＜0.5$ 且 $x≠0$
【知识点】
分式有意义的条件，分式符号判定，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，易错点是容易忽略分母不能为0的前提条件，解题时要先保证分式有意义，再根据值的符号要求列不等式求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要分两步思考：首先，分式要有意义，必须满足分母不为0；其次，分式的值为负数，说明分子和分母的符号相反（异号相除结果为负）。先观察分母的形式，$x^2$是平方数，本身具有非负性，结合分母不为0的要求，可确定分母恒为正数，因此只需让分子为负数，再排除分母为0的情况，就能求出x的取值范围。
【解析】
步骤1：确定分式有意义的条件
分式的分母不能为0，即$x^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 0$，此时$x^2 ＞ 0$（非零数的平方为正数）。
步骤2：根据分式值为负列不等式
分式的值为负数，且分母$x^2 ＞ 0$（正数），则分子必须为负数，即：
$2x - 1 ＜ 0$
解这个不等式：
$2x ＜ 1$
$x ＜ 0.5$
步骤3：结合两个条件确定取值范围
综合分式有意义的条件和分子小于0的结果，可得x的取值范围。
【答案】
$x＜0.5$ 且 $x≠0$
【知识点】
分式有意义的条件，分式符号判定，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，易错点是容易忽略分母不能为0的前提条件，解题时要先保证分式有意义，再根据值的符号要求列不等式求解。
【难度系数】
0.7
12.已知$a + b = 3ab$，且$ab + a + b ≠ 0$，则$\frac{3a -7ab +3b}{a +ab +b}$的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
12.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题已知a+b与ab的数量关系，待求分式的分子、分母均可整理为仅含a+b和ab的结构，因此可采用整体代入的思想求解，无需单独计算a、b的具体值：第一步先将待求分式的分子、分母分别变形，把含a、b的项合并为(a+b)的形式；第二步将已知的a+b=3ab整体代入变形后的分式；最后结合已知条件ab+a+b≠0判断ab≠0，约分后即可得到结果。
【解析】
首先对待求分式的分子、分母进行整理：
分子：$3a -7ab +3b = 3(a+b) -7ab$
分母：$a +ab +b = (a+b) +ab$
已知$a + b = 3ab$，将其代入上述变形后的式子：
分子$=3×3ab -7ab =9ab -7ab =2ab$
分母$=3ab +ab =4ab$
由已知$ab +a +b ≠0$，把$a+b=3ab$代入得：$ab +3ab =4ab≠0$，因此$ab≠0$，可对分式约分：
$\frac{2ab}{4ab}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
整体代入求值，分式化简
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是观察出待求式和已知条件的结构关联，将a+b作为整体替换，避免单独求解字母的复杂运算，熟练掌握该方法可提升同类题型的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
本题已知a+b与ab的数量关系，待求分式的分子、分母均可整理为仅含a+b和ab的结构，因此可采用整体代入的思想求解，无需单独计算a、b的具体值：第一步先将待求分式的分子、分母分别变形，把含a、b的项合并为(a+b)的形式；第二步将已知的a+b=3ab整体代入变形后的分式；最后结合已知条件ab+a+b≠0判断ab≠0，约分后即可得到结果。
【解析】
首先对待求分式的分子、分母进行整理：
分子：$3a -7ab +3b = 3(a+b) -7ab$
分母：$a +ab +b = (a+b) +ab$
已知$a + b = 3ab$，将其代入上述变形后的式子：
分子$=3×3ab -7ab =9ab -7ab =2ab$
分母$=3ab +ab =4ab$
由已知$ab +a +b ≠0$，把$a+b=3ab$代入得：$ab +3ab =4ab≠0$，因此$ab≠0$，可对分式约分：
$\frac{2ab}{4ab}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
整体代入求值，分式化简
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是观察出待求式和已知条件的结构关联，将a+b作为整体替换，避免单独求解字母的复杂运算，熟练掌握该方法可提升同类题型的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
13. 分式$\frac{3}{x+1},\frac{x-1}{x^2+x}$的最简公分母是
$x(x+1)$
。答案
13.$x(x+1)$
解析
【分析】
要找两个分式的最简公分母，可按以下思路推导：第一步先明确两个分式的分母，对可以因式分解的分母先做因式分解；第二步提取所有分母中出现的不同因式，相同因式取最高次幂，最终将这些因式相乘得到的结果就是最简公分母。
【解析】
1. 确定两个分式的分母：分式$\frac{3}{x+1}$的分母是$x+1$，分式$\frac{x-1}{x^2+x}$的分母是$x^2+x$。
2. 对可分解的分母因式分解：运用提公因式法可得$x^2+x=x(x+1)$。
3. 推导最简公分母：两个分母中出现的因式为$x$和$(x+1)$，二者的最高次数均为1，因此最简公分母为$x · (x+1)=x(x+1)$。
【答案】
$x(x+1)$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，解题的关键是先将分母因式分解，再提取所有不同因式的最高次幂相乘即可，熟练掌握方法就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要找两个分式的最简公分母，可按以下思路推导：第一步先明确两个分式的分母，对可以因式分解的分母先做因式分解；第二步提取所有分母中出现的不同因式，相同因式取最高次幂，最终将这些因式相乘得到的结果就是最简公分母。
【解析】
1. 确定两个分式的分母：分式$\frac{3}{x+1}$的分母是$x+1$，分式$\frac{x-1}{x^2+x}$的分母是$x^2+x$。
2. 对可分解的分母因式分解：运用提公因式法可得$x^2+x=x(x+1)$。
3. 推导最简公分母：两个分母中出现的因式为$x$和$(x+1)$，二者的最高次数均为1，因此最简公分母为$x · (x+1)=x(x+1)$。
【答案】
$x(x+1)$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，解题的关键是先将分母因式分解，再提取所有不同因式的最高次幂相乘即可，熟练掌握方法就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
14. 计算$\frac{x^2 + 2x}{x} - x$的结果是
2
。答案
14.2
解析
【分析】
本题属于分式化简类基础题，解题思路可分为三步：第一步先观察分式部分的分子，可通过提公因式法分解因式；第二步对分式进行约分，化成整式形式；第三步将约分后的结果与后面的整式做减法运算，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
解：对原式中分式的分子提取公因式$x$，可得：
$\begin{aligned}\frac{x^2 + 2x}{x} - x&=\frac{x(x + 2)}{x} - x\\&=(x + 2) - x \quad (\mathrm{分母} \ x≠0, \mathrm{可约去公因式} \ x)\\&=x + 2 - x\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
分式约分、提公因式法因式分解、整式加减运算
【点评】
本题是基础的代数运算题，核心考察分式化简的基本方法，解题的关键是先对分式的分子正确因式分解后约分，再进行整式的加减运算，计算时注意抵消同类项即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
本题属于分式化简类基础题，解题思路可分为三步：第一步先观察分式部分的分子，可通过提公因式法分解因式；第二步对分式进行约分，化成整式形式；第三步将约分后的结果与后面的整式做减法运算，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
解：对原式中分式的分子提取公因式$x$，可得：
$\begin{aligned}\frac{x^2 + 2x}{x} - x&=\frac{x(x + 2)}{x} - x\\&=(x + 2) - x \quad (\mathrm{分母} \ x≠0, \mathrm{可约去公因式} \ x)\\&=x + 2 - x\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
分式约分、提公因式法因式分解、整式加减运算
【点评】
本题是基础的代数运算题，核心考察分式化简的基本方法，解题的关键是先对分式的分子正确因式分解后约分，再进行整式的加减运算，计算时注意抵消同类项即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
15. 计算$\frac{a+2}{(a-2)^2} - \frac{4}{(a-2)^2}$的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值：
3(答案不唯一)
。答案
15.3(答案不唯一)
解析
【分析】
本题是分式化简结合整数条件的求值题，解题思路分为三步：第一步，先利用同分母分式的减法法则计算原式，第二步，对化简后的式子进行约分，同时注意分式有意义的前提是分母不为0，第三步，根据化简结果为整数的要求，找出符合条件的a的取值即可。
【解析】
首先计算原式：
两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{a+2}{(a-2)^2} - \frac{4}{(a-2)^2} = \frac{(a+2)-4}{(a-2)^2} = \frac{a-2}{(a-2)^2}$
约分后得：$\frac{1}{a-2}$
要使原分式有意义，需满足分母不为0，即$(a-2)^2 ≠ 0$，解得$a ≠ 2$
要求结果为整数，即$\frac{1}{a-2}$是整数，只需让$a-2$是1的约数即可，例如令$a-2=1$，解得$a=3$，此时计算结果为1，是整数，符合要求。
【答案】
3(答案不唯一)
【知识点】
同分母分式减法、分式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是先正确化简分式，不要忽略分母不为0的隐含条件，再根据结果为整数的要求灵活取值即可。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简结合整数条件的求值题，解题思路分为三步：第一步，先利用同分母分式的减法法则计算原式，第二步，对化简后的式子进行约分，同时注意分式有意义的前提是分母不为0，第三步，根据化简结果为整数的要求，找出符合条件的a的取值即可。
【解析】
首先计算原式：
两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{a+2}{(a-2)^2} - \frac{4}{(a-2)^2} = \frac{(a+2)-4}{(a-2)^2} = \frac{a-2}{(a-2)^2}$
约分后得：$\frac{1}{a-2}$
要使原分式有意义，需满足分母不为0，即$(a-2)^2 ≠ 0$，解得$a ≠ 2$
要求结果为整数，即$\frac{1}{a-2}$是整数，只需让$a-2$是1的约数即可，例如令$a-2=1$，解得$a=3$，此时计算结果为1，是整数，符合要求。
【答案】
3(答案不唯一)
【知识点】
同分母分式减法、分式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是先正确化简分式，不要忽略分母不为0的隐含条件，再根据结果为整数的要求灵活取值即可。
【难度系数】
0.8
16. 已知等式“$\frac{b^2}{a(a+b)} - $
$ = \frac{a}{a+b}$”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是
$ = \frac{a}{a+b}$”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是$\frac{b-a}{a}$
。答案
16.$\frac{b-a}{a}$
解析
【分析】
要求被墨迹覆盖的部分，我们可以利用减法运算中“减数=被减数-差”的关系，先将被覆盖的部分设为未知数，转化为分式减法运算，再通过通分、因式分解、约分等步骤化简得到结果。
【解析】
设被覆盖的部分为$ x $，根据题意可得：
$\frac{b^2}{a(a+b)} - x = \frac{a}{a+b}$
移项得：
$x = \frac{b^2}{a(a+b)} - \frac{a}{a+b}$
对两个分式通分，最简公分母为$ a(a+b) $，将第二个分式变形：
$\frac{a}{a+b} = \frac{a · a}{a(a+b)} = \frac{a^2}{a(a+b)}$
代入上式得：
$x = \frac{b^2}{a(a+b)} - \frac{a^2}{a(a+b)} = \frac{b^2 - a^2}{a(a+b)}$
分子利用平方差公式因式分解：$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$，代入得：
$x = \frac{(b-a)(a+b)}{a(a+b)}$
约去分子分母的公因式$ a+b $（$ a+b ≠ 0 $），得：
$x = \frac{b-a}{a}$
【答案】
$\frac{b-a}{a}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础应用，解题的关键是先根据运算关系表示出未知部分，再严格按照分式加减的运算法则计算，计算过程中要注意通分、因式分解和约分的正确性。
【难度系数】
0.7
要求被墨迹覆盖的部分，我们可以利用减法运算中“减数=被减数-差”的关系，先将被覆盖的部分设为未知数，转化为分式减法运算，再通过通分、因式分解、约分等步骤化简得到结果。
【解析】
设被覆盖的部分为$ x $，根据题意可得：
$\frac{b^2}{a(a+b)} - x = \frac{a}{a+b}$
移项得：
$x = \frac{b^2}{a(a+b)} - \frac{a}{a+b}$
对两个分式通分，最简公分母为$ a(a+b) $，将第二个分式变形：
$\frac{a}{a+b} = \frac{a · a}{a(a+b)} = \frac{a^2}{a(a+b)}$
代入上式得：
$x = \frac{b^2}{a(a+b)} - \frac{a^2}{a(a+b)} = \frac{b^2 - a^2}{a(a+b)}$
分子利用平方差公式因式分解：$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$，代入得：
$x = \frac{(b-a)(a+b)}{a(a+b)}$
约去分子分母的公因式$ a+b $（$ a+b ≠ 0 $），得：
$x = \frac{b-a}{a}$
【答案】
$\frac{b-a}{a}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础应用，解题的关键是先根据运算关系表示出未知部分，再严格按照分式加减的运算法则计算，计算过程中要注意通分、因式分解和约分的正确性。
【难度系数】
0.7
